Построение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных сферических поверхностей

Построение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1) способом концентрических сфер;

2) способом эксцентрических сфер.

Рассмотрим первый способ построения линии пересечения.

Этот способ применяется для построения линий пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхности вращения была параллельной какой-либо плоскости проекции.

Пример:

Построение линии пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающими осями (рис.11).

Рис.11

Сфера, проведенная из точки О₂, пересекает фронтальные проекции осей поверхностей вращения, пересечет поверхность a по окружности γ₂¹ , которая проецируется на плоскость П₂ в отрезок (1₂, 2₂), а поверхность β – по окружности, проецирующейся на П₂ в отрезок (3₂, 4₂).

На горизонтальную плоскость проекции эта окружность спроецируется без искажения в окружность радиуса (О₂, 3₂), проведенную из центра в точке О₁.

Пересечение отрезков (1₂, 2₂) и (3₂, 4₂) укажет фронтальные проекции двух точек H₂ и H₂¹. Другие точки определяются аналогично.

Рассмотрим некоторые частные случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Пример:

Построение линии пересечения поверхностей вращения α произвольного вида с поверхностью прямого кругового цилиндра β.

Оси поверхностей пересекаются (рис. 12).

Рис.12

1. Определяем центр вспомогательных сфер – точку пересечения осей поверхности вращения О₂ (i₂ пересекается с i₂¹).

2. Находим проекции опорных точек, принадлежащие линии пересечения L(A₂,B₂,C₂, D₂). т.к. эти точки принадлежат плоскости главных меридианов поверхностей, которые параллельны плоскости П₂, то эти точки определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей.

3. Для определения промежуточных точек линии пересечения проводим семейство концентрических окружностей, являющихся фронтальными проекциями вспомогательных сфер.

Радиус максимальной сферы равно расстоянию от фронтальной проекции центра сферы О₂ до наиболее удаленной проекции точки, принадлежащей линии пересечения – точки D₂.

Величина минимального радиуса вспомогательной секущей сферы равна радиусу окружности, касающейся цилиндра β. Показано построение точек К₂¹, К₂ и L₂¹, L₂ с помощью вспомогательной сферы γ.

Горизонтальные проекции точек линий пересечения строятся при помощи параллельной поверхности вращения α, которая проектируется на плоскость вращения П₁без искажения.

Теорема Монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечения распадаются на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанных около сферы (рис.13), будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми А₂В₂ и С₂D₂.