Раздел 2 лекция 6

Раздел 2 Статистические гипотезы и их проверка

Лекция №6

Доверительный интервал.

План: 1.Расчет доверительного интервала.

2.Учёт доверительного интервала в записи окончательного результата измерения. Порядок выполнения округления результатов эксперимента.

Расчет доверительного интервала

Чтобы избежать недоразумений при интерпретации результатов химического эксперимента, следует указать ошибку, с которой получены эти данные.

Для расчёта доверительного интервала используется не гауссово распределение (для большого числа измерений), а t-распределение Стьюдента. При этом с доверительной вероятностью Р оценивают величину случайной ошибки ɛ для среднего значения измеренной величины :

где ɛ - случайная ошибка (доверительный интервал);

- среднеквадратическое отклонение для среднего ;

t(p,f) – критическое значение t-распределения Стьюдента при числе степеней свободы f=n-1 и уровне значимости p=(1-P)/2; n – число измерений.

Характеристикой возникающей ошибки может служить доверительный интервал. Случайная ошибка, возникающая при получении экспериментального результата, может быть охарактеризована доверительным интервалом.

Доверительный интервал () дает границы, внутри которых с вероятностью Р лежит истинное значение измеряемой величины.

_{Истинные значения измеряемой величины х должны лежать внутри доверительного интервала (и не выходить за нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала)}

_{А значит уистинных значений случайная ошибка должна быть меньше рассчитанной}

Пример1: Пусть дана серия измерений, для которой были рассчитаны:

=32,62

=0,7703

n=20

Определить величину случайной ошибки для среднего и доверительный интервал для полученных значений(%, Сa)

Решение

_;

_f=n-1;

_p=(1-P)/2

t(0.025, 20)=2.093;

Са

Учёт доверительного интервала в записи окончательного результата измерения. Порядок выполнения округления результатов эксперимента.

Результатом обработки данных при заданной доверительной вероятности является два числа: среднее значение измеренной величины и его случайная ошибка. Оба числа есть окончательный результат многократного измерения и должны быть совместно записаны в стандартной форме:

Такая стандартная форма должна содержать только достоверные, т.е. надёжные цифры этих чисел.

Обработка данных, какой бы сложной и точной она ни была, является вторичной, а процесс измерений величины является первичным. В окончательных числовых значениях это и следует учитывать, что и делают путём их округления.

Необходимость в округлении возникает из-за того, что при оценивании окончательных результатов, которые находятся по экспериментальным данным, допускаются ошибки.

Основной источник ошибок (неопределенности) - ограниченное количество измерений. При этом относительная неточность оценивания величины стандартного отклонения среднего составляет примерно , а если , то относительная погрешность оценивания может достигать 30%. Тогда теряет смысл приводить в погрешности лишние цифры, которые окажутся заведомо ненадёжными.

Однако при выполнении промежуточных расчётов полезно иметь одну или две дополнительные цифры. Округление большого количества промежуточных результатов, может привести к значительной смещенности окончательного результат.

Порядок выполнения округления:

1. Выполняется предварительная запись окончательного результата измерения в виде и выносятся за общую скобку одинаковые порядки среднего и случайной ошибки, т.е. вводится множитель вида 10^k, где k –целое число.

2. Округляется число, соответствующее случайной ошибке: до одной значущей (ненулевой) цифры слева, если эта цифра больше 2 или до двух первых цифр в противном случае. При округлении используется правило: если цифра, расположенная за оставляемой меньше 5, то она просто отбрасывается, иначе оставляемая цифра увеличивается на единицу. Если же отбрасываемая цифра равна 5, то наименьшая ошибка достигается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего чётного числа.

3. Округляется число, соответствующее среднему значению: последним справа оставляются цифры тех разрядов, которые сохранились в погрешности после её округления.

4. Окончательно записывается с учетом выполненных округлений. Общий порядок и единицы измерения величины проводятся за скобками .

Пример2:

1. U=(5281.12±1624)B

1624, т.к. 1<2, то 16241600

5281,12

U=(5.3±1.6)10³B

2. I=(0.418±0.022)A

0.022, т.к. 2<2, то 0,02

0,418

0,42

І=(0,42±0,04)А

І=(4,2±0,4) 10^-1А