Лабораторная работа №2 «Численное интегрирование»

1. Цель работы.

Ознакомление с принципом модульного программирования на примере задачи численного интегрирования. Использование оболочки QBASIC для построения программ.

2. Основные теоретические положения.

Пусть на отрезке [а,b] задана функция f(x). Определенный интеграл определяется как площадь, ограниченная подынтегральной функцией f(x), осью x и ординатами в точках «a» и «b»

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения.

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной F(х) на отрезке интегрирования. На практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

Вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях

Значения функций f(х) заданы таблично (множество х_i конечно) В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Важным частным случаем в методах численного интегрирования является тот, когда величина элементарного отрезка ∆х,- величина постоянная и может быть вынесена за знак интегральной суммы. Эта величина называется шагом интегрирования и обозначается обычно ∆х.

1). Метод прямоугольников

В Методе прямоугольников непосредственно используется замена определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точек x_i; могут выбираться левые (x_i-1) или правые (x_i) границы элементарных отрезков. Расчетные формулы можно записать так:

При выборе левых границ (см. рис.1)

a

b

Рис.2

При выборе правых границ (см. рис.2)

При выборе границ от a+ h/2 до b-h/2

h(y(a+h/2)+y(a+3h/2)-y(b-h/2)=h

Р

ис.4

2 ) Метод трапеций

В методе трапеций график функции f(х) аппроксимируется ломаной, соединяющей точки с координатами (x_i, у)

Рис.5

Искомое значение определенного интеграла представляется в виде суммы площадей трапеций, построенных на каждом из элементарных отрезков:

3) Метод парабол

В методе парабол (формула Симпсона) на каждом из элементарных отрезков по трем известным значениям функции f(Xj) строится парабола, заданная уравнением aх²+bх+с.

Формула для нахождения определенного интеграла может быть выведена из условия равенства значений: у_i = aх_i²+ bx_i +с:

=

b-2h

b-h

3. Порядок выполнения работы

3.1 Получить у преподавателя вариант задания, включающий в себя подынтегральную функцию (F(Х)), отрезок интегрирования (a,b), точность вычисления значения интеграла (eps)

3.2 Исследовать подынтегральную функцию на непрерывность и существование на заданном отрезке

3.3 Составить блок-схему для каждого метода и блок-схему головного модуля

3.4 Написать подпрограмму для каждого метода (прямоугольников, трапеции, парабол)

3.5 Написать головной модуль

3.6 Отладить программу и получить результаты

3.7 Проанализировать полученные результаты и сделать выводы

4. Содержание отчета

4.1 Математическая постановка задачи

4.2 Исходные данные

4.3 Краткое описание методов. Блок-схема для каждого метода. Листинг подпрограмм

4.4 Блок-схема головного( или управляющего) модуля. Листинг

4.5 Распечатка полученных результатов

4.6 Сравнительный анализ полученных результатов разными методами