Итерационные методы решения систем линейных
.docИтерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
Метод простых итераций
Альтернативой точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений являются итерационные методы, основанные на многократном уточнении – приближенно заданного решения системы . Верхним индексом в скобках здесь и далее по тексту обозначается номер итерации (совокупности повторяющихся действий).
Суть простейшего итерационного метода – метода простых итераций, состоит в выполнении следующих процедур.
1. Исходная система преобразуется к равносильному виду:
, (2.1)
где – квадратная матрица, – вектор, . Это преобразование может быть выполнено различными путями, но для обеспечения сходимости итераций нужно добиться, чтобы норма матрицы была меньше единицы, то есть , где или .
2. Вектор принимается в качестве начального приближения и далее многократно выполняются действия по уточнению решения согласно рекуррентному соотношению
, (2.2)
или в развернутом виде
3. Итерации прерываются при выполнении условия
, (2.3)
где – заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении задачи, или более простого условия
. (2.4)
Замечания.
1) Процесс (2.2) называется параллельным итерированием, так как для вычисления -го приближения всех неизвестных учитываются вычисленные ранее их -е приближения.
2) Начальное приближение может выбираться произвольно или из некоторых соображений. При этом может использоваться априорная информация о решении или просто «грубая» прикидка.
Теорема 2.1. (достаточное условие сходимости метода простых итераций). Метод простых итераций, реализующийся в процессе последовательных приближений (2.2), сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении со скоростью не медленнее геометрической прогрессии, если норма матрицы меньше единицы, то есть .
Замечания.
1) Условие теоремы 2.1, как достаточное, предъявляет завышенные требования к матрице , и поэтому иногда сходимость будет, если даже .
2) Сходящийся процесс обладает свойством самоисправляемости, то есть отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как ошибочное приближение можно рассматривать как новое начальное.
3) Условия сходимости выполняются, если в матрице преобладают диагональные элементы, то есть
, , (2.5)
и хотя бы для одного неравенство строгое. Иначе, модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении системы больше суммы модулей недиагональных коэффициентов (свободные члены не рассматриваются).
4) Чем меньше величина нормы , тем быстрее сходимость метода.
5) Из неравенства (2.3) еще до начала расчета можно получить число итераций , требуемых для достижения заданной точности:
, (2.6)
где норма вектора определяется следующим образом: или .
Преобразование системы к виду с матрицей , удовлетворяющей условиям сходимости, может быть выполнено несколькими способами. Приведем способы, используемые наиболее часто.
1. Уравнения, входящие в систему , переставляются так, чтобы выполнялось условие (2.5) преобладания диагональных элементов. Затем первое уравнение разрешается относительно , второе – относительно и т.д. При этом получается матрица с нулевыми диагональными элементами.
Пример 1. Система
с помощью перестановки уравнений приводится к виду
где , , , то есть диагональные элементы преобладают.
Выражая из первого уравнения, – из второго, – из третьего, получим систему
где , .
Заметим, что , то есть условие теоремы 2.1. выполнено.
2. Уравнения преобразуются так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов, но при этом коэффициенты не обязательно равнялись нулю.
Пример 2. Систему
можно записать в форме
для которой .
Пример 3. Методом простых итераций с точностью решить систему линейных алгебраических уравнений
Предварительно определить число итераций.
Решение.
Так как , , , условие (2.5) не выполняется. Переставим уравнения местами так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов:
Получим , , . Выразим из первого уравнения , из второго , из третьего :
, .
Заметим, что ,
,
следовательно, условие сходимости выполнено.
По формуле (2.6) вычислим число итераций, обеспечивающих заданную точность:
; .
Таким образом, для решения задачи необходимо выполнить не менее пяти итераций.
Зададим . В поставленной задаче .
Выполним расчеты по формуле (2.2):
, ,
или
Результаты вычислений оформим в виде таблицы 2.1.
Таблица 2.1
0 |
1,2000 |
1,3000 |
1,4000 |
- |
1 |
0,9300 |
0,9200 |
0,9000 |
0,5 |
2 |
1,0180 |
1,0240 |
1,0300 |
0,13 |
3 |
0,9946 |
0,9934 |
0,9916 |
0,0384 |
4 |
1,0015 |
1,0020 |
1,0024 |
0,0108 |
5 |
0,9996 |
0,9995 |
0,9993 |
0,0027< |
Таким образом, приближенное решение задачи:
.
Очевидно, точное решение: .