то есть

∂y

= R(x, x0 ) – резольвента линейной системы z′ = fy′(x, y(x), μ)z .

∂y0

A(x)

Рассмотрим систему

y′ = f (x, y) (1).

Будем предполагать, что

f (x, y) и

∂f

(x, y)

(i =

)непрерывны в области G Rn+1 (

∂f

1, n

∂x

∂y

может не существовать).

i

def: Соотношение F(x, y)= C

(F : G → R)

называется первым интегралом системы (1) в

области G, если выполняется 3 условия:

−1

∂F

∂F

1) F C (G)

òî åñòü

è

непрерывны

∂x

∂yi

not

◄ Пусть (x0 , y0 ) – произвольная точка из G, тогда соотношения Fi (x, y)≡ Fi (x0 , y0 )= Ci

i =

определяют неявно единственную функцию y(x) C1

в окрестности точки x ,

1, n

удовлетворяющую условию y(x0 )= y0 .

0

По теореме о неявной функции (эту теорему

можно применить, так как F(x, y) C1

и D(F1

,…, Fn ) ≠ 0 ) F (x, y(x))≡ C в окрестности

D(y1

,…, yn )

i

i

точки x0

i =

1, n

. С другой стороны, по теореме о ! решения задачи Коши, существует

единственное решение

~

y(x) системы (1), удовлетворяющее начальному условию

~

( f (x, y) – локально удовлетворяет условию Липшица по y , так как по пред-

y(x0 )= y0

~

(x))≡ const = Fi (x0

, y0 )

ции

i =1, n . В силу единственности неявной функции будет

fi (x, y

~

(x)≡ y(x) в окрестности точки

x0 . ►

y

проходящей через точку (x, y). Положим ψi (x, y)=ϕi (x0 , x, y) (фиксируем

x0 ), ( i =

).

1, n

Покажем, что соотношение ψi (x, y)= Ci – полная система первых интегралов системы

(1).

Проверим 3 условия.

1) функции ψi (x, y) определены в окрестности графика y(x) и C1 по теореме о диффе-

ренцируемости по начальным данным и параметру.

2) условие 2) докажем позже.

~

~

~

~

3) Пусть y

(x) – решение системы (1), тогда ψi (x, y(x))= =ϕi (x0 , x, y(x))= y(x0 ), то есть

условие 3) проверено.

Заметим, что ψ′y (x, y)=ϕ′y (x0 , x, y) (матрица Якоби) –

резольвента линейной системы

∂

~

z(x0 )=

f y′(x0 , y(x0 ))z(x0 ) (здесь переменная x0 , а x, y

– начальные данные).

∂x0

Рассмотрим систему ОДУ

y′ = f (x, y) (1).

В прежних предположениях ( f

и

∂f

непрерывны на G ).

∂y

i

Пусть F(x, y)= C − первый интеграл системы (1), тогда

z(x)= F(x, y(x))

свойство3

≡

const

dz

∂F

(x, y(x))

n

∂F(x, y(x))

fi (x, y)≡ 0

dx

= ∂x

+ ∑

∂y

i

i=1

(fi (x, y)

= yi′(x)).

Поскольку через каждую точку из G проходит график решения, то всюду в G будет:

n

∂∂yF fi (x, y)= 0

∂∂Fx + ∑

(2)

i =1

i

это линейное однородное УрЧП первого порядка относительно функции F .

Обратное утверждение

Пусть F(x, y) C1(G), F(x, y)≠ const

ни в какой окрестности произвольной точки из G

d

∂F

n

∂F(x, y(x))

F(x, y(x))=

∂x

(x, y(x))+ ∑

∂y

fi (x, y)= 0 ,

dx

i =1

i

(fi (x, y)= yi′(x)),

так как F − решение УрЧП (2) F(x, y(x))≡ const ►

∂z

n

∂z

s

∂Φ ∂F

n

s

∂Φ ∂F

∂x +∑

fi (x, y)=

∑

∂xi +∑

∑

∂yi fi (x, y)=

∂y

∂u

j

∂u

j

i=1

i

j=1

i=1

j=1

i

s

∂Φ

∂F

j

n

∂F

j

= ∑

+

∑

∂x

∂yi

fi (x, y) = 0 ,

j =1

∂u j

i =1

так как Fj удовлетворяет условию (2) (мы с этого начинали) ►

Теорема:

Общее решение УрЧП (2) имеет вид

z(x, y)= Φ(F1(x, y),…, Fn (x, y)) (3),

где Fi (x, y)= Ci

(i =

)− полная система первых интегралов системы (1), а Φ(u1,…,un ) −

1, s

произвольная функция класса C1

с соответствующей областью определения (локально).

Доказательство:

◄ Если z(x, y)

определяется по формуле (3), то z(x, y) − решение УрЧП (2) (по лемме).

~

− произвольное решение УрЧП (2). Покажем, что оно предста-

Обратно: Пусть F(x, y)

вимо по формуле (3). Имеем

~

~

n

∂∂Fx + ∑

∂yF fi (x, y)= 0

i =1

i

∂F

n

∂F

fi (x, y)= 0

1

+ ∑ y 1

∂x

i=1

i

∂F

n

∂F

fi (x, y)= 0

n

+ ∑ y n

∂x

(x, y) эта

i =1

i

при фиксированном

алгебраическая

система

имеет ненулевое решение

(1, f1(x, y),…, fn (x, y)). Следовательно ее определитель

~

, F1,…, Fn )

D(F

= 0 .

D(x, y1 …, yn )

В силу полноты системы первых интегралов

D(F1,…, Fn )

≠ 0 всюду в G

D(y1 …, yn )

следовательно Rang = n .

По теореме о ранге, существует такая функция

Φ(u1,…,un ) C

1

:

~

F(x, y)= Φ(F1(x, y),…, Fn (x, y)) (локально) ►

Рассмотрим УрЧП

∂z

∂z

X1

+…+ Xn

= 0 , (4)

∂x

∂x

1

n

где Xi = xi (x1,…, xn ) − функции класса C1

(i =

), причем

X1

+…+

X n

> 0 . Допустим,

1, s

∂z

+

X2

∂z

+…+

Xn

∂z

= 0 − это УрЧП вида (2)

∂x

∂x

X

1

X

1

∂x

1

2

n

(Роль x играет x1 , роль y1 играет x2 , …, роль yn−1

играет xn ). Соответствующая система

ОДУ имеет вид:

dx2

=

X 2

,…, dxn

=

X n

или

dx1

= dx2

=…= dxn (5)

dx

X

1

dx

X

1

X

1

X

2

X

n

1

1

Рассмотрим УрЧП

∂z

∂z

X1

+…+ Xn

= Z (6),

∂x

∂x

1

n

∂V

∂V

∂z

∂z

∂V

∂x

+

= 0 , ( i =1, n )

= −

i

.

∂xi

∂z

∂xi

∂xi

∂V

∂z

∂V

Подставим это в (6) и умножим на −

, получим

∂z

∂V

X1 ∂V

∂V

+…+ Xn

+ Z

= 0

∂z

∂x

∂x

i

n

Это УрЧП вида (4) для V . Поэтому (см. выше) для нахождения общего решения УрЧП

(6)

находят

полную систему

первых

интегралов соответствующей системы ОДУ

dx1

=…= dxn = dz n −уравнений.

X1

Xn

Z