шапкин задачи с решениями
.pdfРЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛАМ 1 И 2
Тема «Функции нескольких переменных» будет рассмотрена после определенного интеграла.
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1.Действия с матрицами
1.1.1.Выполнить действия
|
æ4 |
3ö |
æ5 |
- 3ö |
æ12 |
9ö |
æ20 |
-12ö |
Þ |
||||||||
à) |
3ç |
2 |
5 |
÷ |
- 4ç |
2 |
4 |
÷ |
= ç |
6 |
15 |
÷ |
- ç |
8 |
16 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
- 2 |
÷ |
ç |
1 |
2 |
÷ |
ç |
3 |
- 6 |
÷ |
ç |
4 |
8 |
÷ |
|
|
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
|
Сначала умножаем матрицу на число, а затем вычитаем из одной матрицы другую
æ12 |
-20 |
9 -(-12) |
ö |
|
æ -8 |
21ö |
|||
ç |
6 |
-8 |
15 -16 |
÷ |
= |
ç |
-2 |
|
÷ |
Þ ç |
÷ |
ç |
-1 ; |
||||||
ç |
3 |
- 4 |
-6 -8 |
÷ |
|
-1 |
-14 |
÷ |
|
è |
ø |
|
è |
ø |
б) нужно перемножить две матрицы: С = АВ. Это возможно в случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Элемент Сik матрицы С имеет вид:
n
Cik = åaij × bjk = ai1 ×b1k + ai2 ×b2k + ...+ ain ×bnk j=1
(i = 1, 2, …, n; k = 1, 2, …, n),
т.е. элемент матрицы С, стоящей в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.
|
æ |
2 |
0 1ö æ- 3 |
1 0ö |
= |
|
|
|||||
|
ç -2 |
3 2 |
÷ |
×ç |
0 2 1÷ |
|
|
|||||
|
ç |
4 |
-1 5 |
÷ |
ç |
0 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø è |
-1 3ø |
|
|
|
||||||
æ 2 ×(-3) + 0 ×0 +1×0 |
2 ×1+ 0×2 |
+1×(-1) |
2 ×0 + 0×1+1×3ö |
|
||||||||
ç |
-2 ×(-3) + 3×0 + 2 |
×0 - 2 ×1+ 3 |
×2 + 2 ×(-1) |
- 2 ×0 + 3×1+ 2 ×3 |
÷ |
= |
||||||
= ç |
÷ |
|||||||||||
ç |
4 ×(-3) + (-1)×0 + 5 |
×0 4 ×1+ (-1) |
×2 |
+ 5 ×(-1) 4 ×0 + (-1)×1+ 5×3 |
÷ |
|
||||||
è |
ø |
|
||||||||||
|
|
|
æ |
- 6 |
|
1 |
3ö |
|
|
|
||
|
|
|
= ç |
6 |
|
2 |
9 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-12 |
- 3 |
14 |
÷ |
|
|
|
||
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
111
1.2. Вычисление определителей
1.2.1. Убедимся, что определитель |
равен нулю |
|||||||||||
|
|
D = |
|
6 |
|
4 |
- |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
- 2 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 - 2 |
|
3 |
|
|
|
||
а) по определению (одной из схем): |
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
4 |
2 |
|
6 |
4 |
= |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
- 2 |
2 |
- 4 |
- 2 |
2 |
||||||
|
|
1 |
- 2 |
3 |
|
1 |
- 2 |
|
×Å
=6×2 ×3 + 4 ×(-4)×1+ 2(-2)×(-2) - 2 ×2 ×1- 6×(-4)×(-2) - 4 ×(-2)×3 =
=36 -16 + 8 - 4 - 48 + 24 = 68 - 68 = 0.
Справа от определителя приписываются два первых столбца , берутся со знаком «+» три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух диагоналях ей параллельной и со знаком минус три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и двух диагоналях ей параллельной;
б) разложением по строке.
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения
D = ài1 · Ai1 + ài2 · Ai2 + … + àin · Ain (i = 1, 2, …, n),
ãäå Aij — алгебраическое дополнение элемента определителя аij, равное
A |
= (-1)i+ j ×M |
ij |
( j = 1, 2, ..., n). |
ij |
|
|
Здесь Мij — минор элемента аij, т.е. определитель (n – 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из определителя n-го порядка i-й строки и j-го столбца.
112
Вычисляем определитель |
разложением по элементам первой |
|||||||||||||||||
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
2 |
|
|
||
D = a11 × A11 + a12 × A12 |
+ a13 |
× A13 |
= |
-2 |
2 |
- 4 |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
3 |
|
|
||
1+1 |
|
2 |
- 4 |
|
|
1+2 |
|
- 2 - 4 |
|
1+3 |
|
- 2 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 6×(-1) |
|
- 2 |
3 |
|
+ 4 ×(-1) |
|
|
1 |
3 |
+ 2 |
×(-1) |
|
|
|
1 - 2 |
= |
=6(2 ×3 - (-4)×(-2)) + 4(-1)((-2)×3 - (-4)×1) + 2((-2)×(-2) - 2 ×1) =
=6×(-2) - 4 ×(-2) + 2 ×2 = 0.
1.3.Обратная матрица
1.3.1.Найти обратную матрицу к матрице А и проверить выполнение равенства А · À–1 = Å:
à) |
æ |
2 |
4 |
ö |
. Так как определитель |
матрицы А |
|||||
A = ç |
- 2 |
6 |
÷ |
||||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D = |
|
2 |
4 |
|
= 2 ×6 - (-2)×4 |
= 20 ¹ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
- 2 |
6 |
|
то матрица А является невырожденной и для нее существует обратная матрица А–1.
Находим алгебраические дополнения для определителя Δ:
A11 = (–1)1+1à22 =6; A12 = (–1)1+2 · à21 =2; A21 = (–1)2+1 · à12 = –4;
A22 = (–1)2+2 · à11 = 2.
Составляем матрицу из этих алгебраических дополнений и транспонируя ее, получаем присоединенную матрицу (А*):
æ |
6 |
2 |
ö |
|
æ6 |
- 4 |
ö |
|
Aij = ç |
- 4 |
2 |
÷, |
A |
= ç |
2 |
2 |
÷. |
è |
ø |
|
è |
ø |
Вычисляем обратную матрицу А–1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 6 |
- |
4 |
ö |
æ 3 |
- |
2 |
ö |
||||
|
|
|
A |
|
1 |
æ6 |
- 4 |
ö |
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|||
|
− |
|
|
20 |
20 |
10 |
10 |
||||||||||||||
A |
1 |
= |
|
= |
|
= ç |
|
÷ |
= ç |
|
÷. |
||||||||||
|
|
|
ç |
2 |
2 |
÷ |
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|||||||||
|
D |
20 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
ø |
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 20 |
|
20 ø |
è10 |
|
ø |
113
Проверяем правильность нахождения обратной матрицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
A× A |
−1 |
æ |
2 |
4ö |
æ0,3 |
- 0,2 |
ö |
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç |
- 2 |
6 |
÷ |
×ç |
0,1 |
0,1 |
÷ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
ö |
|
||||
|
|
|
|
2 ×0,3 + 4 ×0,1 |
2 × |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= ç |
(-0,2) + 4 ×0,1 |
ç |
1 |
0 |
÷ |
= E. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ = |
0 |
|
||||
|
|
|
|
è |
- 2 ×0,3 + 6×0,1 - 2 ×(-0,2) + 6×0,1ø |
è |
1ø |
|
|||||||||||||
Òàê êàê À · À–1 = Е, то обратная матрица найдена правильно; |
|||||||||||||||||||||
æ |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
á) À = ç |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
1÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ç |
3 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
è |
1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D = |
|
2 1 |
1 |
|
2 1 = 2 ×1×1+ 2 ×1×3 +1×2 ×2 -1×1×3 - 2 ×1×2 - 2×2 ×1 =1 ¹ 0. |
||||||||||||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×Å
Находим алгебраические дополнения
|
A |
|
= |
|
1 |
1 |
= -1; |
|
|
A |
|
= - |
2 1 |
|
=1; |
|
|
A |
|
|
= |
|
2 1 |
|
=1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
A |
|
|
= - |
|
2 1 |
|
= 0; |
|
A |
|
= |
|
2 1 |
|
= -1; |
|
|
A |
|
|
= - |
|
2 2 |
|
= 2; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A |
|
|
= |
|
2 |
1 |
|
=1; |
|
|
A |
|
= - |
|
2 1 |
|
= 0; |
|
|
A |
|
|
= |
|
|
2 2 |
|
= -2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
31 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определяем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
-1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
A |
|
|
|
A |
|
|
-1 0 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Aij = |
0 |
|
-1 |
|
|
2 |
; |
A |
= |
|
1 |
-1 |
|
|
|
0 |
; |
|
A 1 |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
-1 |
0 |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 0 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
- 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Проверяем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
æ2 2 1ö æ -1 0 |
|
|
1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À× A |
= |
ç |
|
|
|
|
÷ |
× |
ç |
|
1 -1 |
|
|
0 |
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 1 1 |
ç |
|
|
- |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1÷ |
|
1 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
æ2 |
×(-1) |
+ 2 ×1+1×1 2 ×0 |
+ 2 ×(-1) +1×2 2 |
×1+ |
|
2 ×0 +1× |
(-2)ö |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
2 |
×(-1) |
+1×1+1×1 2 ×0 |
+1×(-1) +1×2 2 |
×1+ |
1×0 +1×(-2) |
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= ç |
÷ = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
3 |
×(-1) |
+ 2 ×1+1×1 3×0 |
+ 2 ×(-1) +1×2 3 |
×1+ |
2 ×0 +1× |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
(-2)ø |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
|
0 |
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
= E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
1 |
0÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
0 |
|
0 |
|
1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114
1.4.Системы линейных уравнений
1.4.1.Записать систему в матричном виде Ax = b :
ì 2x + 4y =15
íî- 2x + 6y =15
и решить ее средствами матричного исчисления.
|
æ |
|
|
ö |
|
æ |
|
ö |
æ |
ö |
||
Здесь |
A = ç |
2 |
4 |
÷ |
, |
x = ç |
x |
÷ , |
|
|
15 |
÷ . |
- 2 |
6 |
|
b = ç |
|||||||||
|
è |
ø |
|
è y |
ø |
è15 |
ø |
Решение этой системы через обратную матрицу А–1 имеет вид
x= A−1 ×b.
Âпункте 1.3.1: а) была найдена обратная матрица À–1, тогда
æ xö |
æ |
|
- |
|
ö |
æ15 |
ö æ |
0,3×15 + (-0,2)×15 |
ö |
æ |
|
ö |
|
x = ç ÷ |
= ç |
0,3 |
|
0,2 |
÷ |
×ç |
÷ |
= ç |
÷ |
1,5 |
÷ . |
||
0,1 |
|
|
0,1×15 + 0,1×15 |
= ç |
3 |
||||||||
è yø |
è |
|
0,1ø |
è15 |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
||||
Отсюда: х = 1,5; |
ó = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно сделать проверку, т.е. подставить найденные значени я
õи у в исходную систему уравнений.
1.4.2.Решить систему методом исключения переменных (методом Гаусса):
ì2 × x1 + 2 × x2 + x3 =11, |
|||
ï |
× x1 |
+ x2 - x3 =11, |
|
í2 |
|||
ï3 |
× x |
+ 2 × x |
+ x =15. |
î |
1 |
2 |
3 |
Выберем в качестве первого ведущего уравнения — первое уравнение системы и оно в дальнейшем остается без изменен ия, а в качестве первого ведущего неизвестного — х1.
Исключаем неизвестную х1 из второго и третьего уравнений системы с помощью первого уравнения. Для этого из 1-го уравн е- ния вычитаем второе, получим х2 + 2õ3 = 0, затем 1-ое уравнение умножаем на 3, а 3-е уравнение — на 2 и вычитаем из одного другое, получим 2х2 + õ3 = 3.
Выписываем систему
ì2x1 + 2x2 + x3 =11, |
|||
ï |
+ 2x3 |
= 0, |
|
íx2 |
|||
ï2x |
+ x |
= 3. |
|
î |
2 |
3 |
|
115
Неизвестная х1 исключена. Первый шаг закончен. Теперь второе уравнение берется за ведущее и оно в дальнейшем не изменяется, а за ведущую неизвестную принимается х2. Исключаем из 3-го уравнения х2, для этого 2-ое уравнение умножаем на 2 и вычитаем из него 3-е уравнение системы, получа- ем 3х3 = –3.
Получим систему
ì2x1 + 2x2 + x3 =11, |
|
ï |
+ 2x3 = 0, |
íx2 |
|
ï |
= -1. |
îx3 |
Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом полу- чаем:
|
|
|
|
õ3 = –1, |
|
|
|
|
|
õ2 = –2 · õ3 = –2 · (–1) = 2, |
|||||||
2õ1 = 11 – 2õ2 – õ3 = 11 – 2 · 2 – (–1) = 8, õ1 = 4. |
||||||||
Èòàê, õ1 = 4, |
õ2 = 2, |
õ3 = –1. |
|
|
|
|||
1.4.3. Дана система |
|
|
|
|
|
|
||
ì2x1 + 7x2 + 5x3 + 2x4 - 5x5 = 43, |
||||||||
ï |
|
+ 5x2 |
+ 2x3 |
+ 2x4 |
- 3x5 |
= -13, |
||
í3x1 |
||||||||
ï5x |
+12x |
|
+ 7x |
+ 4x |
4 |
-8x |
= 30. |
|
î |
1 |
2 |
|
3 |
5 |
1. С помощью теоремы Кронекера—Капелли установить совместность системы.
Выписываем матрицу системы А и расширенную матрицу À
æ2 |
7 |
5 |
2 |
- 5ö |
|
æ2 |
7 |
5 |
2 |
- 5 |
43ö |
||||||
A = ç |
3 |
5 |
2 |
2 |
- 3 |
÷ |
; |
|
A |
= ç |
3 |
5 |
2 |
2 |
- 3 |
-13 |
÷. |
ç |
5 |
12 |
7 |
4 |
- 8 |
÷ |
|
ç |
5 |
12 |
7 |
4 |
- 8 |
30 |
÷ |
||
è |
ø |
|
è |
ø |
Рассмотрим минор 2-го порядка
d |
2 |
= |
2 |
7 |
=10 - 21 = -11 ¹ 0. |
|
|
3 |
5 |
|
116
Далее выпишем четыре минора 3-го порядка
d31 = |
|
2 |
7 |
5 |
|
= 0; |
d32 = |
|
2 |
7 |
2 |
|
= 0; |
|||||
|
3 5 2 |
|
|
3 |
5 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
5 12 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
12 |
4 |
|
|
|
|
d33 = |
|
2 |
7 |
-5 |
|
= 0; d34 = |
|
2 |
|
7 |
43 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
5 |
-3 |
|
|
3 |
|
5 |
-13 |
|
= 0. |
|||||||
|
|
5 |
12 |
– 8 |
|
|
|
|
5 |
|
12 |
30 |
|
|
Так как миноры d31, d32 è d33 равны нулю, то ранг системы
равен двум, а так как минор d34 = 0, то и ранг расширенной матрицы равен двум. Равенство рангов расширенной матрицы и м атрицы системы на основании теоремы Кронекера—Капелли гов о- рит о том, что система алгебраических уравнений совместна , т.е. имеет решение.
2. Найти общее решение системы в виде
x1 = f (x3, x4, x5), x2 = ϕ (x3, x4, x5).
Так как число неизвестных пять, а ранг матрицы равен двум, то разность между ними, равная трем (n – r = 5 – 2 = 3), говорит о том, что три неизвестных будут свободными, пусть это бу-
äóò x3, x4, x5.
Берем первые два уравнения системы и записываем их относительно x1 è x2 (коэффициенты при этих неизвестных составляют минор 2-го порядка отличный от нуля), а неизвестные x3, x4, x5 переносим в правую часть:
ì2x1 + 7x2 = 43 - 5x3 - 2x4 + 5x5,
íî3x1 + 5x2 = -13 -2x3 - 2x4 + 3x5.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 è x2. Умножая первое уравнение на 5, а второе на 7 и вычитая одно из другого, найдем x1 и подставляя его в 1-ое уравнение, после преобразований получим выражение для x2:
x |
= - |
306 |
+ x |
|
- |
4 |
|
|
x |
|
- |
4 |
|
x , |
||||||||||
|
|
|
11 |
|
11 |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
11 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|||||||||
x |
|
= |
155 |
|
- x |
|
- |
|
2 |
|
x |
|
+ |
|
9 |
|
x . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
11 |
|
|
11 |
|
11 |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
117
Это и будет общее решение исходной системы линейных уравнений.
3. Найти частное решение системы a = (x1, x2, x3, x4, x5), положив x3 = 5, x4 = 2, x5 = 3 и проверить систему.
Находим x1 è x2:
|
|
|
|
|
|
x = - |
306 |
|
|
|
+ 5 - |
4 |
×2 - |
4 |
×3 = - |
271 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
155 |
|
|
|
- 5 - |
2 |
×2 + |
9 |
×3 = |
123 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, частное решение имеет вид: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à = |
|
æ |
- |
271 |
|
|
|
123 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
; |
|
|
|
|
; 5; 2; 3÷. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляем в исходную систему значения: x = - |
271 |
, x = |
123 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11 |
2 |
11 |
|
||||
õ3 = 5, õ4 = 2, õ5 = 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
æ |
|
271ö |
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 ×ç |
- |
|
|
|
|
÷ + |
7× |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 ×5 + 2 |
×2 - 5 ×3 = 43; 43 = 43; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
æ |
|
271ö |
+ 5 |
× |
123 |
|
+ 2 ×5 + 2 ×2 - 3×3 = -13; -13 = -13; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3×ç |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
11 ø |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
æ |
|
|
271ö |
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5×ç |
- |
|
|
|
÷ +12 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 7 |
×5 + 4 ×2 - 8×3 = 30; 30 = 30. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение тождества для всех уравнений системы говорит о
|
æ |
|
271 |
|
123 |
ö |
||
том, что вектор |
à = ç |
- |
|
; |
|
|
; 5; 2; 3÷ является частным реше- |
|
11 |
11 |
|||||||
|
è |
|
|
ø |
нием исходной системы уравнений.
1.5.Собственные числа и собственные векторы
1.5.1.Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы
æ5 |
2ö |
||
A = ç |
7 |
0 |
÷. |
è |
ø |
118
Составляем характеристическое уравнение матрицы А:
æ5 |
2ö |
æ |
1 0ö |
|
æ5 |
2 |
ö |
æλ |
0ö |
æ5 - λ |
2ö |
||||||||||
A- λÅ = ç |
7 |
0 |
÷ |
- λ ç |
÷ |
= ç |
0 |
÷ |
- ç |
|
÷ |
= ç |
7 |
- λ |
÷ |
||||||
è |
ø |
è |
0 1ø |
|
è7 |
ø |
è 0 |
λ ø |
è |
ø |
|||||||||||
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A- λE |
|
= 0, |
|
|
5 - λ |
|
2 |
|
= 0, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
- λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда (5 – λ) · (–λ) – 2 · 7 = 0, èëè λ2 – 5λ – 14 = 0. Корни этого уравнения λ1 = –2 è λ2 = 7 и являются собственными числами.
Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений
ì(5 - λ )x + 2y = 0
íî7x - λy = 0.
Полагая λ = λ1 = –2, получаем систему уравнений для первого собственного вектора u(u1, u2 ) :
ì7u1 + 2u2 = 0 íî7u1 + 2u2 = 0.
Отсюда 7u = –2u |
|
è |
u |
= − |
2 |
u |
|
. |
|
7 |
|
||||||
1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
Следовательно, первым собственным вектором, определяющим первое собственное направление, является
|
|
æ |
|
2 |
|
ö |
= u2 |
æ |
- |
2 |
ö |
= |
1 |
|
|
|
u(u1; |
u2 |
) = ç |
- |
|
u2 ; u2 |
÷ |
ç |
|
; 1÷ |
|
u2 |
(–2; 7). |
||||
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||
|
|
è |
|
|
ø |
|
è |
|
ø |
|
|
|
Меняя u2, будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой (коллинеарные). Все они — собственные.
Полагая λ = λ2 = 7, получаем систему уравнений для отыскания координат второго собственного вектора v (v1; v2 ) :
ì– 2v1 + 2v2 |
= 0 |
||
í |
7v |
– 7v |
= 0. |
î |
1 |
2 |
|
Отсюда v1 = v2 — общее решение (v2 — свободная, v1 — базисная переменная).
Второй собственный вектор v(v1; v2 ) = (v2; v2 ) = v2 (1;1) определяет второе собственное направление.
119
2.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2.1.Прямая линия на плоскости
2.1.1.На прямую l: 3x + 2y – 12 = 0, которая способна отра-
жать лучи, падает луч, заданный уравнением l1: 3x + 4y – 18 = 0. Составить уравнение отраженного луча.
Решение. Так как угол падения луча равен углу отражения луча,
òî Ðϕ1 = Ðϕ2, ò.å. tg ϕ1 = tg ϕ2 (ðèñ. 31). y
l2
ϕ2
A(2; 3)
ϕ1
l1 x
l
Ðèñ. 31
Уравнение отраженного луча — прямой l2 — èùåì â âèäå: y – yA = k2(x – xA).
Для нахождения координат точки А решим систему уравне-
íèé:
ì3x + 2y –12 = 0 íî3x + 4y –18 = 0.
Вычитая, найдем: –2у + 6 = 0, у = 3 и 3x = 12 –2у = 12 – 2 · 3 = 6,
x = 2, ò.å. xA = 2 è yA = 3.
Найдем угловые коэффициенты прямых l и l1:
l : 2y = –3x +12, |
y = - |
3 |
|
x + |
6, |
|
K |
|
= - |
3 |
; |
|||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l : 4y = –3x +18, |
y = - |
3 |
x + |
9 |
, |
K |
|
= - |
3 |
. |
||||
|
|
1 |
|
|||||||||||
1 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120