2 Вариант задания

Заданы граф , гдеV — множество вершин; E — множество ребер, и положительное целое число , где— мощность множестваV. Раскрасить вершины графа K красками так, чтобы ни одно его ребро не имело соцветных концов. Если такая раскраска невозможна, выдать на экран соответствующее сообщение. Предусмотреть графическое представление исходного графа и цветовое выделение его вершин на экране.

3 Краткие теоретические сведения

Раскраской вершин графа называется назначение цветов его вершинам. Обычно цвета - это числа 1,2…k. Тогда раскраска является функцией, определенной на множестве вершин графа и принимающей значения во множестве {1,2…k}. Раскраску можно также рассматривать как разбиение множества вершин , где– множество вершин цветаi. Множества называют цветными классами. Раскраска называетсяправильной, если каждый цветной класс является независимым множеством. Иначе говоря, в правильной раскраске любые две смежные вершины должны иметь разные цвета. Задача о раскраске состоит в нахождении правильной раскраски данного графа G в наименьшее число цветов. Это число называется хроматическим числом графа и обозначается .

В правильной раскраске полного графа все вершины должны иметь разные цвета, поэтому. Если в каком-нибудь графе имеется полный подграф сk вершинами, то для раскраски этого подграфа необходимо k цветов. Отсюда следует, что для любого графа выполняется неравенство .

Однако хроматическое число может быть и строго больше кликового числа. Например, для цикла длины 5 , а. Другой пример показан на рис. 1. На нем изображен граф, вершины которого раскрашены в 4 цвета (цвета вершин показаны в скобках). Нетрудно проверить, что трех цветов для правильной раскраски этого графа недостаточно. Следовательно, его хроматическое число равно 4. Очевидно также, что кликовое число этого графа равно 3.

Рис. 1.

Очевидно, что тогда и только тогда, когдаG – пустой граф. Нетрудно охарактеризовать и графы с хроматическим числом 2 (точнее, не больше 2). По определению, это такие графы, у которых множество вершин можно разбить на два независимых множества. Но это совпадает с определением двудольного графа. Поэтому двудольные графы называют еще бихроматическими. Согласно теореме Кенига, граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда в нем нет циклов нечетной длины.

Для графов с хроматическим числом 3 такого простого описания мы не знаем. Неизвестны и простые алгоритмы, проверяющие, можно ли данный граф раскрасить в 3 цвета. Более того, задача такой проверки (вообще, задача проверки возможности раскрасить граф в k цветов при любом фиксированном ) является NP-полной.

4 Эскизный проект

4.1 Переборный алгоритм раскраски

Рассмотрим алгоритм решения задачи о раскраске, основанный на полном рекурсивном переборе различных вариантов. Данный алгоритм оперирует деревом вариантов, обход которого позволяет найти точное решение (хроматическое число графа). Нахождение точного решения, однако, обеспечивается экспоненциальной временной сложностью алгоритма.

Выберем в данном графе G две несмежные вершины ии построим два новых графа: , получающийся добавлением ребра к графуG, и, получающийся изG слиянием вершин x и y. Операция слияния состоит в удалении вершин x и y и добавлении новой вершины z и ребер, соединяющих ее с каждой вершиной, с которой была смежна хотя бы одна из вершин x, y. На рис. 2 показаны графы и, получающиеся из графаG, изображенного на рис. 1, с помощью этих операций, если в качестве x и y взять вершины a и .

Рис. 2.

Если в правильной раскраске графа G вершины x и y имеют разные цвета, то она будет правильной и для графа . Если же цвета вершинx и y в раскраске графа G одинаковы, то граф можно раскрасить в то же число цветов: новая вершинаz окрашивается в тот цвет, в который окрашены вершины x и y, а все остальные вершины сохраняют те цвета, которые они имели в графе G. И наоборот, раскраска каждого из графов ,, очевидно, дает раскраску графаG в то же число цветов. Поэтому , что дает возможность рекурсивного нахождения раскраски графа в минимальное число цветов. Заметим, что граф имеет столько же вершин, сколько исходный граф, но у него больше ребер. Поэтому рекурсия, в конечном счете, приводит к полным графам, для которых задача о раскраске решается тривиально.