- •Лекция 3 математическое моделирование
- •3.1 Основные понятия
- •Классификация математических моделей.
- •3.2 Общие принципы математического моделирования
- •3.3 Математическая модель элемента системы
- •3.4 Математическая модель взаимодействия элементов системы
- •3.5 Подобие
- •3.6 Степенные комплексы
- •1. Число простых степенных комплексов, образованных из некоторых величин, не может превзойти числа этих величин.
- •2. Любую функцию некоторых величин можно представить в виде функции степенных комплексов этих величин. В любом выражении вида
- •3.7 Подобие в общем случае
- •3.8 Дополнительные условия подобия
- •3.12.2 Системы массового обслуживания
3.7 Подобие в общем случае
Пусть объекты описываются уравнениями (3.1) – (3.2): два объекта подобны, если
- они имеют сходственные математические описания:
(3.1)
, (3.2)
где ; y1, y2 и x1i, x2i – соответственно неизвестные и заданные функции независимых переменных t1j и t2j;
- сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называют масштабами (константами) подобия
. (3.3)
При этом остаются в силе и три необходимых условия подобия. Как и ранее, масштабные уравнения можно вывести двумя способами.
Способ подстановки [леб 2-4, 19] основан на преобразовании одного уравнения в другое. Если система уравнений (3.1) – (3.3) непротиворечива, то каждое сходственное уравнение можно решить двумя путями: прямым и косвенным (схемы на рис. 3.10, аналогичные рис. 3.9).
Рисунок 3.10 – Пути решения уравнений (3.1) и (3.2)
Прямой путь определения неизвестной функции (рис. 3.4а) заключается в непосредственном решении уравнения (3.1), косвенный – в замене переменных уравнения (3.2) переменными уравнения (3.1) согласно (3.3) и решении уравнения
(3.1*)
Зам переменных , , сходственными переменными , , выполняется согласно соотношениям (3.3). С помощью тех же масштабов , , осуществляется замена производных сходственных величин. Масштабы связывают все возможные значения , , и соответствующие им значения , , , в том числе и бесконечно малые приращения, т.е. дифференциалы
.
Для замены производной сходственной производной находим отношение
(3.34)
откуда
. (3.35)
Эти же выражения можно получить проще. Так как, , то
,
откуда
, (3.36)
что позволяет рассматривать операторы , как сходственные величины, связанные масштабами
.
В таком случае производную можно рассматривать как обычное произведение и заменять на и на раздельно с помощью масштабов и . При этом согласно (3.35) . Аналогично вторую производную можно заменять сходственной второй производной
и т.д. Все сказанное легко распространить на частные и смешанные производные.
Т.о., при замене переменных одного уравнения сходственными переменными другого в качестве переменных формально можно рассматривать любые операторы дифференцирования.
После замены переменных , , , переменными , , , уравнение (3.2) приводят к виду (3.1*), отличающееся от (3.1) только постоянными коэффициентами.
В случае подобия решения и уравнений (3.1) и (3.1*) тождественны .
Прямой путь определения неизвестной функции (рис. 3.4б) состоит в решении (3.2), косвенный – в замене переменных , , , уравнения (3.1) переменными , , , согласно (3.3), (3.36) и решении уравнения
(3.2*)
В случае подобия решения и уравнений (3.2) и (3.2*) тождественны: .
Пример. Даны сходственные уравнения
(3.37)
(3.38)
Три пары сходственных переменных связаны масштабами
.
Прямое решение уравнения (3.37) имеет вид
.
Заменой переменных в (3.38) , , переменными , , находим косвенное решение уравнения (3.37) как решение уравнения
(3.37*)
в виде
.
Для тождественности решений и необходимо выполнение условий
или
(3.39)
которые в данном случае представляют собой масштабные уравнения. Масштаб определяется однозначно. Один из масштабов можно выбрать произвольно.
Для выполнения условия можно не прибегать к аналитическому решению уравнений (3.1) и (3.1*), что не всегда возможно. для этого достаточно сделать уравнения (3.1) и (3.1*) равносильными, приравняв их сходственные коэффициенты. Однако в общем случае эти коэффициенты обладают различными размерностями. Поэтому необходимо предварительно преобразовать (рис. 3.4а) уравнение (3.1*) в уравнение
(3.1**)
так, чтобы размерности сходственных коэффициентов (3.1**) и (3.1) были одинаковы: [] = []. Условия равенства получаются в виде = .
Пример. Для вывода условий равенства уравнения (3.37) в предыдущем примере умножим уравнение (3.37*) на :
.
Размерности сходственных коэффициентов (3.37) и (3.37*) равны. Для тождественности решений и необходимо выполнить условия
равносильные условиям (3.39).
Если в частном случае, размерности сходственных коэффициентов уравнений (3.37) и (3.37*) одинаковы, то приравнивая их, получаем
.
Такая система уравнений определяет все три масштаба однозначно.
Пример. Даны сходственные уравнения
(3.40)
(3.41)
где
Масштабы равны
.
Замена переменных в (3.41) дает
(3.40*)
Так как сходственные постоянные коэффициенты в (3.40) и (3.40*) в общем случае различны по размерностям, то, умножив (3.40*) на , получим
(3.40**)
Размерности сходственных постоянных коэффициентов уравнений (3.40) и (3.40**) одинаковы. Приравняв сходственные коэффициенты, получим систему масштабных уравнений
(3.42)
Масштаб определяется однозначно. Один из двух других масштабов или может быть выбран произвольно, если два последних уравнения совместны.
Переход от (3.40*) к (3.40**) означает приведение размерностей членов (3.40*) к размерностям членов (3.40). Уравнение размерностей может быть получено не только таким способом, но и, например, умножением (3.40*) на . При этом
(3.40***)
Приравняв сходственные коэффициенты уравнений (3.40***) и (3.40), получим систему масштабных уравнений
(3.43)
отличную от системы (3.42), но легко преобразуемую в нее. Системы (3.42) и (3.43) равносильны.
Совершенно аналогично получают масштабные уравнения из условий тождественности (3.2) и (3.2*).
Таким образом, сущность способа подстановки состоит:
- замена переменных в одном из сходственных уравнений сходственными переменными второго уравнения с помощью масштабов;
- обеспечение тождественности промежуточного уравнения и второго сходственного уравнения;
- получение масштабных уравнений, как условия тождественности указанных двух уравнений.
Способ критериев подобия основан на представлении уравнений в безразмерной форме. Сходственные функции уравнений (3.1) и (3.2) представляются произведениями размерных степенных комплексов и безразмерных функций
После сокращения степенных комплексов уравнения (3.1) и (3.2) оказываются в безразмерной форме
(3.1б)
(3.2б)
где [] = 1. Под знаками безразмерных функций величины и объединяются в безразмерные степенные комплексы – критерии подобия (см. выше)
(3.44)
. (3.45)
Следует учесть, что это сокращенная запись критериев подобия. В развернутом виде выражение r-критериев подобия более сложное
причем в общем случае постоянный множитель – степенной комплекс, образованный постоянными коэффициентами . При этом функции уравнений (3.1б) и (3.2б) представляются функциями критериев подобия и
В результате безразмерные уравнения (3.1б) и (3.2б) принимают критериальную форму
(3.1к)
(3.2к)
Заменив, согласно первому способу вывода масштабных уравнений переменные в скрытом виде содержащиеся в (3.1к), переменными , получим
Подставив это выражение в (3.1к), имеем
(3.2к*)
В соответствии с первым способом, уравнения (3.2к) и (3.2к*) должны быть тождественны. Для этого необходимо выполнение условия
(3.46)
представляющего масштабное уравнение в общем виде.
На основании (3.3), (3.46) получаем
(3.47)
Таким образом, в случае подобия уравнений (3.1) и (3.2) соответствующие им сходственные критерии подобия должны быть равны
(3.48)
Пример. Пусть заданы уравнения (3.37), (3.38).
(3.37)
(3.38)
В безразмерной форме они имеют вид
а в критериальной
где
Масштабные уравнения
,
тождественны (3.39)
Таким образом, сущность способа критериев подобия состоит в следующем:
- сходственным уравнениям придается безразмерная форма;
- определяются критерии подобия;
- масштабные уравнения получаются приравниванием единице отношений сходственных критериев. Формы масштабных уравнений аналогичны формам соответствующих критериев подобия.
Способ подстановки отличается естественностью и наглядностью, но несколько сложен. Способ критериев подобия носит более формальный характер, но значительно проще в практическом применении.