Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

sb_zad_VM_all

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

2.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Глава 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

6.1. Неопределенный интеграл

Найдите неопределенные интегралы, применяя основные правила интегрирования:

6x2 8x 3 dx .

a bx3 2dx .

3x6

2x5

3x4

dx .

x 1 x

x 1 dx .

1 x

3 x2

x 2

cos 2x dx

3 tg

10.

dx .

2 x sin2

cos

sin2 x

11.

sin3 x

dx .

12.

ctg2 x dx .

sin 2 x

13.

dx .

14.

dx .

x 1

Найдите неопределенные интегралы, используя свойство диффе-

ренциала

d kx

b :

e x

3dx .

15.

16.

17.

3 x

11dx .

x 4

18.

cos

dx .

19.

sin 5x dx .

20.

34 x dx .

21. cos 2 x .

24.		dx		.


		4x2 5
		4x2 5
		dx
27.			.
27.	1 7x		.

22.		dx		.	23.			dx			.

		9x2	16			1		25x2
		9x2	16			1		25x2
25.	e4x		3dx .		26.	dx			.
25.	e4x		3dx .		26.	e5x		1	.
						e5x		1
28.		5x	3 6 dx .		29.		dx			.

						2		3x 3
						2		3x 3

									dx
					x	3	31.		dx		.			dx
						3
												32.			.
30.	4		1				dx .		sin 2	x

														2x 5
				2


								4		3
	Найдите неопределенные интегралы, используя подведение под
знак дифференциала:
		ln 2 x					34.	ecos x sin x dx .				35.	sin6 x cos x dx .
33.			x	dx .			34.	ecos x sin x dx .				35.	sin6 x cos x dx .
33.			x	dx .

36.ctg x dx .

39.sin x dx . cos5 x

42. 1 2sin x dx . cos2 x

45. x6 dx .

x14 5

48.2 dx .

	x
51.	ln x 3 dx .

x ln x

54. x 1 5 ln x 5 .

earctg x

37. 1 x2 dx .

40.	etg x			dx .
	cos 2		x

43.		x3dx			.

		x8		3

46.x6dx .

x7 2

49.	arcsin x			x		dx .
						dx .

		1 x2

52.	3 2	ln x			dx .
52.		x			dx .
		x
	e4 x dx
55.			.
55.	5	2e4 x	.

Найдите неопределенные интегралы, вания по частям:

38.arccos x dx .

1 x2


41.	3 x			dx .

		x
		x
44.		ex dx				.

	5			e2x
	5			e2x
	sin			1
	sin		x2
			x2
47.					dx .
47.		x	3		dx .
		x	3

50.2x 3 dx . x2 4

53.41 6x5 x4dx .

56.	sin 2x dx			.

	5	cos2	2x

используя метод интегриро-

57.		x cos x dx .			58.	x sin 2x dx .					59.		xe	x dx .
60.		ln x dx			61.	x2	3x 2 ln x dx .				62.	arcsin x dx .
63.		x arctg x dx .			64.	xdx		.			65.		x cos x			dx .
						cos 2
							x						sin3 x
			x			x ln 2 x dx .						e x sin x dx .
66.		x2e 2 dx .			67.						68.
	Найдите неопределенные интегралы от рациональных дробей:
		dx							dx						2x		1 dx
69.				.		70.				.		71.						.
									3x 2 2
		3 x														x	2

	x4dx								73.
72.	1	x .

75.	3x3			x2		dx .			76.
	x2		6x		10

78.	2x2			41x		91		dx . 79.
	x	1		x	3	x	4
81.		x2		2x		3 dx			. 82.
	x	1 x4			4x2		3x

	dx		.			74.

x2	2x	3

x3	7x2		14x	dx .		77.
x2	7x		13

x5	x4	8	dx .			80.
x3	4x

2x2 3x 3 dx					. 83.
x	1 x2		2x 5

x	2 dx		.
x2	2x	2	.
x	5 dx			.

2x2	2x		3
2x2	2x		3
x3	1	dx .
x3	x2	dx .
x3	x2
x4		1 dx
					.
x3	x2	x	1		.

Найдите неопределенные интегралы от иррациональных функций:

84.		dx	.		85.					dx			. 86.		8x 11 dx			.
84.			.		85.								. 86.					.
	5 2x x2					12x 9x2 2									5 2x x2
	2	5x dx				x		3	dx					x		1 dx
87.				.	88.	x					.	89.					.

	4x2
	4x2	9x 1					x 1							x x 2

				dx																																			dx
90.				dx				.			91.					xdx										.					92.								dx								.
90.				3				.			91.															.					92.					3 x (3											.
	1			3	x 1										x				3 x																	3 x (3				x 1)
				dx													xdx
93.				dx				.									xdx																			1			x		2
																																									2
											94.																.				95.												dx .

			x		4 x
			x		4 x							3			x	2					4			x													x		2
															x									x													x
																	dx
	1				x	2					97.						dx											.								(9				x		2		)	3
96.	1				x		dx.																								98.					(9				x				)		dx .

			x4										x2					x2							9
																																							x6
																																							x6
	Найдите неопределѐнные интегралы от тригонометрических функ-
ций:
99.	cos 4x cos 7xdx .										100.	sin 4xsin 6xdx .																			101.			sin			x		cos				2x			dx .
99.	cos 4x cos 7xdx .										100.	sin 4xsin 6xdx .																			101.			sin					cos							dx .
																																					3							3
102.	sin3 xcos2 xdx .											cos3 xdx																							sin3 xdx
102.	sin3 xcos2 xdx .										103.			sin5 x .																	104.				cos x						3 .
											103.			sin5 x .																	104.				cos x						3 .
105.	cos2 xdx .										106.	sin 4 xdx .																			107.			cos6 xdx .
108.			dx			.							sin 4 x																		110.			ctg			4	xdx .
											109.									dx .
		cos4 x
		cos4 x										cos2 x
				dx															dx												113.								dx									.
																															113.																	.
111.	5			3cos x .							112.	3sin x										4cos x .											5				sin x					3cos x
	Ответы. 1. 2x3									4x2 3x				С . 2.									a2 x							abx4		b2 x7					C .
	Ответы. 1. 2x3									4x2 3x				С . 2.									a2 x						2				7				C .
																													2				7
													2x2
3. x3		x2			3x ln				x	1	С . 4.							x								x С .
										1								x
										x3				5
										x3				5


	3x4 3 x 3x2 3 x																				63																	1								x
5.	3x4 3 x 3x2 3 x																									x			С . 6.									1			arctg					x		С . 7.
		13											7
																																						7								7
																																						7								7

	1				ln				x				10									С . 8. arcsin														x					С . 9. С							tgx						ctgx .
2		10			ln				x				10									С . 8. arcsin										2						2			С . 9. С							tgx						ctgx .
2		10							x				10																			2						2
10. 3tgx									4ctgx С . 11.																	cos x						ctgx									С . 12. С							x				ctgx .
		3 4x							2																																						ex 3
13.		3 4x							2									С . 14.								ln		x			2arctgx										С . 15.												С . 16. ln					x	4
			ln 4
												x
												x

17.			33 (x						11)4											С . 18. sin(x																	) С . 19. С											1	cos 5x . 20.									34 x
									4																							8															5										4 ln 3
21.		9tg						x		С			. 22.									1	arctg							3x				С . 23.								1		arcsin 5x						С .
						9														12									4												5
		1																														1			e4 x 3																1		e1 5 x .
24.		1		ln				2x						4x2								5				С . 25.						1											С . 26.				С				1
24.		2		ln				2x						4x2								5				С . 25.						4											С . 26.				С			5
		2																														4																		5
27. С							1		ln		1				7x				. 28.					(5x					3)7								С . 29.									1								С .
							1																	(5x					3)7																	1
								7																	35																				6(2		3x)2											ln3
								7																	35											x									6(2		3x)2												x

						8										x			7
30.		С				8			4 (1							x		)	7	. 31.						3ctg (													)		С . 32.						2x			5					С	. 33.
30.		С							4 (1									)		. 31.						3ctg (													)		С . 32.						2x			5					С	. 33.
						7							2																4							3																					3
								ecos x . 35.												sin7 x																									С . 37. earctgx С .
34.		С																		sin7 x							С . 36.									ln				sin x
34.		С																		7							С . 36.									ln				sin x
																				7

38. С						arccos 2 x											. 39.								1							С . 40. etgx														С . 41.						2 3 x				С .
38. С																	. 39.						4 cos4 x									С . 40. etgx														С . 41.							ln 3			С .
									2														4 cos4 x																														ln 3
		sin x							2														1																															ex
42.		sin x							2					С . 43.									1	ln			x		4				x			8		3					C . 44.				arcsin							ex		С .
42.				cos x										С . 43.									4	ln			x						x					3					C . 44.				arcsin									С .
																																																						5
																																																						5

С.

С .

									x7
45.				1			arctg			С . 46.		1		ln		x			7			2			С . 47.				1	cos		1		С . 48.		С	3 x	.
				1								1							7										1			1					3 x
												7																2				x	2				ln 3
	7				5				5																								2
	7				5				5
			arcsin 2 x															1										2)7
49.			arcsin 2 x						1	x2 С		. 50.						1			ln		(x			2)(x						С .
																	4
					2
		2			2																					4										5
																	3									4								2

						ln 3 x 6 ln x С . 52.
51.																				(2 ln x) 3 С . 53. С															(1 6x5 ) 4 .
	3																4
																																		75
																																		75
									1				1
54.	С								1		. 55.		1		ln(5							2e4 x )					С . 56.				1		ln	cos 2x		5	С .
									5 ln x)4																									cos 2x
					20(1							8
					20(1							8																		4		5		cos 2x		5
57.			xsin x					cos x		С . 58.			1		sin 2x									1	x cos 2x				С . 59.				С	e x (x		1) .
57.			xsin x					cos x		С . 58.		4			sin 2x							2			x cos 2x				С . 59.				С	e x (x		1) .
												4										2

60. x(ln x																	1)					С				. 61.				(		x3								3x2					2x) ln x													x3							3x2						2x					С .
60. x(ln x																	1)					С				. 61.				(			3									2			2x) ln x													9								4					2x					С .
																																	3									2																9								4
																																										x2			1													x
																											x2
62. xarcsin x																					1									С			. 63.														arctgx																С . 64.								xtgx ln						cos x				С .
62. xarcsin x																					1									С			. 63.														arctgx											2					С . 64.								xtgx ln						cos x				С .
										1										x																							2					x										2
																																																x
65.		С													(													ctgx) . 66. С																2e 2 (x2												4x					8)					С .
65.		С					2								(			sin 2 x										ctgx) . 66. С																2e 2 (x2												4x					8)					С .
							2											sin 2 x
67.		1			x2 ln 2 x																		1		x2 ln x										1			x2					С . 68.									1		ex (sin x														cos x)							С .
67.	2				x2 ln 2 x																2				x2 ln x								4					x2					С . 68.									2		ex (sin x														cos x)							С .
	2																				2												4																			2
69. С								ln						3						x		. 70. С															1								. 71. 2x												3 ln						x			2				С .
																																					1
																																		3(3x								2)
									x4											x3							x2							3(3x								2)										1												x				1
72.	С																														x					ln				1			x	. 73.												arctg															С

									4											3							2
		1							4											3							2																									2														2
74.		1		ln(x2																2x						2)				arctg (x													1)			С .
74.	2			ln(x2																2x						2)				arctg (x													1)			С .
	2
75.		3		x2											17x									36 ln(x2											6x							10)					46arctg (x																3)						С .
75.				x2											17x									36 ln(x2											6x							10)					46arctg (x																3)						С .
	2
76.		x2										1				ln( x2											7x			13)							7						arctg							2x					7						С

	2						2																																			3
	2						2																																			3										3
77.		1			ln(2x												2				2x					3)							9						arctg						2x 1										С . 78. ln														(x 1)4						(x 4)5					С .
		1															2																9												2x 1																								(x 1)4						(x 4)5
	4																																																																						(x				3)7
																														2 5																		5
																														2 5																		5
79.			x3										x2								4x ln									x2 (x 2)5															С . 80.										x					1					ln			(x 1)2								С .
			x3										x2																	x2 (x 2)5																														1								(x 1)2
	3												2																		(x 2)3																														x									x

																																																					(x2								2x							5)3
81.					1											ln						(x					1)(x						3)									С	. 82.						ln				(x2								2x							5)3				1			arctg			x 1			С .
81.		x					1									ln												x														С	. 82.						ln										x				1									2			arctg			2			С .
		x					1																					x																															x				1									2						2
			(x				1)									2											x		1
																2											x		1
83.																				ln																arctgx									С . 84.										С						ln			1				x		5						2x		x2	.
							2
																											x	2		1
																												2


		1																	3x		2																																									3arcsin									x			1		.
85.		1		arcsin															3x		2								С . 86.								С						8		5					2x						x2															x			1
85.	3			arcsin																									С . 86.								С						8		5					2x						x2
	3																				2																																																	6
		61																																											5
87.		61				ln					8x 9 4 4x2																							9x 1											5					4x2						9x 1 С .
87.	16					ln					8x 9 4 4x2																							9x 1											4					4x2						9x 1 С .



	2						x								1
																			(5x3								6x2																																														x		2
88.																																	8x				16)								С . 89. 2 x																2						2arctg						x		2		С .
					35
																																																																											2
																																																																											2
		3															2													1
																																											3
90.					(x 1) 3																	3(x 1)3												3ln							1		3		x 1						С .
90.	2				(x 1) 3																	3(x 1)3												3ln							1				x 1						С .
	2

						66			x5				33									x2
91. x						66			x5				33									x2				2 x 33 x 66 x 6 ln																							6 x 1									С .
91. x								5												2						2 x 33 x 66 x 6 ln																							6 x 1									С .
								5												2

92. 33 x								3ln							3 x						1				С . 93.								2					x				44		x		4ln(1						4		x )						С .

	6																																																1					x	2
	6				6			5					12							5							12					5																	1					x	2
94.				(			x						2				x						2 ln							x			1)								С . 95. С																			arcsin x .
94.	5			(			x						2				x						2 ln							x			1)								С . 95. С												x							arcsin x .



								(1 x2 )3																					x2				9						С . 98. С											(9 x2 )5
96. С																					. 97.																																							.
96. С										3x3											. 97.									9x																					45x5									.
										3x3																				9x																					45x5
99.	1			sin 3x										1				sin11x										С . 100.											1			sin 2x					1		sin 10x										С .
99.	6			sin 3x									22					sin11x										С . 100.											4			sin 2x				20			sin 10x										С .
	6												22																										4							20
101.			3			cos				x						1	cos x									С . 102.											1				cos		3	x(3cos				2		x		5)						С . 103. C										ctg 4 x		.
101.			2			cos			3				2				cos x									С . 102.									15						cos			x(3cos						x		5)						С . 103. C									4			.
			2						3				2																						15																																4
104.				cos2					x						3cos x 8ln														cos x						3							С . 105.					x					sin 2x									С .
				cos2					x																																						x					sin 2x
							2																																								2					4
		106 .	3			x	2		1			sin 2x											1			sin 4x									С												2					4
			3						1														1

	8								4														32
107.			5			x			1				sin 2x(cos4													x					5	cos2 x										15	) С . 108.									tgx				1	tg 3 x						С .
107.						x							sin 2x(cos4													x						cos2 x											) С . 108.									tgx					tg 3 x						С .
	16								12																					4									8																3
109. tgx									1		sin 2x												3		x				С . 110.										x				1	ctg 3 x					ctgx						С .
109. tgx									4		sin 2x												2		x				С . 110.										x			3		ctg 3 x					ctgx						С .
									4														2																			3
																																								tg		x			1																			2tg		x	1
																																										x			1																					x
			1			arctg (2tg													x		)			С									1									2 2															2								2
111.																										. 112.										ln											С		. 113.													arctg							С .
			2															2																5								x

																																									tg			2														15							15
																																									tg	2		2

6.2. Определѐнный интеграл и его приложения. Несобственные интегралы

Вычислите определѐнные интегралы:

	1						1			dx
1.		1	xdx.		2.					dx		.

	0						2 (11			5x)3
	1					1			xdx
4.		(ex	1)4 exdx.		5.				xdx		.

	0					0		(x2		1)2
	0					0		(x2		1)2
	e3		dx			1				dx
7.			dx		8.					dx			.
				.
	1 x							x2		4x 5
	1 x		1 ln x			0		x2		4x 5

9			x			1	dx.
3.


4				x		1
e						dx
6.						dx			.


		x			1	ln2 x
1		x			1	ln2 x

9.	4 cos3 xdx							.
			3
					sin x
					sin x
	2

10. 1

dx				3	xdx
dx		2		3	xdx
			12.
3 2x x2	.	11. x cos xdx.			sin 2 x .
		0
		0	4
			4

	e		1								1												3
	e		1								2 arcsin xdx.												3
13.			ln( x					1)dx.		14.	2 arcsin xdx.											15.			xarctgxdx.
	0										0												0
											0
	9										8
16.	9				xdx				.	17.	8			xdx						.		18.	29		3		(x				2)2 dx				.
16.	4			x 1					.	17.	3			1 x						.			3 3					3 (x 2)2							.
	4			x 1							3			1 x									3 3					3 (x 2)2

																		dt				21.	1				1				x		2
19.	2							dx		20.								dt			.	21.					1				x			dx.
								dx																				x2						dx.
												3					2 cos t
		0 1 sin x cos x									0													2
											0

																							2
	Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходи-
мость):
			dx										ln x														dx
22.						.				23.									dx			24.
22.	1		x2			.				23.	2			x					dx			24.			1				x2
										26.									dx						arctgx

25.		0 sin xdx												x2					4x 9			27.	0			x2				1 dx
25.		0 sin xdx												x2					4x 9			27.	0			x2				1 dx
											1												1
														dx
28.			xe				x 2	dx		29.				dx									2				dx
																						30.
															x
	0										0														0 x ln				2		x
	0										0


											2			dx		.							3				dx
	2									32.	2			dx								33.	3				dx					.
31.			ctgxdx							32.												33.			0 (x				1)		2	.
31.			ctgxdx											x
											1			x
	0										1
	0

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

34.	y		x2		, y		4		2	x	2	.
		3						3

36.	y	3			2x, y			x2 .
38.	xy			2,		y	x	3.
40.	x2	y2		6x		2y	8	0,
y	x2		6x			10 (две фигуры).

		1					x2
35.	y			,	y			.
		1 x	2
							2


37.	y	x2 , y				x2	, y 2x.
37.	y	x2 , y				2	, y 2x.
						2
39.	y	ln x,			y	ln 2 x.
41.		a(1			cos		) .

42.	2 cos .	43.		4sin2 .
44.	acos3 .	45.	x	a cos t, y bsin t (эллипс).

46.

a(t

sin t) ,

a cos3 t , y a sin 3 t (аст-

a(1

cos t) , 0

(одна

47.

роида).

арка циклоиды),

Найдите объѐмы тел, образованных вращением фигур, ограничен-

ных заданными линиями, вокруг указанных осей координат:

48.

x2 , y

0 (x

0) ,а) вокруг Ox; б) вокруг Oy.

49.

ex ,

a) вокруг Ox; б) вокруг Oy.

50.

2, а) вокруг Ox; б) вокруг Oy

51.

sin x,

, вокруг Ox.

52.

x3 ,

8, вокруг Oy.

Вычислите длины дуг кривых:

53.

от точки О (0;0) до точки А (4;8).

54.

ln cos x, отсечѐнной прямыми x

55.

x)3 ,

отсечѐнной прямой x

56.

a cos3 t, y

a sin 3 t

(астроида).

57.

a(t

sin t),

a(1

cos t), 0

(одна арка циклоиды).

58. 4(1 cos ) (кардиоида).

59. aeот 0 до .

		Ответы. 1.										2									2.				7			.	3.			7		2		.		4. 0,2(e				1)5. 5.				1	.	6.					.		7.		2.
														(		8		1).							7									2												1
																									72								3												4					2
											3
											3
				1			3
8. arctg						. 9.					(73													10.						. 11.								1. 12.				(9	4	3)				1	ln		3	.	13.				1.
																4		12).																								(9	4	3)
				7												4		12).																		2
				7			32																		6											2						36						2		2
																										3

14.					3		1. 15.										5arctg3										.		16.						7			2ln 2.		17.			32	.	18.					8				3	3		.
	12			2																					2																		3												2
19.	ln 2.			20.					.		21. 1											. 22. 1.								23. Расходится.												24.	. 25. Расходится.
19.	ln 2.			20.				5	.		21. 1									4		. 22. 1.								23. Расходится.												24.	. 25. Расходится.
							2											1														1
26.			.	27.						.	28.							1	.		29. 2. 30.											1					.	31. Расходится.							32.Расходится.
26.			.	27.						.	28.								.		29. 2. 30.																.	31. Расходится.							32.Расходится.
	5						8											2														ln 2
33. Расходится. 34.																		32			.			35.								1	. 36. 10							2	.	37.	4.		38.					3				2 ln 2.
33. Расходится. 34.																		3			.			35.									. 36. 10								.	37.	4.		38.					2				2 ln 2.
																		3							2							3								3										2
39.	3 e. 40.												1		;		3						1	.	41.						3	a			2	.		42.	9			. 43.		6	.			44.					1			a	2	.
39.	3 e. 40.						2				3				;	2					3			.	41.				2			a				.		42.	2			. 43.		6	.			44.					4			a		.
							2				3					2					3								2										2														4

45.	ab.			46. 3 a2.			47.	3	a2 .		48. а)		256		; б) 8		49. а)	(e2	1)	;	б) 2 .
45.	ab.			46. 3 a2.			47.	8	a2 .		48. а)				; б) 8		49. а)		1)	;	б) 2 .
								8			15							2
		178			21				2							8					1
50. а)		178		; б)	21	.	51.			. 52. 38,4				. 53.		8	(10 10	1).	54.		1	ln 3.
	15			2					2					27							2
55.	28		. 56. 6а. 57. 8а. 58. 32. 59.
	28											2a(e		1).
												2a(e		1).
	3

Глава 7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

7.1.Частные производные и полный дифференциал

1.Найдите и изобразите области определения функций:

а)

y2 ;

б)

ln(x

y);

в) y

;

г) z

1 x2

1 y2 ;

д)

ln( x2

y);

е)

2. Найдите частные производные и полные дифференциалы функ-

ций:

а)

3axy;

б)

;

в) z

;

г) z

y2 ;

;

д)

ln(x

y2 );

е)

arctg

ж)

x y ;

esin

з)

;

и)

ln sin

3. Вычислите приближѐнно:

а) (0,98)2,01;

б)

(4,05)2

(2,93)2 ;

в) ln(0,93

0,093 ).

4. Покажите, что

2 z

3 z

если

x y

y x

x2 y

y x2

x y x

а) z x4 3x3 y5 2x6 y y4

б) z 4x5 y7

3x3 y4 3x4 2y5

5. Покажите, что данные функции удовлетворяют заданным урав-

нениям:

а) z tg 3 (2x 3y); 3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.2015222.7 Кб36Pабочая программа_История Тригуб Г. Я..pdf
#
07.11.2018141.82 Кб2Pабочая программа_История.doc
#
13.04.2015890.16 Кб16Rimskoe_chastnoe_pravo_Barinova_M_A__Maximenk.pdf
#
13.04.2015658.01 Кб25Rimskoe_chastnoe_pravo_Konspekt_lektsy_Smirnov.pdf
#
21.08.2019116.22 Кб2S.P.E.C.I.A.L.- Vadik..doc
#
13.04.20152.43 Mб15sb_zad_VM_all.pdf
#
13.04.20153.21 Mб31Sito_Matematika.doc
#
13.04.2015869.89 Кб14STO_1_005-2007.doc
#
13.04.2015258.16 Кб18task6.pdf
#
13.04.20151.13 Mб31tekst.pdf
#
13.04.2015109.28 Кб58Tema_2.docx