7.2. Связь между корреляционными и спектральными характеристиками

Между ковариационными (корреляционными) и спектральными характеристиками существует самая непосредственная связь, поскольку они описывают процесс с точки зрения скорости его протекания. Применительно к задачам, решаемым в гидроакустике, связь между спектром процесса и ковариационной функциейопределяется следующими интегральными соотношениями:

(7.21)

Аналогичным образом связаны между собой СПМ и корреляционная функция стационарного в широком смысле центрированного процесса :

(7.22)

Учитывая соотношение для СПМ можно записать:

, (1.23)

Т.е. СПМ стационарного СП с не равным нулю средним отличается от СПМ соответствующего центрированного процесса лишь наличием дискретной линии на нулевой частоте. Вышеприведённые выражения при аргументе имеют вид:

(7.24)

Эти формулы называют формулами Винера-Хинчина.

На практике приходится иметь дело с оценкой взаимных ковариационных функций и взаимных СПМ, определяемых как

, (7.25)

а поскольку СПМ определена в этих формулах как для положительных, так и для отрицательных частот, то их иногда называют двусторонними спектрами. Эти спектры удобны для аналитических расчётов, но на практике пользуются односторонними спектрами, определёнными только для положительных частот, что математически записывают так:

(7.26)

Для одностороннего спектра (7.27)

Действительную часть

(7.28)

называют коспектральной плотностью или коспектром, а мнимую часть

(7.29)

называют квадратурной спектральной плотностью или квадратурным спектром.

Взаимные спектры можно выражать через модуль и фазовый угол следующим образом:

,

|G, (7.30)

/

Свойства чётности коспектра и нечётности квадратурного спектра приводят к следующим соотношениям:

, (7.31)

Которые можно использовать для нахождения ипри знании взаимных спектров, для которых справедливо также следующее неравенство, имеющее важное практическое значение:

|(7.32)

По аналогии с нормированной взаимной корреляционной функцией пользуются понятием функции когерентности:

, (7.33)

Которая характеризует распределение по частоте мощности процессов и их взаимную связь. Эта функция в практических приложениях играет большую роль, чем нормированная корреляционная функция.

При взаимно-ковариационном и взаимно-спектральном анализе гидроакустических сигналов возникают трудности, связанные с влиянием помех на результаты анализа, которые в ряде случаев преодолеваются применением кепстрального анализа, сущность которого состоит в вычислении спектра логарифма спектра исходного процесса:

, (7.34)

Где .

Для нестационарных СП характерно наличие зависимости вероятностных характеристик от времени. Степень нестационарности можно охарактеризовать порядком моментной или корреляционной функции, с которой проявляется нестационарность процесса. Например, разделение СП на стационарные в узком и широком смысле по существу представляет собой грубую классификацию процессов по порядку нестационарности. Для описания нестационарных СП можно использовать средние, локальные и текущие вероятностные характеристики.

Акустические поля, как распределение в пространстве акустических давлений или колебательных скоростей, изменяющихся в пространстве и времени, являются функциями четырёх переменных: времени и трёх пространственных координат , где- обобщённый координатный вектор. Случайное акустическое поле отображается ансамблем (множеством) пространственно-временных реализаций и характеризуется соответственно двумерной (многомерной) функцией распределения.