![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Моделирование биологических процессов и систем Лекция 1. Введение в моделирование Основные понятия моделирования
- •1. Познание окружающего мира.
- •4. Эффективность управления объектом (или процессом).
- •Классификация моделей
- •Структурные модели
- •Понятие адекватности модели
- •Инструментальные средства моделирования
- •Лекция 2. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями Статические и динамические модели
- •Простейшие модели, описываемые ду первого порядка: уравнения Мальтуса и Ферхюльста
- •Стационарные состояния и устойчивость
- •Переменные состояния и фазовые траектории
- •Системы дифференциальных уравнений. Модель «хищник – жертва»
- •Переход от дифференциального уравнения высокой степени к системе дифференциальных уравнений первой степени. Модель колебаний сердечной мышцы.
- •Аналитическое и численное решения дифференциальных уравнений
- •Тема 3. Стохастическое моделирование
- •Параметры случайной величины
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Метод Монте-Карло
- •Искусственные нейронные сети
- •Биологический прототип
- •Искусственный (математический) нейрон
- •Нейронная сеть без обратных связей - персептрон
- •Обучение нейронных сетей
- •Нейронные сети с обратными связями
- •Генетические алгоритмы оптимизации
- •Операции с нечеткими множествами
- •Нечеткое управление
Переход от дифференциального уравнения высокой степени к системе дифференциальных уравнений первой степени. Модель колебаний сердечной мышцы.
В случаях, когда модель изучаемого процесса описывается ДУ степенью большей 1, удобно трансформировать его в систему ДУ первой степени. Именно такой стандартизованной формы требуют, например, многие математические пакеты для проведения операции численного решения ДУ (см. далее).
Напомним, что системой ДУ первой степени называется система вида:
К ней легко приводится ДУ степени n:
Приведение осуществляется путем замены переменных:
,
которая дает каноническую систему ДУ первой степени:
Рассмотрим пример. Модель колебаний сердечной мышцы (изменение ее длины y в продольном направлении) можно упрощенно описать ДУ следующего вида:
,
где p,
q
– постоянные коэффициенты, определяющие
параметры периодического изменения
возмущающего воздействия (мышечного
напряжения),
-
угловая собственная (резонансная)
частота колебаний сердечной мышцы.
Произведем замену
переменных:
.
Получим:
Общее аналитическое решение данной системы в графическом виде будет иметь вид (подробно ход получения решения не приводится):
,
где A и B – постоянные коэффициенты.
График решения
системы
при
начальных условиях
имеет вид:
Аналитическое и численное решения дифференциальных уравнений
Аналитическим решением ДУ называется нахождение зависимостей его переменных от времени в виде явно заданной математической формулы.
Например, для
модели Мальтуса
таким аналитическим решением является
формула
,
для модели Ферхюльста
аналитическим решением является формула
,
а вот ДУ модели Вольтера-Лотка:
не имеют общего
аналитического решения. То есть, иными
словами, интегралы, возникающие в правой
части выражений для
и
невозможно «взять», используя стандартные
приемы аналитического интегрирования
(см. курс высшей математики). Откуда же
взялись приведенные в описании этой
модели графики зависимостей переменных
от времени и фазовые траектории? Они
были получены путемчисленного
решения
приведенной системы ДУ.
В общем случае
численное решение ДУ сводится к замене
дифференциалов, входящих в его состав,
малыми приращениями соответствующих
переменных и нахождение решений
получившегося алгебраического уравнения
на интервале времени от 0 до любого
заранее заданного
.
Рассмотрим применение простейшего
метода численного решения – метода
Эйлера для решения ДУ первого порядка
.
Представим исходное ДУ в виде:
,
где
-
дискретность по времени, произвольно
выбранная малая величина;
;i
– шаг алгоритма.
Шаг 0. Задаем
начальное условие
и определяем
.
Шаг 1. Вычисляем первые значения x и t по формулам:
;
.
Шаги 2 - n. Продолжаем вычисление x и t по формулам:
;
.
до тех пор пока
Аналогичным образом можно решать и системы ДУ первого порядка, к которым, как мы теперь знаем, можно свести ДУ любого порядка.
Точность численного
решения при прочих равных условиях
определяется выбранной величиной
дискретности по времени
.
Чем меньше дискретность, тем точнее
решение, но и тем больше шагов должен
включать алгоритм. Именно по причине
того, что алгоритмы численного решения
ДУ требуют огромного количества
элементарных вычислений (число шагов
может составлять сотни и тысячи), для
их практической реализации используют
компьютеры. Широко используемые программы
математического моделирования, как
правило, имеют в своем составе стандартные
функции численного решения ДУ, поэтому
их пользователю нет нужды детально
разбираться в тонкостях используемых
алгоритмов – достаточно задать свои
ДУ, начальные условия и интервал времени,
на котором ищется решения. Все остальное
программа сделает самостоятельно.
Простота использования описанных выше функций привела к тому, что создатели математических моделей в настоящее время обычно даже и не пытаются найти аналитическое решение разработанных ими ДУ, предпочитая во всех случаях решать их численно. Справедливости ради следует отметить, что абсолютное большинство ДУ, используемых в современном моделировании, не имеет аналитического решения в принципе.
Сказанное выше не отменяет необходимости при моделировании выполнять качественный анализ ДУ, в первую очередь путем исследования устойчивости стационарных состояний и типов поведения системы вблизи этих состояний.