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5.а) 3; б) 2; в) 16 ; г) – 18 .
6. а) |
5 |
; б) 6; в) |
|
5 |
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; г) |
|
1 |
; д) |
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25 |
; е) |
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1 |
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; ж) 6; з) 1; и) |
1 |
; к) 8; л) |
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3 |
2 |
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3 |
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||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7. а) е 4 ; б) е |
|
3 ; в) е 6 ; г) е; д) 0; е) 9; ж) е |
|
6 ; з) 1; и) + ;0; к) е 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||
8. а) 4; б) 1; в) – |
1 |
; г) |
9 |
|
д) – |
1 |
|
; е) – |
1 |
|
; ж) 1. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
134 .
53 ;
4.2. Непрерывность функции
Исследуйте непрерывность функции, найдите точки разрыва, укажите характер разрыва, постройте график функции в окрестности точки разрыва.
1. |
y |
8 |
|
|
. |
|
|
|
|
2. |
y |
|
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
y |
|
|
x |
3 |
. |
|
|
|
|
4. |
y |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
4x 3 |
|
||||||||||||||||
5. |
y |
|
|
sin x |
|
1 |
|
. |
|
6. |
y |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
|
x |
|
7 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
y |
|
|
x |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2x |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
y |
|
x |
x |
|
|
3 |
. |
|
10. |
y |
arctg |
1 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
12. |
|
2 |
x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||
11. |
y |
1 2 x . |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
13. |
y |
|
|
x3 |
|
|
1, |
|
|
x |
0, |
14. |
y |
|
x |
3, |
x |
|
0, |
||||||||
|
|
|
2, |
|
|
|
x |
0. |
|
x |
2, |
|
x |
|
0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
x |
3, |
|
|
|
|
x2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, |
x |
3, |
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
||||||||||
15. |
y |
|
|
x |
3 |
|
|
16. |
y |
|
|
x |
2 |
, |
|
|
|
3 |
x 1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6, |
|
|
x |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
2, |
|
x |
1. |
||
|
|
|
x2 |
4, |
|
x |
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
1, |
|
|
2 |
|
x |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1, |
|
0 |
|
x |
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
, |
|
x |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответы. 1. |
x |
|
4 |
– точка разрыва II рода. 2. |
|
x |
|
0 – точка устра- |
||||||||||||||||
нимого разрыва. 3. Функция непрерывна. 4. |
x |
3 |
|
– точка устранимого |
|||||||||||||||||||||
разрыва; |
|
|
x |
1 |
|
– |
точка |
разрыва |
II |
рода. |
5. |
Функция |
непрерывна. |
||||||||||||
6. x |
0 – точка устранимого разрыва, |
x |
n (n |
|
|
Z, n |
0) |
– точки раз- |
|||||||||||||||||
рыва II рода. 7. |
x |
2 – точка разрыва I рода. 8. |
x |
|
|
|
1 – точка устрани- |
||||||||||||||||||
мого разрыва. 9. |
x |
|
3 – точка разрыва I рода. 10. |
|
x |
|
1 – точка разры- |
||||||||||||||||||
ва I рода. 11. |
x |
0 |
– точка разрыва II рода. 12. |
|
x |
|
|
0 |
– точка разрыва |
||||||||||||||||
I рода. 13. x |
0 – точка устранимого разрыва. 14. |
x |
0 – точка разрыва |
||||||||||||||||||||||
I рода. 15. Функция непрерывна. 16. |
x |
3 |
|
– |
точка разрыва II рода. |
||||||||||||||||||||
17. |
x |
2 – точка разрыва I рода, x |
3 – точка разрыва II рода. |
23
Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
5.1. Дифференцирование функций
Найдите производные функций:
1. |
y |
1 |
x5 |
2x |
4 |
|
2 |
x3 |
3 |
x2 |
4x 5 . |
2. |
y |
1 |
1 |
1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
3x3 |
|
5x5 |
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y 44 x3 |
33 x2 |
|
|
|
|
4. |
y |
|
|
|
ln 2 . |
|
|
|
||||||||||
3. |
2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.y x2 cos x .
7. |
y |
sin x |
|
cos x |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin x |
|
cos x |
|
||||||
9. |
y |
x3 ln x |
|
|
|
x3 |
. |
|
|||
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
y |
1 x2 |
|
arctg x x |
. |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
y |
cos(3 4x) . |
|
||||||||
15. |
y |
sin 4 x |
|
cos 4 x . |
|
||||||
17. |
y |
2x2 |
7 3 . |
|
|
|
|||||
19. |
y |
sin2 x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
y |
ln x2 |
|
5x 6 . |
|
||||||
23. |
y |
ln 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
y |
esin 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
y |
arcsin 2x . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29. |
y |
arctg |
|
x . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31. |
y |
arccos |
|
|
x . |
|
|||||
33. |
y |
arctg ln x . |
|
||||||||
35. |
y |
tg2 5x . |
|
6. |
y |
ax |
|
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ax |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
y |
2t sin t |
|
|
|
(t 2 2) cos t . |
||||||||||||
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
y |
sin |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
y |
cos3 x . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
y |
|
x4 |
2x |
3 . |
|||||||||||||
18. |
y |
|
ctg3 x |
3 ctg x 3x . |
||||||||||||||
20. |
y |
cos 2 x2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
22. |
y |
ln ln x . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. |
y |
a |
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
y |
ecos2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
28. |
y |
|
arcsin |
1 |
. |
|
||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||
30. |
y |
arctg |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
32. |
y |
arctg |
|
|
4x |
1 . |
||||||||||||
34. |
y |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
36. |
y |
5e x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
24
37. |
y |
lg sin x . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. |
y |
3 |
a |
bx3 . |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41. |
z |
y |
|
y . |
|||||
|
|
|
|
ex |
|
e x |
|||
43. |
y |
ln |
|
|
|
. |
|||
ex |
|
e x |
38. |
y |
3 |
2x2 |
4 . |
|
|
|
|
||||
40. |
y |
3 |
2 sin x 5 . |
|
|
|||||||
42. |
y |
|
|
1 |
|
1 |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 cos3 x |
cos x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 tg |
x |
|
4 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
44. |
y |
|
arctg |
|
2 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
45. y |
1 |
lntg |
x |
|
cos x |
. |
46. y ln |
1 |
sin x |
2 arctg |
|
. |
|
sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
2 sin 2 x |
1 |
sin x |
|
|
|
Найдите производные степенно-показательных функций:
47. |
y |
xcos x . |
48. |
y |
sin x x . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49. |
y |
x x . |
|
50. |
y |
x x . |
||||
51. |
y |
arctg x x . |
52. |
y |
cos x sin x . |
|||||
|
Найдите производные функций, заданных неявно: |
|||||||||
53. |
x3 |
y3 |
a3 . |
54. |
xy |
tg y . |
||||
55. |
e y |
x |
y . |
56. |
y |
0,3sin y x . |
57. |
xy |
arctg |
|
x |
. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
||
|
Найдите производные |
||||||
чески: |
|
|
|
|
|
||
59. |
x |
ln t, |
|
|
|
||
y |
t 3 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
61. |
x |
arcsin t, |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
y |
1 |
t 2 . |
|||||
|
|||||||
63. |
x |
cos 2t, |
|||||
y |
sin 2 t. |
||||||
|
|
|
|
|
58. |
x y y x . |
||||
|
dy |
и |
d 2 y |
|
функций, заданных параметри- |
||||
|
dx |
dx2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
60. |
x |
arctg t, |
|||||||
y |
|
ln 1 |
|
t 2 . |
|||||
|
|
|
|
||||||
62. |
x |
|
a cos3 t, |
||||||
y |
|
a sin3 t. |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
arctg t, |
|||||
64. |
y |
|
1 |
t 2 . |
|
||||
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите n-ю производную от функций: |
||||||
65. |
y |
e 3 x . |
66. |
y |
ln 1 x . |
||
67. |
y |
1 |
. |
68. |
y |
sin x . |
|
|
|
||||||
1 x |
25
69. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно
вычислите: а) |
arctg1,05 ; |
|
|
б) e0,2 ; |
|
||||||||||||||
|
|
Ответы. |
|
|
1. |
x4 |
8x3 |
2x2 3x |
4 . |
||||||||||
3. |
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
. |
4. |
|
. |
5. x(2 cos x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||
4 x |
3 x |
x |
|||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. 8. |
t 2 sin t . 9. |
3x2 ln x . |
10. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin x |
cos x 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ln1,01 .
2. |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x3 |
|
x4 |
x6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2ab |
||||
x sin x) . |
|
6. |
|
|
|
. |
|||||
|
|
ax |
b 2 |
||||||||
|
5x4 x5 |
. |
11. |
|
x arctg x . |
||||||
|
ex |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.
16.
20.
24.
28.
32.
36.
40.
43.
47.
49.
51.
1 |
cos |
x |
. |
13. |
4 sin(3 |
4x) . |
|
14. |
3cos2 xsin x . |
15. |
sin 4x . |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x3 |
1 |
|
|
. |
17. 12x 2x2 |
7 |
2 |
. 18. |
3 ctg4 x . |
19. |
sin x(sec2 x 1) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x4 |
2x |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x sin 2x2 . |
21. |
|
2x |
5 |
|
|
. |
22. |
|
1 |
. |
23. |
|
2 ln x |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 5x |
6 |
|
|
x ln x |
|
|
|
x |
1 |
asin |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ln a . |
25. 2 cos 2xesin 2x . |
|
|||||||||||||||||
4 |
|
cos |
26. |
|||||||||||||||||||||
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
29. |
1 |
|
. |
30. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
x4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x (x 1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
33. |
1 |
|
|
. 34. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1 ln 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
4x3 |
|
x2 |
|
|
x) |
|
|
|
sin 2xe |
cos 2 |
x |
. 27. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4x2 |
||||||||||
1 |
. |
31. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 35. 10 tg 5x sec2 5x .
xln 3 x
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
10xe |
. |
|
37. |
ctg x lg e . |
38. |
16x 3 |
2x2 . |
|
39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
a |
|
bx3 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
10cos x 3 |
2sin x 4 . |
41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
42. |
|
|
|
|
sin x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 y 3 |
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
. |
|
44. |
|
|
|
1 |
|
. |
45. |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
46. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
e 2 x |
e2 x |
5 |
|
4 sin x |
|
|
|
sin 3 x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xcos x |
sin x ln x |
cos x |
. |
|
|
|
48. |
|
|
|
|
|
sin x x ln sin x |
x ctg x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 1 ln x . |
|
|
|
|
|
|
50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 ln x . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
arctg x x lnarctg x |
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
52. cos x |
sin x |
cos x ln cos x |
sin x tg x . |
53. |
|
|
|
|
|
x2 |
|
. 54. |
|
|
|
|
|
y cos2 y |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
1 |
x cos2 y |
||||||||||||||||||||||||
55. |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
56. |
|
|
10 |
|
|
. |
|
|
|
57. |
y |
1 |
|
x2 |
y2 |
|
. |
||||||||
|
e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
10 |
3cos y |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
x ln y y |
|
y |
|
9t3 . 60. 2t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
58. |
|
|
. 59. |
2 . 61. |
|
|
|
1 t 2 . 62. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3a cos 4 t sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y ln x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
63. |
|
0 . |
64. |
|
1 t |
2 |
1 3t |
2 |
. 65. |
3 |
n |
e |
3x |
. |
66. |
1 |
|
n |
1 n |
1 ! |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
67. |
|
|
1 n |
1 n! |
. 68. |
sin |
x |
n |
|
|
. 69. а) 0,81; б) 1,2; в) 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Правило Лопиталя-Бернулли
|
Вычислите пределы, используя правило Лопиталя-Бернулли: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
3x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
x x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
3x |
2 |
|
20 |
. |
|
4. |
lim |
|
tg x |
|
|
sin x |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
tg x |
. |
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
sin x |
|
|
e2 x x |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
5x |
2 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
lim |
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. |
lim ln x ln x 1 . |
|
|
10. |
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
ln x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
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|||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
12. |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
11. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x2 |
x 6 |
|
x 1 1 |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
13. lim 1 |
x tg |
x |
. |
|
2 |
||||
x 1 |
|
|
15.lim x x .
x 0
1
14. lim x x .
x
16. lim |
1 |
tgx . |
|
x |
|||
x 0 |
|
27
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
17. |
lim ctg x |
sinx |
. |
|
|
sin x |
|
1 cos x |
|
|
||||||||
|
|
18. lim |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответы. 1. –3. 2. . 3. –12. 4. 3. 5. 3. 6. |
2 |
. 7. 0. 8. 0. 9. 0. 10. |
1 |
. |
|||||||||||||
|
5 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
1 |
|
. 12. . 13. |
|
2 |
. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18. |
|
1 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 e |
|
|
5.3.Исследование функций с помощью производных
1.Определите промежутки возрастания и убывания функций:
а) |
y 1 4x x2 ; |
б) y x2 x 3 ; |
||
в) |
y |
x |
; |
г) y x ln x . |
|
||||
x 2 |
2. Исследуйте на экстремум функции:
а) |
y |
x3 |
3x2 3x 2 ; |
в) |
y |
x 2e |
x ; |
3. Найдите интервалы функций:
а) |
y |
x3 6x2 12x 4 ; |
в) |
y |
x2 ln x ; |
б) |
y |
|
|
|
4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 |
8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
y |
x |
arctg x . |
||||||
вогнутости |
и точки перегиба графиков |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y |
3 4x3 |
12x ; |
||||||
г) |
y |
1 |
|
x2 e x . |
|
|
4. Найдите асимптоты кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
б) |
y |
|
x2 |
1 |
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
4x |
|
3 |
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
y |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
г) y ln 1 x . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5. Исследуйте функции и постройте их графики: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) y x |
3 |
3x |
2 |
; |
|
|
б) |
y |
|
x2 |
2x 2 |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
2x tg x . |
|
|
|
|
|||||||
в) |
y |
3 |
1 |
x |
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на ука- |
|||||||||||||||||||||||||
занных отрезках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
y |
|
|
x |
2x |
3, |
2;1 ; |
б) y |
|
1;3 ; в) y |
3 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x2 , |
|
2x 1, 2;1 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
7.Из прямоугольников, у которых сумма трех сторон равна 100, выберите тот, который имеет наибольшую площадь.
8.Определите размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
9.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определите размеры окна при заданном периметре, имеющего наибольшую площадь.
10.В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите этот объем.
|
|
|
Ответы. 1. а) |
|
|
; |
|
2 |
|
|
– возрастает, |
2; |
|
|
– убывает; б) |
|
|
|
|
;0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
2; |
|
|
|
|
|
– возрастает, |
0;2 |
|
|
– убывает; в) |
|
|
;2 |
и |
|
2; |
|
|
|
|
|
|
– убывает; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
0; |
1 |
|
|
|
|
|
– убывает, |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
– |
возрастает. |
2. |
а) |
экстремумов |
нет; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x |
|
0 ; |
в) |
|
ymin |
0 |
при |
x |
0 |
, ymax |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
при |
|
x |
2 ; |
||||||||||||||||||||||||||
ymax |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) экстремумов нет. 3. а) |
|
|
|
|
|
|
;2 |
– |
выпуклый, |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
– |
вогнутый, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 2;12 |
– точка перегиба; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
– вогнутый, |
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
3 |
0; |
3 |
|
|
|
3;0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
выпуклый, |
|
|
точки |
перегиба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
O 0;0 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1,2 |
|
|
|
3;0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
0; |
1 |
|
|
|
|
|
– выпуклый, |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
– вогнутый, |
M |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
3 |
|
– точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ка перегиба; |
г) |
|
|
; |
3 |
|
и |
|
|
1; |
|
– |
вогнутый, |
3; 1 |
|
– |
выпуклый, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки перегиба |
M1 |
|
3; |
10 |
|
|
|
и |
|
|
M 2 |
|
|
1; |
2 |
. |
4. а) |
x |
|
1 , |
|
x |
3 , |
|
y |
0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
x |
1 , |
|
|
y |
|
x (левая), y |
|
|
x |
(правая); в) x |
0 , |
y |
|
|
1 (левая), y |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(правая); г) x |
|
1 . 5. а) |
y max |
|
|
|
0 при |
x |
0 , |
y min |
|
4 при |
|
|
x |
2 , точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перегиба M 1; 2 ; б) |
y max |
|
|
|
|
2 при x |
0 , |
y min |
2 при x |
|
|
2 , асимпто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ты |
|
x |
1 , |
|
|
y |
x |
1; в) |
точки перегиба |
M1 0;1 |
и |
M 2 1;0 |
, |
асимптота |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
x ; |
г) |
функция |
|
нечетная, |
y max |
|
|
|
|
1 |
|
2 k |
|
|
при |
|
|
x |
|
|
|
|
k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y min |
3 |
|
|
|
1 |
2 k |
при x |
3 |
|
|
|
|
k |
, точки перегиба M k |
k;2 k , асим- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
птоты |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2k |
1 |
, |
|
k |
|
|
|
Z |
. |
|
6. |
а) m |
f ( 1) |
2 , |
|
|
|
M |
|
|
|
f ( |
2) |
|
11; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
б) |
m |
f (3) |
|
|
5 |
, |
|
|
M |
f (0) 1 ; в) m f (0) 1 , M f ( 2) 3 . |
|||||||
|
13 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
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25 |
50 . 8. |
3 |
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3 |
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V |
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7. |
2V |
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2V |
3 |
4 . 9. Высота прямоугольника равна радиу- |
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4 R3 |
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су полукруга. 10. |
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. |
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3 |
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3 |
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30