шапкин задачи с решениями

Запишем тангенс угла между прямыми l и l1:

B(4; –5)

Ðèñ. 32

121

Найдем уравнения всех сторон треугольника и их угловые ко - эффициенты.

Уравнение прямой АВ:

отсюда 11 · х – у – 49 = 0 или у = 11х – 49 и угловой коэффициент прямой АВ равен: KAB = 11.

Уравнение прямой АС:

отсюда

õ – 9ó + 49 = 0 èëè y = 19 x + 499 è KAC = 19 .

Уравнение прямой ВС:

отсюда

5õ + 4ó = 0 èëè y = - 54 x è KBC = - 54 ;

а) вычислим величину внутреннего угла А треугольника:

отсюда РА = 78°27¢55² = 1,37 (с точностью до 0,01) радиан;

б) найдем точку М пересечения медиан.

Определяем координаты точек K и O, делящих стороны АВ и ВС попалам:

122

Уравнение медианы СK:

отсюда

9õ + 17ó – 49 = 0.

Уравнение медианы AO:

y - y0 = x - x0 ; y - 0 = x - 0 , yÀ - y0 xA - x0 6 - 0 5 - 0

отсюда

6õ – 5ó = 0.

Решая систему уравнений, описывающих медианы СK и AO, найдем координаты точки М:

в) находим точку Р пересечения высот CD и AE.

Уравнение высоты CD ищем в виде: y – yC = KCD(x – xC) и так как прямая CD прямой АВ, то

Уравнение высоты АЕ берем в виде: y – yÀ = KÀÅ(x – xÀ) и так как прямая АЕ прямой ВС, то

123

Решая систему уравнений:

æ145 214 ö

ò.å. Pçè 49 ; 49 ÷ø ;

г) определяем длину высоты треугольника АЕ, опущенной из вершины А на сторону ВС, для чего запишем нормальное уравнение прямой ВС:

Тогда длина высоты АЕ равна:

д) площадь треугольника найдем по формуле:

=± 21 ((–25 – 24) + (20 - 20) + (-24 - 25))=

=± 21 (–49 + 0 - 49) = 49 (êâ. åä.);

е) находим систему линейных неравенств, определяющих вну т- реннюю область треугольника АВС вместе с границами.

Имеем: 11х – у – 49 = 0 — уравнение АВ, 5х + 4у = 0 — уравнение ВС, х – 9у + 49 = 0 — уравнение АС.

124

Берем любую точку, лежащую внутри треугольника АВС, например, точку (1; 1) и подставляем ее координаты в левую час ть уравнений сторон: 11 · 1 – 1 – 49 = –39 <0; 5 · 1 + 4 · 1 = 9 > 0; 1 – 9 · 1 + 49 = 41 > 0, следовательно, система неравенств имеет вид:

ì11x - y - 49 £ 0,

ïí5x + 4y ³ 0,

ïx - 9y + 49 ³ 0.

î

2.2.Кривые второго порядка на плоскости

2.2.1.Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (2; 4) к расстоянию до прямой l : x = –4 равно 2. Привести уравнение линии к каноническому виду и определить вид этой кривой.

Решение. Пусть М (х; у) — текущая точка линии. Из точки М опускаем перпендикуляр на прямую х = –4, который пересека-

èëè

(x - 2)2 + (y - 4)2 = 2 (x + 4)2 + (y - y)2 .

Возводя в квадрат, раскрывая скобки и делая приведение по - добных членов, получаем:

3õ2 + 36õ + 60 – (ó – 4)2 = 0.

Коэффициент при х2 делаем равным единице, для чего все уравнение делим на 3:

x2 +12x + 20 - 13 (y - 4)2 = 0.

125

Многочлен, зависящий от х, записываем как полный квадрат:

õ2 + 12õ = õ2 + 2 · õ · 6 = õ2 + 2 · õ · 6 + 36 – 36 = (õ + 6)2 – 36.

Тогда уравнение примет вид:

(x + 6)2 -36 + 20 - 13 (y - 4)2 = 0,

далее

(x + 6)2 - 13 (y − 4)2 =16,

или, деля на 16, имеем:

(x + 6)2 − (y − 4)2 = 1 16 48

Вводя новую систему координат:

ìX = x + 6 íîY = y - 4,

приведем уравнение линии к каноническому виду:

Это есть каноническое уравнение гиперболы.

Замечание. Если mn = 1, то придем к каноническому уравнению

параболы Y 2 = 2pX, à åñëè mn < 1, то получим каноническое уравнение эллипса:

X 2 + Y 2 =1. a2 b2

126

2.3. Плоскость и прямая в пространстве

2.3.1. Пирамида SABC задана вершинами: S (2; 4; 6), А (3; –4; –2), В (–4; 3; –4), С (–4; –2; –6):

а) уравнение плоскости АВС ищем в виде:

E (x – xA) + F (y – yA) + G (z – zA) = 0,

где вектор n ={E, F, G} — нормальный вектор к плоскости АВС.

Его мы найдем из векторного произведения n =AB×AC. Прежде всего находим координаты векторов

AB = {xB - xA; yB - yA; zB - zA} =

= {–4 – 3; 3 – (–4); – 4 – (-2)} = {-7, 7, - 2}

è

AC = {-4 - 3; - 2 + 4; - 6 + 2} = {-7; 2; - 4}.

Тогда

= -24 ×i -14 j + 35× k.

Следовательно, n ={−24; −14; 35}. Подставляем в уравнение плоскости

–24(õ – 3) + (–14)(ó + 4) + 35(z + 2) = 0

èëè

24õ + 14ó – 35z – 86 = 0;

б) угол в радианах между ребром SC и гранью АВС найдем

как угол между вектором CS ={2 + 4; 4 + 2; 6 + 6} = {6; 6; 12} и плоскостью АВС по формуле

Отсюда Q = 16°59¢52² = 0,297 радиан (с точностью до 0,001);

127

в) площадь грани АВС найдем по формуле

г) уравнение высоты SK, опущенной из точки S на грань АВС, ищем в виде:

где вектор P{l; m; n} имеет такие же координаты как и вектор

n= {−24; −14; 35} , так как эти векторы коллинеарны. Тогда:

x - 2 = y - 4 = z - 6

- 24 -14 35

есть уравнение высоты SK.

Для определения длины высоты SK запишем нормальное уравнение плоскости АВС

24 × x +14 × y - 35 ×z - 86 = 0 242 +142 + (-35)2

èëè

24x +14 × y - 35 ×z - 86 = 0. 1997

Тогда длина высоты SK определяется как

SK = 24 × xs +14 × ys - 35×zs - 86 = 24 ×2 +14 ×4 - 35×6 - 86 =

д) объем пирамиды SABC определяем с помощью смешанного произведения векторов:

V = ± 16 AB × AC × AS.

128

Найдем

AS = {2 − 3; 4 + 4; 6 + 2} = {−1; 8; 8},

тогда

=± 16 (-7×2×8+7×(-4)×(-1) +(-2)(-7)×8-(-2)(2)(-1)-(-7)(-4)8-7×(-7)×8)=

=± 16 (-112+28+112-4 -224+392) = ± 16 ×192 = 32 (êóá.åä.).

3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1.Построение графиков элементарных функций

3.1.1. С помощью операций смещения, растяжения и отра-

жения графиков функций y = x2 è y = x1 построить графики

функций:

à) y = | x2 – 2 · 4x + 12 |.

Под модулем выделим полный квадрат: y = | (x – 4)2 – 4 |.

Строим график функции y = x2, смещаем его на 4 ед. вправо по оси Ох — у = (х – 4)2, этот график смещаем на 4 ед. вниз — у = (х – 4)2 – 4 и ту часть графика, которая находится под осью Ох отображаем относительно оси Ох, получаем график функции y = | (x – 4)2–4 | (ðèñ. 33).

y

4

4x

Ðèñ. 33

129

Ðèñ. 34

3.2. Пределы, непрерывность и разрывы функций

3.2.1. Найти пределы функций:

130