- •Введение
- •Постановка задач
- •Вывод уравнения теплопроводности
- •Постановка задачи для уравнения теплопроводности
- •Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип.
- •Струна
- •Постановка задачи для волнового уравнения.
- •Классификация уравнений второго порядка.
- •Замены переменных.
- •Постановка задачи Коши.
- •Распрямление поверхности.
- •Корректность.
- •Интегральные операторы.
- •Фан фанский.
- •Ограниченность интегральных операторов
- •Операторы со слабой особенностью.
- •Задача Штурма-Лиувилля.
- •Постановка задачи.
- •Функция Грина.
- •Задача ШЛ и интегральное уравнение.
- •Задача на собственные числа.
- •Гармонические функции
- •Формулы Грина.
- •Фундаментальное решение оператора Лапласа.
- •Принцип максимума.
- •Постановка краевых задач. Теоремы единственности.
- •Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности.
- •Следствия из формулы Пуассона.
- •Объемный потенциал и его свойства.
- •Теоремы о разрешимости краевых задач.
- •Обобщенные функции
- •Действия с обобщенными функциями.
- •Фундаментальное решение.
- •Пространства Соболева.
- •Соболевские производные.
- •Соболевские производные на отрезке.
- •Замкнутость дифференцирования.
- •Продолжение нулем.
- •След функции на границе.
- •Неравенство Фридрихса.
- •Теорема Реллиха
- •Стандартный эллиптический оператор.
- •Решение краевой задачи.
- •Теоремы единственности.
- •Энергетическое пространство.
- •Абстрактное уравнение.
- •Исследование абстрактного уравнения.
- •Разрешимость абстрактного уравнения.
Уравнения математической физики
Лектор: Кароль Андрей Игоревич
Выражаю благодарность Диме Фомушкину, Серёге Серебрякову и Кате Бойковой за предоставленные конспекты, на основе которых создавался сей документ.
19 мая 2011 г.
Оглавление
0 |
Введение |
3 |
|
1 |
Постановка задач |
5 |
|
|
1.1 |
Вывод уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
1.2 |
Постановка задачи для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.3Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип. 8
1.4 Струна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
1.5Многомерное обобщение. = 2 - мембрана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Постановка задачи для волнового уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
1.7Классификация уравнений второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8Замены переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9Постановка задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10Распрямление поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.11Вычисление производных на . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 Теорема Коши-Ковалевской. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.13 Корректность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Интегральные операторы. |
25 |
2.1Фан фанский. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Ограниченность интегральных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
2.3Операторы со слабой особенностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Задача Штурма-Лиувилля. |
30 |
3.1Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2Функция Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3Задача ШЛ и интегральное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4Задача на собственные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Гармонические функции |
38 |
4.1 Формулы Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
1
4.2 Фундаментальное решение оператора Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
4.3Интегральное представление функций класса (2). . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4Принцип максимума. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5Постановка краевых задач. Теоремы единственности. . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности. . . . . . . . . . . . . . 46
4.7Решения задачи в шаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.8 |
Следствия из формулы Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
4.9 |
Объемный потенциал и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
4.10 |
Теоремы о разрешимости краевых задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
58 |
5 Обобщенные функции |
59 |
|
5.1 |
Пространство ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
5.2Пространство ′( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 -образные последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4Действия с обобщенными функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5Фундаментальное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Пространства Соболева. |
73 |
6.1Соболевские производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2Соболевские производные на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3Замкнутость дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 |
Пространство 1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
|
|
|
6.5 |
Пространство 1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
6.6Продолжение нулем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 След функции на границе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
81 |
6.8Неравенство Фридрихса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.9Эквивалентные нормы в 1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.10 Теорема Реллиха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.11 Пространства −1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Обобщенное решение краевой задачи. |
89 |
7.1Стандартный эллиптический оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 |
Решение краевой задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
90 |
7.3 |
Теоремы единственности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
7.4 |
Энергетическое пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
7.5Абстрактное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.6Исследование абстрактного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.7Разрешимость абстрактного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2
Глава 0
Введение
Для уравнений в частных производных, в отличие от Д.У., не существует теорем существования и единственности, так как частных производных очень много и уравнений очень много. Получается, что в общем нельзя сказать, имеет ли уравнение решение. Есть теорема КошиКовалевской о разрешимости уравнений в частных производных (рассматривается отдельный класс уравнений и задача Коши для него).
Будем рассматривать уравнения, которые приходят из физики, т.е. описывают какие-то процессы природы.
Формула интегрирования по частям
Фундаментальная формула!!!
Рассмотрим область R . Область - открытое связное множество. Любые две точки
области можно соединить путем в области.= ∂ ; (2) ( - граница)
S задается уравнением ( ) = 0, причем если = = ( 1 , 2 , . . . , ) (градиент,
n-мерный вектор из частных производных), то ̸= 0 и (2), т.е., если есть гладкая |
||||||||
поверхность, то любая окрестность точки на этой поверхности |
может быть изображена как |
|||||||
график функции класса (2). |
|
|
* |
|
||||
Если |
|
|
( *) = 0 |
|
|
|
можно выразить |
|
|
|
̸ , то, по теореме о неявной функции, в окрестности |
|
|||||
: = ( 1, 2, . . . , −1) |
(2) |
|
|
|
|
Пусть ( ) (1)( ) (Имеются производные вплоть до границы). Тогда:
∫ ∫
( ) = ( ) cos( , ) ( ),
где - единичный вектор нормали, смотрящий наружу. В разных вариантах: формула Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского.
3
При = 1: = ( , ). Граница - две точки, получаем формулу Ньютона-Лейбница:
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
′( ) = ( ) |
cos( , ) |
+ ( ) cos( , ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Направление нормалей на границах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Другой вариант этой формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( ) (1)( |
|
); |
|
|
|
|||||||||||||||||
( ), |
|
( ) = ( ) ( ); |
|
= + ; |
|||||||||||||||||||
|
Ω∫ |
= − Ω∫ |
+ |
∫ |
cos( , ) ( ). |
Это и есть формула интегрирования по частям.
4