§5. Совместное применение теорем сложения и умножения.

	Условие				А	Разложение	Р(А)
1	Симметричная монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?	Выпадение цифры 1 подбрас.	Выпадение цифры 2 побрас.	Выпадение цифры 3 подбрас.	Выпадение двух цифр при трех подбрасываниях.	+ ++ +
2	Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст только второй экзамен?
3	Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст по крайней мере два экзамена?
4	Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст только один экзамен?
5	Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен?
6	Вероятности появления каждого из трех независимых событий соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность появления только одного из этих событий?
7	Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Из нерассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что одна деталь обработана на третьем станке?
8	Какова вероятность того, что обе детали обработаны на одном станке?
9	Производится три выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Какова вероятность попадания в цель ровно два раза?

§6. Формула полной вероятности.

п.1. Формула полной вероятности

Если событиеF может наступить только при условии наступления одного из событий (гипотез) , образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) на соответствующую условную вероятность события F:

Гипотезы являются единственно возможными, а событие F может наступить только вместе с одной из них, поэтому . Гипотезы несовместны, поэтому по теореме о сложении вероятностей. По теореме умноженияи тогда

Р(F )= ………………………………………………………………….

На двух станках изготавливают одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше производительности второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором – 0,81. Нерассортированные детали находятся на складе. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется высшего качества?

F							Р(F)
Деталь высшего качества	Деталь 1 станка		Деталь 2 станка				0,87

На базе находятся лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлены первым заводом и 40% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, - 85 удовлетворяют стандарту. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка удовлетворяет стандарту?

F							Р(F)
Лампочка удовлетворяет стандарту

В группе 21 студент, из них 5 отличников, 10 хорошо занимающихся и 6 – слабо успевающих. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить хорошие и отличные оценки. Слабо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

F										Р(F)
Студент получил хорошую или отличную оценку.							1

На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема производства, на второй – 25%, на третьей - остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным?

F										Р(F)
Взятое наугад изделие оказалось бракованным

п.2. Вероятности гипотез. Формулы Байеса.

Пусть событие F, которое может произойти только с одной из гипотез , произошло и необходимо произвести количественную переоценку (априорных) вероятностей этих гипотез ,,……….,известных до опыта. По теореме умножения для событий F и имеем: (1); с другой стороны,(2). Сравнивая (1) и (2), получим: ……………………………………………………………., откуда

и с учетом формулы полной вероятности,

Детали, изготавливаемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из контролеров. Вероятность того, что деталь попадет первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Какова вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер?

F
Годная деталь признана стандартной	Деталь проверил первый контролер		Деталь проверил второй контролер
= …

На складе находятся изделия, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе равна 0,05, на втором заводе – 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

F
Деталь бракованная

Вящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные – вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3%, второго – 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

F

Впяти ящиках находятся одинаковые по весу и размеру шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава ). В двух других ящиках (состава ) – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава ) – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?

F

На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема производства, на второй – 25%, на третьей - остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что изделие изготовлено на первой, второй и третьей линиях?

F
0,281

В первой урне 2 голубых и 6 красных шаров, во второй - 4 голубых и 2 красных шара. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали шар. Какова вероятность того, этот шар голубой?

Предположим, что шар, взятый из второй урны, оказался голубым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 голубых шара?

F
Извлечен голубой шар из второй урны	Переложены 2 голубых шара
Р(F)=

Глава пятая. Повторные независимые испытания