5.3. Нахождение решений двойственных задач

Практическая ценность наличия пары двойственных задач многозначна. Прежде всего с точки зрения методики решения ЗЛП приемнение двойственной задачи позволяет в отдельных случаях упростить решение и в частности свести его к графическому построению. Например, если:

а) количество неизвестных в прямой задаче более двух;

б) количество ограничений в прямой задаче равно двум,

то такая задача не может быть решена графически. Однако она будет иметь двойственную задачу типа:

а) количество неизвестных в двойственной задаче равно двум;

б) количество ограничений в двойственной задаче более двух,

и такая задача может быть решена графическим методом. Однако в этом случае можно получить только значение функции цели, но оптимальный план прямой задачи получить таким методом нельзя.

Независимо от структуры задач как прямой, так и двойственной, имеется возможность, решая первую, получить одновременно решение и второй. Не останавливаясь на теоретических положениях, рассмотрим методику поиска решений двойственной пары. Для этого рассмотрим следующий пример.

З а д а ч а 10. Для задачи, состоящей в определении максимального значения функции

при условиях ,

,

,

.

Составить двойственную задачу и найти ее решение.

Заметим, что эта задача уже рассматривалась выше при обосновании метода решения ЗЛП с помощью симплекс-таблицы (см. задачу 5).

Р е ш е н и е. Двойственная задача по отношению к исходной состоит в нахождении минимума функции

при шести ограничениях ,

,

,

, , .

Воспроизведем конечную симплекс-таблицу решения прямой задачи.

Таблица 12

Симплекс-таблица к задаче 10

i	Базис	Сб	Р0	С1=9	С2=10	С3=16	С4=0	С5=0	С6=0	ti
				Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1 2 3 4 5	Р2 Р3 Р6 zj ∆j	10 16 0	8 20 96 400	1 1/4 5/4 14 5	1 0 0 10 0	0 1 0 16 0	1/9 -1/18 -1/6 2/9 2/9	-1/6 5/24 -1/8 5/3 5/3	0 0 1 0 0

Прямая задача на первом этапе имела три единичных вектора Р₄, Р₅, Р₆, (т.е. в базис входили переменные х₄, х₅, х₆). Заметим также, что количество базисных переменных при решении прямой задачи всегда равно количеству ограничений, а соответственно всегда равно количеству неизвестных в двойственной задаче.

Как известно, прямая задача имела оптимальный план Х^*=(0;8;20;0;0;96), а функция цели принимала значение

.

Двойственная задача будет иметь следующее решение:

, , ,

а функция цели будет равна:

.

П р а в и л о. Если среди векторов Р₁; Р₂; …; Р_n+k , составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений в прямой задаче имеется m единичных, то оптимальный план двойственной задачи – это значения чисел z_j в столбцах первичных единичных векторов, а функция цели двойственной задачи равна значению функции цели прямой задачи.

Для рассмотренной задачи:

, , ,

чьи числовые значения в табл.12 выделены жирно.