П 3.7 Метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим метод простых итераций [19]. Имеем систему линейных алгебраических уравнений
(1)
или
в матричном виде 
.
(2)
Приведем систему (1) к эквивалентному виду
(3)
или в матричной форме
,(4)
где
,
,
.
Такое приведение может быть выполнено различными способами.
Итерационную последовательность векторов
(5)
называют
методом простых итераций. Вектор
начального приближения 
выбирается произвольно. В качестве
начального приближения вектора
неизвестных 
можно также принимать вектор правых
частей: 
,
т.е. 
.
В качестве критерия сходимости метода простых итераций имеет место следующее утверждение [20]:
Для
того чтобы метод простой итерации
сходился при любом начальном приближении
,
необходимо и достаточно, чтобы 
,
где 
все собственные значения матрицы В.
Метод будет сходиться также в случае
,
(6)
так как 
,
где 
первая или вторая норма матрицы.
Таким образом выбор матрицы В для системы (5) метода простой итерации должен подчиняться требованиям сходимости и не может быть совсем произвольным.
Если матрица А имеет диагональное преобладание, т.е. ее элементы удовлетворяют неравенствам
(7)
то в качестве матрицы В можно задать матрицу с элементами
(8)
В этом случае систему (1) в эквивалентном виде (3) можно записать следующим образом:
(9)
т.е.
,
Описанная модификация метода простой итерации, связанная с делением уравнений на диагональные элементы матрицы системы, называется методом Якоби [10].
Если
,то для метода
простых итераций известна оценка
погрешности [18]:
,
(10)
где
точное решение.
Выход из итерационного процесса осуществляется по результатам выполнения неравенства
, (11)
где
заданная точность, которую необходимо
достигнуть при решении исходной задачи
и
.
Заменив (11) более простым условием
и используя понятие первой нормы
вектора, получим условие прерывания
итерационного процесса в виде
.(12)
Пример
1. Методом
простых итераций решить систему линейных
уравнений с точностью
,
приведя ее к виду, удобному для итераций.
Решение:
Очевидно, что матрица этой системы не удовлетворяет условиям диагонального преобладания. Переставим уравнения местами так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов.
Преобразуем
эту систему к эквивалентному виду (5).
Для этого выразим из первого уравнения
,
из второго 
,
из третьего 
,
получаем
Имеем
,
.
Заметим,
что 
,
следовательно,
условие сходимости выполнено.
Зададим
вектор начального приближения 
.
Выполним расчеты по формуле (6)
На первой итерации имеем систему
.
Условие
окончания итерационного процесса 
не выполняется, значит продолжаем
процесс. На второй итерации получаем
систему
.
Условие
окончания итерационного процесса 
не выполняется, продолжаем итерировать
до требуемой точности.
На пятой итерации требуемая точность достигнута
.
Пример 2. Описать алгоритм метода простой итерации на языке программирования С++.
При описании алгоритма используются объекты и методы классов «SquareMatrix», «Vector».
void IterationMethods :: simpleIterationMethod(SquareMatrix A, Vector f, double tochnost){
/* Создание вспомогательной матрицы В, векторов g, x1 и вектора решений x */
SquareMatrix B = SquareMatrix(A.getRowCount());
Vector g = Vector(A.getColCount());
Vector x = Vector(A.getColCount());
Vector x1 = Vector(A.getColCount());
/* Получение канонического вида системы: X = BX + g, т.е. матрицы В и g */
for (int i = 0; i < A.getRowCount(); i++){
for (int j = 0; j < A.getColCount(); j++){
if ( i == j){
B.setElement(i, j, 0);
}
if (i != j){
B.setElement(i,j,-A.getElement(i,j)/A.getElement(i, i));
}
}
g.setElement(i, f.getElement(i)/A.getElement(i, i));
}
/* Построение итерационной последовательности и вычисление значения вектора на текущей итерации по формуле X(k+1) = BX(k) + g */
.................................................
/*Вывод вектора решений*/
}
Данный алгоритм основан на матричном представлении метода простой итерации. Однако можно обойтись без построения матрицы В и вектора g, воспользовавшись непосредственно формулами (10) для описания итерационного процесса. Это позволит сэкономить вычислительные ресурсы.