Дисперсия обладает свойствами

Д(С) = 0, Д(СХ)=С²Д(Х). (5.10)

Если Х и Y независимы, то

Д(ХY) = Д(Х) + Д(Y). (5.11)

Среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины Х определяется равенством

(X) = . (5.12)

Число _k , определяемое равенством

 _k = М[(X-C)^k], (5.13)

называется моментом k-го порядка случайной величины Х. Если С=0, то момент называется начальным. Само математическое ожидание есть начальный момент первого порядка. Если С=М(Х), то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Коэффициентом корреляции r(Х, Y) между случайными величинами Х и Y называется число

r(Х, Y) = . (5.14)

Если Х и Y нормировать, т.е. ввести величины Х₁=,Y₁=, тоr(Х, Y)=М(Х₁Y₁). Если Х и Y независимы, то очевидно, что r(Х, Y)=0. Можно доказать, что

Часто приходится находить закон распределения случайной величины Y=y(Х) при известном законе распределения Х. Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения х_i с вероятностями р_i, полагают, что Y=y(Х) принимает значения y_i=y(x_i) с теми же вероятностями р_i. При этом, если некоторым х_i будут соответствовать равные между собой значения y_i, то в ряде распределения случайной величины Y эти y_i записываются только один раз с вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей.

Пусть Х и Y – дискретные случайные величины, при этом Х принимает значения х_i с вероятностями Р(Х=х_i), а Y – значения y_j с вероятностями Р(Y=y_j). Тогда их сумма Х+Y, разность Х-Y, произведение XY соответственно принимают всевозможные значения х_i + y_j, х_i – y_j , х_i y_j с вероятностями р_ij, определяемыми формулой

р_ij = Р(Х=х_i) (Y=y_j), (5.15)

а для независимых случайных величин – формулой

р_ij = Р(Х=х_i)  Р(Y=y_j). (5.16)

При этом, если при некоторых i и j величины х_i + y_j, х_i – y_j , х_i y_j примут равные значения, то соответствующая вероятность есть сумма вероятностей по этим индексам i, j.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Урожайность пшеницы в некотором районе определяется рядом распределения

Х	27	32	40
Р	0,3	0,5	0,2

где Х – урожайность в ц/га. Найти математическое ожидание урожайности, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Так как данная случайная величина дискретна, то согласно формуле (5.1) получим:

М(Х) = 270,3 + 320,5 + 400,2 = 32,1.

Таким образом, математическое ожидание урожайности пшеницы в этом районе составило 32,1 ц/га. Дисперсию найдем по формуле (5.9). М(Х) найдено, для нахождения М(Х²) запишем закон распределения Х²:

Х2	729	1024	1600
Р	0,3	0,5	0,2

Тогда М(Х²) = 72903 + 1 0240,5 + 1 6000,2 = 1 050,7. Следовательно, Д(Х)=1 050,7- (32,1)² = 20,29. Среднее квадратическое отклонение находится по формуле (5.12): (Х) =  4,504.

Задача 2. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х₁ с известной вероятностью р₁=0,4 и х₂, при этом х₁<х₂. Известны также математическое ожидание и дисперсия: М(Х)=3,2; Д(Х)=0,96.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Х	х1	х2
Р	0,4	0,6

Значения х₁ и х₂ подлежат определению. По определению математического ожидания М(Х) =х₁0,4+х₂0,6, а по условию задачи М(Х)=3,2. Следовательно, 0,4х₁+0,6х₂=3,2 или 2х₁+3х₂=16. По условию Д(Х)=0,96. Поэтому, применяя формулу (5.9), получим: х₁²0,4+х₂²0,6-(3,2)²=0,96 или 2х₁²+3х₂²=56. Значения х₁ и х₂ найдем как решение системы уравнений

Выражая из первого уравнения и подставляя это значение во второе уравнение, получим после упрощения уравнение 5х₂² – 32х₂+48=0. Корнями этого квадратного уравнения будут числа х₂=4 и х₂=2,4. Для х₂=4 находим х₁=(16-34)=2. Для х₂=2,4 находим х₁=4. По условию задачи х₁<х₂, поэтому остается принять, что х₁=2, х₂=4. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Х	2	4
Р	0,4	0,6

Задача 3. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Х	1	2	5		Y	0	2	4	6
Р	0,15	0,55	0,3		P	0,1	0,35	0,15	0,4

Составить закон распределения случайной величины Z=Х-Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии разности случайных величин.

Решение. Для составления закона распределения разности случайных величин найдем все возможные значения величины Z=X-Y, для чего от каждого значения величины Х вычтем каждое значение величины Y. Вероятность каждого из полученных значений определяется как произведение вероятностей слагаемых (см. формулу (5.16)). Например, Р(Z=1-0)=Р(Z=1)=Р(Х=1)Р(Y=0)=0,150,1=0,015. В результате получим

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Тогда закон распределения Z запишется так:

Z	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
P	0,06	0,22	0,0 225	0,0 825	0,1 725	0,1 925	0,06	0,055	0,105	0,03

По формуле (5.1) найдем М(Х), М(Y), М(Z):

М(Х) = 10,15+20,55+50,3=2,75,

М(Y) = 00,1+20,35+40,15+60,4=3,7,

М(Z) = -50,06+(-4)0,22+…+ 50,03 = -0,95.

Отсюда М(Х)-М(Y) = -0,95. Таким образом, для разности случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.5) математического ожидания:

М(Х-Y) = М(Х) - М(Y).

Дисперсии случайных величин Х, Y, Z найдем по формуле (5.9). Для этого запишем законы распределения Х², Y², Z²:

Х2	1	4	25		Y2	0	4	16	36
Р	0,15	0,55	0,3		P	0,1	0,35	0,15	0,15

Z2	25	16	9	4	1	0	1	4	9	25
P	0,06	0,22	0,0 225	0,0 825	0,1 725	0,1 925	0,06	0,055	0,105	0,03

Таблицу для Z² можно переписать так:

Z2	0	1	4	9	16	25
P	0,1 925	0,2 325	0,1 375	0,1 275	0,22	0,09

Тогда

М(Х²) = 10,15+40,55+250,3 = 9,85,

Д(Х) = М(Х²) – [М(Х)]² = 9,85 – 7,5 625 = 2,2 875,

М(Y²) = 0,10+40,35+160,15+360,4 = 18,2,

Д(Y) = М(Y²) – [М(Y)]² = 18,2 – 13,69 = 4,51,

М(Z²) = 250,09+160,22+…+00,1925 = 7,7,

Д(Z) = М(Z²) – [М(Z)]² = 7,7 – 0,9 025 = 6,7 975.

Отсюда Д(Х) + Д(Y) = 6,7975. Совпадение значений Д(Х) + Д(Y) и Д(Z) иллюстрирует выполнение свойства (5.11) дисперсии разности двух случайных величин: Д(Х-Y) = Д(Х) + Д(Y).

Задача 4. Две независимые случайные величины заданы следующими законами распределения:

Х	1	3	4		Y	0	2	4
Р	0,3	0,5	0,2		P	0,1	0,6	0,3

Составить закон распределения произведения этих случайных величин. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.

Решение. Для составления закона распределения случайных величин найдем произведения каждого значения случайной величины Х на каждое значение величины Y. Вероятности полученных значений определяют как произведения вероятностей сомножителей. Тогда имеем

Z=ХY	10	12	14	30	32	34	40	42	44
P	0,30,1	0,30,6	0,30,3	0,50,1	0,50,6	0,50,3	0,20,1	0,20,6	0,20,3

Учитывая, что значение Z=0 получается в результате нескольких комбинаций (10; 30; 40), эту таблицу можно упростить. После упрощений получим следующий ряд распределения XY:

Z=ХY	0	2	4	6	8	12	16
P	0,1	0,18	0,09	0,3	0,12	0,15	0,06

По формуле (5.1) определим М(Х), М(Y), М(Z):

М(Х) = 10,3+30,5+40,2 = 0,3+1,5+0,8 = 2,6;

М(Y) = 00,1+20,6+40,3 = 1,2+1,2 = 2,4;

М(Z) = 00,1+20,18+40,09+60,3+80,12+120,15+160,06 = 6,24.

Следовательно, М(Х)М(Y) = 2,62,4 = 6,24 = М(Z). Таким образом, для случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.6) математического ожидания.

Задача 5. Независимая случайная величина Х имеет следующий закон распределения:

Х	-1	0	2
Р	0,25	0,5	0,25

Составить закон распределения случайных величин Y=X² и Z=XX и убедиться, что Y и Z – различные случайные величины, т.е. X² XX.

Решение. Закон распределения случайной величины Y=X² может быть записан в виде следующей таблицы:

Y=X2	1	0	4
Р	0,25	0,5	0,25

Закон распределения случайной величины Z=ХХ находится как закон распределения произведения случайных величин. Имеем:

Z=ХХ	(-1)(-1	(-1) 0	(-1) 2	0(-1)	00	02	2(-1)	20	22
P	0,250,25	0,250,5	0,250,25	0,50,25	0,50,5	0,50,25	0,250,25	0,250,5	0,250,25

После упрощений получим следующий закон распределения величины Z=ХХ:

Z	-2	0	1	4
P	0,125	0,75	0,0 625	0,0 625

Получили, что случайные величины Z=ХХиY=Х²имеют разные законы распределения. Следовательно, случайные величиныZ=ХХиY=Х²различные.

Задача 6. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

F(х) =

Найти М(Х), Д(Х), (Х).

Решение. Сначала найдем плотность f(х) по формуле (4.8). Получим

f(х) =

Тогда математическое ожидание М(Х) найдется по формуле (5.3):

М(Х) =

Дисперсию будем находить не по определению (5.8), а по формуле (5.9). Тогда

Д(Х)=

Согласно (5.12) (Х)=

Задача 7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, дифференциальная функция которой определяется равенством

f(х) =

Решение. Согласно формуле (5.3) М(Х)= Для вычисления интеграла надо применить формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:

Положим u=х, dv=sin x dx. Отсюда du=dx, v= -cos x. Тогда

Следовательно, М(Х)=

Для нахождения дисперсии сначала найдем М(Х²)=для чего применим дважды формулу интегрирования по частям. В результате получим следующее:

Тогда согласно (5.9) Д(Х)=

З а д а ч и

1. Независимая случайная величина имеет следующий закон распределения:

Х	1	3	4	6
Р	0,1	0,2		0,5

Определить вероятность, с которой случайная величина Х принимает значение 4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

2. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х₁ с известной вероятностью р₁=0,3 и х₂, причем х₁<х₂. Известны также М(Х)=4,1 и Д(Х)=1,89.

3. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены четыре светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1,5 мин., желтый – в течение 0,3 мин., красный – в течение 1,2 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа светофоров, пройденных машиной без остановки.

4. Законы распределения независимых случайных величин Х и Y даны в таблицах:

Х	1	2	4	5		Y	0	3	4
Р	0,1	0,35	0,25	0,3		P	0,2	0,5	0,3

Составить закон распределения случайной величины Z=Х+2Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин и произведения постоянной величины на случайную величину.

5. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	-2	0	1	3
Р	0,4	0,2	0,3	0,1

Требуется: 1) составить закон распределения случайной величины Z=Х+Х и Y=2Х и убедиться, что Y и Z – различные случайные величины, т.е. 2ХХ+Х; 2) вычислить математические ожидания величин Y и Z; 3) определить дисперсии случайных величин Y и Z. Можно ли утверждать, что Д(Х+Х)=Д(Х)+Д(Х)?

6. Независмые случайные величины имеют следующие законы распределения:

Х	2	3	5	7		Y	0	1	4
Р	0,2	0,25	0,15	0,4		P	0,7	0,2	0,1

Составить ряд распределения случайной величины Z=XY. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.

6. Потребление электроэнергии цехами №1 и №2 завода в течение суток характеризуется следующими данными:

Х	900	950	1200		Y	600	640	700	720
Р	0,15	0,6	0,25		P	0,1	0,2	0,05	0,2

где Х – количество потребляемой энергии цехом №1 в кВт-час, Y- количество потребляемой энергии цехом №2 в кВт-час. Требуется: 1) составить закон распределения количества электроэнергии, потребляемой в течение суток обоими цехами вместе; 2) найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины и на этом примере проверить справедливость свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин.

6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной дифференциальной функцией

f(х) =

6. Найти центральные моменты второго и третьего порядков (см.(5.13)), если случайная величина задана функцией распределения

F(х) =