Глава 18
.docГлава 18. Собственные интегралы, зависящие от параметра
§18.1.Предельный переход под знаком интеграла
Пусть функция определена на прямоугольнике , заданном неравенствами: , .
Пусть для любого функция интегрируема по (по Риману).
Определение 18.1. Интеграл называется собственным интегралом, зависящим от параметра , а отрезок называется множеством значений параметра .
Это определение можно расширить, рассматривая вместо отрезка любое подмножество вещественной оси , например, интервал, полуинтервал, луч, всю , проколотую окрестность точки и т.д.
Теорема 18.1. Пусть непрерывна на прямоугольнике . Тогда непрерывна на отрезке .
►Прямоугольник - замкнут и ограничен, поэтому является компактом. По теореме Кантора, функция непрерывная на компакте , равномерно непрерывна на . Поэтому для любого существует число, такое, что для любых точек удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство:
.
Пусть , тогда, согласно предыдущему неравенству, в котором для любого и любого выбраны
выполняется неравенство .
Тогда .
Следовательно, при имеем: , т.е. .
Так как - произвольная точка , теорема доказана. ◄
Обобщим доказанную теорему.
Теорема 18.2. Пусть , непрерывны на отрезке и удовлетворяют неравенствам .
Тогда - непрерывная на функция.
►Прежде всего, отметим, что можно рассматривать, как интеграл от параметра, определённый для функции
Рассмотрим
.
Пусть числа , те же, что и в предыдущей теореме (т.е. если , , то ). Тогда
Далее, непрерывная на компакте функция ограничена. Пусть
. Тогда получаем неравенство
при .
Поэтому при выполняется неравенство
из которого следует, что при .◄
Доказанные теоремы допускают равносильную переформулировку:
.
Введём важное для дальнейшего определение:
Определение 18.2. Семейство функций ( - параметр семейства, ) равномерно ( относительно )стремится к предельной функции при , если
.
Теорема 18.3. Если при фиксированном непрерывна по , и при стремится к предельной функции равномерно (относительно ), то
► при , что и требовалось. ◄
Пример . Найти
( - непрерывна) .
Пример.
(, , непрерывны)=.
§18.2.Дифференцирование под знаком интеграла. Правило Лейбница
Теорема 18.4. (Правило Лейбница). Пусть непрерывна на . Тогда дифференцируема на , причём
(В концах отрезка производные односторонние).
►Пусть , , . Тогда
Подынтегральная функция непрерывна по , значит, интегрируема. По теореме Лагранжа получаем:
,
По условию, и, значит, равномерно непрерывна на ; поэтому для любого существует такое, что из , следует, что
При , , получаем, что если , то для любого
,
откуда
и .◄
Теорема 18.5. В условиях предыдущей теоремы пусть , , где , дифференцируемы на . Тогда
►
(обозначим , , )
Дословно повторяя рассуждения предыдущей теоремы, получим, что при
Далее, по теореме о среднем 15.17, ввиду непрерывности подынтегральной функции
()
При получаем
.◄
Пример.
§18.3. Интегрирование по параметру под знаком собственного интеграла
Теорема 18.6. Пусть . Тогда существуют и равны интегралы
► Обозначим первый из этих интегралов , второй - .
Положим , , .
Докажем, что эта функция непрерывна по совокупности переменных.
Оба слагаемых стремятся к 0, первое по непрерывности , при .
по свойству интеграла с переменным верхним пределом, поэтому для
имеем, по правилу Лейбница,
(это обозначение).
Но для , по теореме Ньютона-Лейбница
где
Итак, ,. По критерию постоянства функции, с учётом равенств , для всех выполняется равенство. При получаем утверждение теоремы.◄