- •Глава 2. Прямые и плоскости §1.Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§5. Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§7. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:
l1: A1x + B1y + C1 = 0 ,
l2: A2x + B2y + C2 = 0 .
Тогда мы сразу можем сделать вывод, что n1;\s\up8(( (A1, B1) и n2;\s\up8(( (A2, B2) – это векторы нормали к l1 и l2.
Теорема 2. 1. l1||l2 = .
2. l1= l2 = = .
3. l1 l2 A1A2 + B1B2 = 0.
4. угол между l1 и l2 вычисляется по формуле
cos = = . (16)
Доказательство. 1, 2. Очевидно, что прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их векторы колинеарны, а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно
= = . (*)
При этом, прямые будут совпадать у них есть общая точка Mo(xo, yo), т. е. если одновременно выполняется
A1xo + B1yo + C1 = 0,
A2xo + B2yo + C2 = 0.
Вычтем из первого равенства второе, домноженное на :
(A1– A2)xo + (B1– B2)yo + C1– C2 = 0.
В силу (*) обе скобки равны нулю C1– C2 = 0 C1/C2 = . (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.
Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l1 и l2 пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число , мы получим второе уравнение. Значит, эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.
3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол между прямыми находится в пределах 0 /2. Пусть –
угол между векторами нормали. Тогда 0 .
Очевидно, что совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.
1 случай: 0 /2. Тогда =
cos = cos = .
2 случай: /2< . Тогда =– и cos < 0
cos = cos ( – ) = – cos =
= cos = .
Эта формула подойдет и к первому случаю:
неотрицательная величина от модуля не изменится. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l1 l2 n1;\s\up8(( ·n2;\s\up8(( = 0 A1A2 + B1B2 = 0.
Упражнение. Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.
Теорема 3. Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом
l1: y = k1x + q1, l2: y = k2 x + q2.
Тогда угол между ними вычисляется по формуле
tg = .
Принимаем эту теорему без доказательства.
§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
Определение. Говорим, что общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0 , (14)
имеет нормальную форму, если A2+B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор n;\s\up8(((A, B) – единичный.
Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :
x + y + = 0.
Тогда 2 + 2 = 1.
Теорема 4. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x1, y1) до прямой вычисляется по формуле
h =Ax1+ By1+ C . (17)
Следствие. Если прямая задана произвольным уравнением вида (14), то
h = . (17 )
Доказательство. Пусть n;\s\up8(((A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то n;\s\up8(( = 1. Пусть Mo(xo, yo) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN на прямую l . Пусть =( n;\s\up8((, MoM;\s\up10( –(), =MMoN .
1 случай. Точка M и вектор n;\s\up8(( лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда
h =MN=MMo·sin =MoM;\s\up10( –(·sin( – ) =MoM;\s\up10( –(·cos ·n;\s\up8((= MoM;\s\up10( –( · n;\s\up8((
(мы домножили на n;\s\up8((, поскольку эта величина равна единице). Находим, что MoM;\s\up10( –( (x1– xo, y1– yo)
h = A(x1– xo) + B(y1– yo) = Ax1+By1+C – (Axo+Byo+C)
(мы добавили и отняли C ). Поскольку Mo l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем
h = Ax1+ By1+ C.
2случай. Точка M и вектор n;\s\up8(( лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда = – /2 sin = – cos и те же самые вычисления дают
h = – MoM;\s\up10( –( · n;\s\up8(( = –Ax1 – By1 – C.
Поскольку h – это расстояние, то h 0. Это
значит, что во втором случае Ax1+By1+C<0 (равенство исключается, т.к. M l). Поэтому
h =Ax1+ By1+ C .
Эта формула подойдет и к первому случаю.
Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax1+ By1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M1, M2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных ( пересекает отрезок M1M2 прямую l или нет).