![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Понятие базиса.
- •Проекция вектора на ось.
- •Свойства проекции вектора на ось.
- •Направляющие косинусы.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Геометрические свойства скалярного произведения.
- •Алгебраические свойства скалярного произведения.
- •Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение векторов. Правые и левые тройки векторов и системы координат.
- •Геометрические свойства векторного произведения.
- •Геометрическое построение векторного произведения.
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Приложение смешанного произведения.
Направляющие косинусы.
Обозначим
буквами ,
,
углы наклона вектора
к осям Ox,
Oy
и Oz
соответственно.
Числа
cosα, cosβ, cosγ называются направляющими
косинусами вектора
.
С учетом формулы
и предыдущей теоремы, получаем формулы
для координат вектора
:
Х=
cosα, Y=
cosβ, Z=
cosγ (3)
Т.к.
квадрат диагонали прямоугольного
параллелепипеда равен сумме квадратов
его сторон, то из равенств ОА=Х, ОВ=Y,
OC=Z,
получим выражение для длины вектора
:
(4)
Из (3) и (4) получаем:
;
;
(5)
Возводя в квадрат и складывая равенства (5), получаем:
cos2α+cos2β+cos2γ=1.
Т.к.
вектор
однозначно определяется заданием
координат, то из (3) следует, что вектор
однозначно определяется заданием его
длины инаправляющих
косинусов.
Действия над векторами.
={ах,ау,аz}={x,y,z}
Пусть
={х1,у1,z1},
={х2,у2,z2},
=
когда равны их соотв. координаты: х1=х2; y1=y2; z1=z2.
2)
Сумма (разность) векторов - вектор.
Пусть
,
тогда
={х1+х2,у1+у2,z1+z2},
={х1-х2,у1-у2,z1-z2}.
3)
Умножение вектора на число- вектор:
={λх1,λу1,λz1}.
Примеры. а={2; -3;0}, b={1;3;-2}. a+2b={4;3;-4}.
.
Скалярное произведение векторов.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(1)
Рассмотрим
проекцию вектора
на ось, определяемую вектором
.
Тогда,
(2)
Из
(1) и (2) следует:
(3)
Аналогичным
образом получаем:
(4)
Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Механический
смысл. Если
вектор
изображает силу, точка приложения
которойперемещается
из начала в конец вектора
,
то работаw
определяется равенством:
w=,
т.е. равна скалярному произведению
векторов
и
.
Геометрические свойства скалярного произведения.
Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой, то такие векторы называются ортогональными.
Теорема 1. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть векторы
и
ортогональны,
- угол между ними. Тогда cos
=0
=0.
Достаточность.
Пусть
=0.
Докажем, что векторы
и
ортогональны. Исключим тривиальный
случай, когда хотя бы один из векторов
или
равен 0. Если оба вектора ненулевые, то
>0,
>0из
равенства
=0
и (1) следует, чтоcos
=0,
т.е. векторы
и
ортогональны. Ч.т.д.
Теорема
2. Два ненулевых
вектора
и
составляют острый (тупой) угол тогда и
только тогда, когда их скалярное
произведение положительно (отрицательно).
Доказательство.
Т.к. векторы
и
ненулевые, то знак скалярного произведения
совпадает со знакомcos
.
Если угол
не превосходит ,
то cos
положителен тогда и только тогда, когда
- острый угол, и отрицателен тогда и
только тогда, когда
- тупой угол. Ч.т.д.
Алгебраические свойства скалярного произведения.
аb=ba – свойство коммутативности.
=
- дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство.
=
- сочетательное относительно скалярного множителя свойство.
4) аа>0 если а ненулевой вектор, аа=0, если а – нулевой вектор.
Доказательства.
1) – следует из определения 1.
2)
– Воспользуемся формулой
и линейным свойством проекции вектора
на ось.
=
=
=
+
=
.
3)
Аналогично св-ву 2):
=
=
=
.
- скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. св-во 4.