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„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ í«¥¬¥-â g £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â æ¥-âà «¨§ â®àã ¯®¤- ¬-®¦¥á⢠M, â® ®- -¥ ª®¬¬ãâ¨àã¥â á -¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥-⮬ x 2 M, â. ¥. ª®¬¬ãâ â®à [g; x] í«¥¬¥-⮢ g ¨ x ®â«¨ç¥- ®â ¥¤¨-¨æë. ’ ª ª ª £à㯯 G ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨àã-
¥¬ , - ©¤¥âáï £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ -¥ª®â®àãî ª®-¥ç-ãî £à㯯ã H â ª®©, çâ® 24
[g; x]' =6 1. •®áª®«ìªã [g; x]' = [g'; x'], íâ® ®§- ç ¥â, çâ® í«¥¬¥-â g' -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â
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•¨¦¥ ¡ã¤¥â 㪠§ -ë ¯à¨¬¥àë ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬ëå £à㯯, ᮤ¥à¦ é¨å -¥®â¤¥«¨¬ãî ¯®¤£à㯯ã. •® á- ç « ãáâ -®¢¨¬ àï¤ ãá«®¢¨©, à ¢-®á¨«ì-ëå ä¨-¨â-®© ®â¤¥«¨¬®áâ¨.
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.3. „«ï «î¡®£® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢
¤ãî騥 ã⢥ত¥-¨ï à ¢-®á¨«ì-ë:
1) ¯®¤¬-®¦¥á⢮ M ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬;
2) ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g £à㯯ë G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, áãé¥- áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 H ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã MH (á®áâ®ï饬ã, - ¯®¬-¨¬, ¨§ ¢á¥¢®§¬®¦-ëå
í«¥¬¥-⮢ ¢¨¤ xy, £¤¥ x 2 M ¨ y 2 H);
3) ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ TMH, £¤¥ H ¯à®¡¥£ ¥â ¯® ¢á¥¬ -®à¬ «ì-ë¬ ¯®¤£à㯯 ¬ ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, ᮢ¯ ¤ ¥â á M.
…᫨ M ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë G, â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥é¥ ®¤-® ã⢥ত¥-¨¥,
à¢-®á¨«ì-®¥ «î¡®¬ã ¨§ ã⢥ত¥-¨© 1) { 3):
4)M ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥¬ -¥ª®â®à®£® ᥬ¥©á⢠¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá
£à㯯ë G.
„®ª § ⥫ìá⢮. ‡ ¬¥â¨¬ á- ç « , çâ® ¥á«¨ M | ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ £à㯯ë G ¨ ' | £®¬®¬®à䨧¬ á ï¤à®¬ H £à㯯ë G ¢ -¥ª®â®àãî £à㯯ã, â® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g 2 G ¢ª«îç¥-¨ï g' 2 M' ¨ g 2 MH à ¢-®á¨«ì-ë. „¥©á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ g 2 MH, â® g = xh ¤«ï -¥ª®â®àëå í«¥¬¥-⮢ x 2 M ¨ h 2 H, ¨ ¯®â®¬ã g' = x'h' = x' 2 M'. Ž¡à â-®, ¥á«¨ g' 2 M', â® g' = x' ¤«ï -¥ª®â®à®£® í«¥¬¥-â x 2 M. Žâáî¤ (x¡1g)' = (x')¡1g' = 1, â ª çâ® x¡1g 2 H. Ž¡®§- ç ï h = x¡1g, ¨¬¥¥¬ ¯®í⮬ã g = xh 2 MH.
•â® § ¬¥ç -¨¥ ¤¥« ¥â à ¢-®á¨«ì-®áâì ã⢥ত¥-¨© 1) ¨ 2) ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤-®©. „¥©- á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ M £à㯯ë G ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î
¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g 2 G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, - ©¤¥âáï â ª®© £®- ¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã, çâ® g' 2= M'. Ÿ¤à® H £®¬®¬®à䨧¬ ' ï¥âáï -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯®© ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, ¨ â ª ª ª ¢¢¨¤ã í⮣® § ¬¥ç -¨ï g 2= MH, á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ã⢥ত¥-¨ï 2) ¤®ª § - . Ž¡à â-®, ¥á«¨ 2) ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¨ í«¥¬¥-â g £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, ¢ë¡¥à¥¬ -®à¬ «ì- -ãî ¯®¤£à㯯ã H ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G â ª, ç⮡ë í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã MH. …᫨ ⥯¥àì ' ®¡®§- ç ¥â ¥áâ¥á⢥--ë© £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯ë G - ä ªâ®à-£à㯯ã G=H, â® ¯®áª®«ìªã Ker ' = H, ¨§ ⮣® ¦¥ § ¬¥ç -¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® g' 2= M'. •®áª®«ìªã ä ªâ®à-£à㯯 G=H ª®-¥ç- , £®¬®¬®à䨧¬ ' 㤮¢«¥â¢®àï¥â
¢á¥¬ âॡ®¢ -¨ï¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ä¨-¨â-®© ®â¤¥«¨¬®áâ¨.
• ¢-®á¨«ì-®áâì ã⢥ত¥-¨© 2) ¨ 3) á«¥¤ã¥â ¨§ í«¥¬¥-â à-ëå ⥮à¥â¨ª®-¬-®¦¥- á⢥--ëå à áá㦤¥-¨©. …᫨ M ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G, â® ¤«ï «î¡®© -®à¬ «ì-®©
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¯®¤£à㯯ë H ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G ¯®¤¬-®¦¥á⢮ MH â ª¦¥ ï¥âáï ¯®¤- £à㯯®©, ¨¬¥î饩, ª ⮬㠦¥, ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ £à㯯¥ G. •®í⮬ã 4) á«¥¤ã¥â ¨§ 3). ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¥á«¨ 4) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¥á«¨ í«¥¬¥-â g £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ M, â® í«¥¬¥-â g -¥ ¡ã¤¥â ¯à¨- ¤«¥¦ âì -¥ª®â®à®© ¯®¤£à㯯¥ U, ᮤ¥à¦ - 饩 ¯®¤£à㯯ã M ¨ ¨¬¥î饩 ¢ G ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá. ’®£¤ í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ MH, £¤¥ H | -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, «¥¦ -
é ï ¢ ¯®¤£à㯯¥ U, ¨ ¯®â®¬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® ã⢥ত¥-¨¥ 2). •à¥¤«®¦¥-¨¥ ¯®«-®áâìî ¤®ª § -®.
Žâ¬¥ç¥-- ï ¢ëè¥ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ä¨-¨â-®© ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®áâìî £àã¯¯ë ¨ ä¨-¨â- -®© ®â¤¥«¨¬®áâìî ¥¥ ¥¤¨-¨ç-®© ¯®¤£àã¯¯ë ¢ - ¨¡®«¥¥ ®¡é¥© ä®à¬¥ ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ã- î騬 ®¡à §®¬.
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•¥¥¤¨-¨ç-ë© í«¥¬¥-â ä ªâ®à-£à㯯ë G=H ¨¬¥¥â ¢¨¤ gH, £¤¥ í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- - ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. ˆ§ ä¨-¨â-®© ®â¤¥«¨¬®á⨠H ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.1.3 á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ -¨¥ â ª®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë N ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, çâ® í«¥- ¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã HN. ’ ª ª ª ¯®¤£à㯯ë H ¨ N -®à¬ «ì-ë, íâ® ¯®¤¬-®¦¥á⢮ ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë G (¤«ï í⮣®, ¢¯à®ç¥¬, ¤®áâ â®ç-® -®à- ¬ «ì-®á⨠®¤-®© ¨§ -¨å), ¨¬¥î饩, ª ⮬㠦¥, ¢¢¨¤ã ¢ª«îç¥-¨ï N 6 HN ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ G. •®áª®«ìªã ¨ H 6 HN, ¯® ⥮६¥ ® ᮮ⢥âá⢨¨ HN=H ï¥âáï ¯®¤- £à㯯®© ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá ä ªâ®à-£à㯯ë G=H, ¯à¨ç¥¬ í«¥¬¥-â gH ¢ íâã ¯®¤£à㯯ã
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Ž¡à â-®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ä ªâ®à-£à㯯 G=H ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬 , ¨ ¯ãáâì í«¥¬¥-â g 2 G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. ’®£¤ ᬥ¦-ë© ª« áá gH ï¥âáï -¥¥¤¨-¨ç-ë¬ í«¥¬¥-⮬ £à㯯ë G=H, ¨ ¯®â®¬ã ¢ í⮩ £à㯯¥ ¤®«¦- - ©â¨áì ¯®¤-
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27
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¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, â® ¨ ¢ «î¡®© ¯®¤£à㯯¥ £à㯯ë G ¡ã¤ãâ ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬¨ ¢á¥ (¨«¨, ᮮ⢥âá⢥--®, ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥,
¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë. ‘¯à ¢¥¤«¨¢ â ª¦¥ ¨ á«¥¤ãî騩 - «®£ ¯à¥¤«®¦¥- -¨ï 1.1.4:
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-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, â® ¨ ¢ £à㯯¥ G ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë ¢á¥ (¨«¨, ᮮ⢥âá⢥--®, ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥, ¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë.
„®ª § ⥫ìá⢮. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®¤£à㯯 H £à㯯ë G ¨¬¥¥â ª®-¥ç-ë© ¨-- ¤¥ªá ¢ G ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤-®¬ã ¨§ á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨©:
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(ii)¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë H ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë;
(iii)¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë H ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë.
‘ãç¥â®¬ ¯à¥¤ë¤ã饣® § ¬¥ç -¨ï (¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 1.1.1) ¬ë ¬®¦¥¬ ¡¥§ ¯®â¥à¨ ®¡é-®á⨠¯à¥¤¯®« £ âì â ª¦¥, çâ® ¯®¤£à㯯 H -®à¬ «ì- ¢ £à㯯¥ G.
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1)¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (i), ¨«¨
2)A ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥- ¨ ¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (ii), ¨«¨
3)A 横«¨ç¥áª ï ¨ ¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (iii),
â® ¢ £à㯯¥ G áãé¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 N, ¨¬¥îé ï ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ G ¨ â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ AN.
…᫨ í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ AH, â® ¤®ª §ë¢ âì -¥ç¥£®, â ª ª ª
âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â ¯®¤£à㯯 N = H. •ãáâì g 2 AH, â. ¥. g = ah ¤«ï -¥ª®â®àëå í«¥¬¥-⮢ a 2 A ¨ h 2 H. •®« £ ï A1 = A \ H, ¯®«ãç ¥¬ ¯®¤£à㯯ã A1 £à㯯ë H, -¥ ᮤ¥à¦ éãî, ®ç¥¢¨¤-®, í«¥¬¥-â h í⮩ £à㯯ë.
…᫨ £à㯯 A ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©, ⮠横«¨ç¥áª®© ¡ã¤¥â, à §ã¬¥¥âáï, ¨ £à㯯 A1. “⢥ত ¥âáï â ª¦¥, çâ® ¥á«¨ £à㯯 A ï¥âáï ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®©, â® ª®-
-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© ¡ã¤¥â ¨ £à㯯 A1. „¥©á⢨⥫ì-®, ¯®áª®«ìªã ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç- 28
-®£® ¨-¤¥ªá -¥ª®â®à®© £àã¯¯ë ¢ëᥪ ¥â ¢ ª ¦¤®© ¯®¤£à㯯¥ í⮩ £àã¯¯ë ¯®¤£à㯯㠪®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá , ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë A1 ¢ £à㯯¥ A ª®-¥ç¥-. •® ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-
-®£® ¨-¤¥ªá ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© £à㯯ë á ¬ ï¥âáï ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© (á¬., - ¯à., [1], áâà. 132).
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ «î¡®¬ ¨§ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨© 1), 2) ¨«¨ 3) A1 ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë H, ¨ ¯®â®¬ã áãé¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 K ª®- -¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë H â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â h -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ A1K. ’ ª ª ª ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë H ¢ £à㯯¥ G ª®-¥ç¥-, K ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, ¨ ¯®â®¬ã ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ã N, -®à¬ «ì-ãî ¢ £à㯯¥ G ¨ ¨¬¥î- éãî ¢ G ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá. •®áª®«ìªã N 6 K, í«¥¬¥-â h -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ A1N, ¨ ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ AN, â. ¥. ¯®¤£à㯯
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ç áâ-®áâ¨, - ¯®¬-¨¬, ¯à®¨§¢®«ì-ë© í«¥¬¥-â g 2 G ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ g = ab, £¤¥ a 2 A ¨ b 2 B, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨-á⢥--ë¬ á¯®á®¡®¬; ᮬ-®¦¨â¥«¨ a ¨ b нв®© § ¯¨б¨ п¢«повбп ¯а®¥ªж¨п¬¨ н«¥¬¥-в g - ¯®¤£à㯯ë A ¨ B ᮮ⢥âá⢥--®.
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•ãáâì C ¨ D ®¡®§- ç î⠯஥ªæ¨¨ ¯®¤£à㯯ë H - ¯àï¬ë¥ ᮬ-®¦¨â¥«¨ A ¨ B ᮮ⢥âá⢥--®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, C | ¯®¤£à㯯 £à㯯ë A, á®áâ®ïé ï ¢ â®ç-®á⨠¨§ â ª¨å í«¥¬¥-⮢ c 2 A, çâ® ¤«ï -¥ª®â®à®£® x 2 B í«¥¬¥-â cx ¢å®¤¨â ¢ ¯®¤£à㯯ã H. €- «®£¨ç-®, ¯®¤£à㯯 D £à㯯ë B á®á⮨⠨§ â ª¨å í«¥¬¥-⮢ d 2 B, çâ® ¤«ï -¥ª®-
â®à®£® x 2 A í«¥¬¥-â xd ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. ˆ§ ®â¬¥ç¥--®© ¢ëè¥ ®¤-®§- ç- 29
-®á⨠§ ¯¨á¨ í«¥¬¥-⮢ £à㯯ë G á«¥¤ã¥â, ®ç¥¢¨¤-®, çâ® - è í«¥¬¥-â g ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CD ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a 2 C ¨ b 2 D.
…᫨ í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ C, â® ¯®áª®«ìªã C ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë A, - ©¤¥âáï -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 R ª®-¥ç-®£® ¨-- ¤¥ªá £à㯯ë A â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CR. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® N = RB | -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ çâ® á¨á⥬ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© «¥¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áᮢ £à㯯ë A ¯® ¯®¤£à㯯¥ R ¡ã¤¥â â ª¦¥ á¨á⥬®© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© «¥- ¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áᮢ £à㯯ë G ¯® ¯®¤£à㯯¥ N. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë N ¢ £à㯯¥ G ª®-¥ç¥-. “⢥ত ¥âáï, çâ® g 2= HN. …᫨, - ¯à®â¨¢, g = hu, £¤¥ h 2 H ¨ u 2 N, ¨ ¥á«¨ h = x1y1, u = x2y2, £¤¥ x1 2 A, x2 2 R ¨ y1; y2 2 B, â®, ¯®áª®«ìªã ⮣¤ g = (x1x2)(y1y2), ¨¬¥¥¬ a = x1x2, ¨ â ª ª ª x1 2 C ¨ x2 2 R, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã ¯®¤£à㯯ë R. €- «®£¨ç-® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ b 2= D.
•ã¤¥¬ ⥯¥àì áç¨â âì, çâ® a 2 C ¨ b 2 D, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-âë ay ¨ xb ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯®¤£à㯯¥ H ¤«ï ¯®¤å®¤ïé¨å x 2 A ¨ y 2 B. •®áª®«ìªã í«¥¬¥-â g = ab -¥ ¯à¨- ¤- «¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H, í⮩ ¯®¤£à㯯¥ -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¨ í«¥¬¥-â y¡1b = (ay)¡1(ab). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥-â y¡1b £à㯯ë B -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¥¥ ¯®¤£à㯯¥ L = B \ H, §- ç¨â -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ LS ¤«ï ¯®¤å®¤ï饩 -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë S ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë B. •®« £ ï H1 = HS, ¯®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤- «¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H1. „¥©á⢨⥫ì-®, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë g = hs ¤«ï -¥ª®â®àëå h 2 H ¨ s 2 S, ¨ ¥á«¨ h = x1y1, £¤¥ x1 2 A ¨ y1 2 B, â® a = x1 ¨ b = y1s. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯®¤£à㯯 H ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-âë ay ¨ ay1, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-â y¡1y1 ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ L. Žâáî¤ y¡1b = (y¡1y1)s 2 LS, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã
¯®¤£à㯯ë S.
’ ª ª ª ¯®¤£à㯯 H1 ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-â xb ¨ -¥ ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-â g = ab, í«¥¬¥-â x¡1a £à㯯ë A -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¥¥ ¯®¤£à㯯¥ K = A \ H1. •®í⮬㠤«ï -¥ª®â®à®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë R ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë A x¡1a 2= KR. …᫨ ⥯¥àì ¯à¥¤- ¯®«®¦¨âì, çâ® í«¥¬¥-â g «¥¦¨â ¢ ¯®¤£à㯯¥ H1R, â® g = hr ¤«ï -¥ª®â®àëå h 2 H1 ¨ r 2 R. ‘-®¢ § ¯¨áë¢ ï h = x1y1, £¤¥ x1 2 A ¨ y1 2 B, ¯®«ã稬 a = x1r ¨ b = y1. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯®¤£à㯯 H1 ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-âë xb ¨ x1b, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-â x¡1x1 ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ K. •®í⮬ã x¡1a = (x¡1x1)r 2 KR, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë- ¡®àã ¯®¤£à㯯ë R.
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30
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•¥à¥©¤¥¬ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã à ¢¥-á⢠F1 \ H = N1. ’ ª ª ª W1 µ F1 \ H ¨ N1 ï¥âáï - ¨¬¥-ì襩 -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë F1, ᮤ¥à¦ 饩 W1, ¤«ï ¤®ª -
§ ⥫ìá⢠|
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f1 = (f; 1) ¨§ ¯®¤£à㯯ë F1 \ H ¨ ¯à®¨§¢®«ì-®£® " = §1 í«¥¬¥-âë a¡1 "f1a"1 ¨ b¡1 "f1b"1 ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯®¤£à㯯¥ F1 \ H. ’ ª ª ª ¯à¨- ¤«¥¦-®áâì íâ¨å í«¥¬¥-⮢ ¯®¤£à㯯¥
F1 ®ç¥¢¨¤- , ®¯ïâì-â ª¨ ¤®áâ â®ç-® ¯®-ïâì, çâ® ®-¨ ¢å®¤ïâ ¢ ¯®¤£à㯯ã H. •® â ª ª ª í«¥¬¥-âë a2 = (1; a) ¨ b2 = (1; b) ª®¬¬ãâ¨àãîâ á ª ¦¤ë¬ í«¥¬¥-⮬ ¨§ ¯®¤£à㯯ë F1 ¨ u = a1a2 ¨ v = b1b2, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¨ ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥
= (a1a2)¡"f1(a1a2)" = u¡"f1u" 2 H ¨ b¡1 "f1b"1 = (b1b2)¡"f1(b1b2)" = v¡"f1v" 2 H:
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ª«îç¥-¨¥ N1 6 F1 \ H ¤®ª § -®. „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à®â¨¢®¯®-
«®¦-®£® ¢ª«îç¥-¨ï ¢¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâà¥-¨¥ £à㯯ã R = G £ F , ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ 31
£à㯯 G = F=N ¨ F . •¥¯®á।á⢥-- ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ à £à㯯ë P ¢ £à㯯ã R, ¯¥à¥¢®¤ï饥 í«¥¬¥-â (f; g) 2 P ¢ í«¥¬¥-â (fN; g) 2 R, ï¢- «ï¥âáï £®¬®¬®àä-ë¬. ’ ª ª ª ¯à¨ £®¬®¬®à䨧¬¥ à ¢á¥ í«¥¬¥-âë ¨§ ¬-®¦¥á⢠W1 ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ 1, ®¡à § Hà ¯®¤£à㯯ë H ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë R, ¯®à®¦¤ -
¥¬®© í«¥¬¥-â ¬¨ uà = (aN; a) ¨ và = (bN; b). •®ª ¦¥¬, çâ® ¢ £à㯯¥ R ¯¥à¥á¥ç¥- |
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’ ª ª ª (F1 \ H)à µ F1à \ HÃ, ¨§ ¤®ª § --®£® á«¥¤ã¥â, çâ® (F1 \ H)à = 1. …᫨ ⥯¥àì f1 = (f; 1) | ¯à®¨§¢®«ì-ë© í«¥¬¥-â ¨§ ¯®¤£à㯯ë F1 \ H, â® ¥£® Ã-®¡à § (fN; 1) ¤®«¦¥- ¡ëâì à ¢¥- ¥¤¨-¨æ¥ £à㯯ë R, íâ® ®§- ç ¥â, çâ® f 2 N, â. ¥. f1 2
N1. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«îç¥-¨¥ F1 \ H 6 N1, ¨ à ¢¥-á⢮ F1 \ H = N1 ¤®ª § -®.
…᫨ ¢¬¥áâ® ¯à®¨§¢®«ì-ëå ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ëå ¯®¤£à㯯 à áᬠâਢ âì «¨èì 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£à㯯ë, á¨âã æ¨ï ¬¥-ï¥âáï:
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.2.3. •àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå ¼c-£à㯯 ï¥âáï ¼c-£à㯯®©.
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì £à㯯 G ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¼c-£à㯯 A ¨ B; §¤¥áì, ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.2.2, 㤮¡-¥¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ¢-¥è-¨¬
®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï. •ãáâì H | 横«¨ç¥áª ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, ¯®à®¦¤¥-- ï í«¥¬¥-⮬ h = (c; d), ¨ ¯ãáâì í«¥¬¥-â g = (a; b) £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥- ¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H.
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã ¢ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ ¼c-£à㯯ë âॡã¥âáï ä¨-¨â- ï ®â¤¥«¨¬®áâì ¢á¥å 横«¨ç¥áª¨å ¯®¤£à㯯, ¢ ⮬ ç¨á«¥ | ¥¤¨-¨ç-®©, â® ¯à®¨§¢®«ì- ï ¼c-£à㯯 ï¥âáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®©. •®í⮬㠣à㯯 G ï¥âáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ª-
ᨬ¨à㥬®©, ¨ ¯®â®¬ã ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.1.1 ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì ¯®¤£à㯯ã H ¡¥á-
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¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ C, â® ¯®áª®«ìªã A ï¥âáï ¼c-£à㯯®©, - ©¤¥âáï â ª ï -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 R ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë A, çâ® ¢ ä ªâ®à-£à㯯¥
A=R í«¥¬¥-â aR -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CR=R. ‚롥६ ¥é¥ ¯à®¨§¢®«ì-ãî -®à- ¬ «ì-ãî ¯®¤£à㯯ã S ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë B ¨ à áᬮâਬ ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥- -¨¥ P = A=R £ B=S ä ªâ®à-£à㯯 A=R ¨ B=S. Žâ®¡à ¦¥-¨¥ ', ¯¥à¥¢®¤ï饥 í«¥¬¥-â (x; y) 2 G ¢ í«¥¬¥-â (xR; yS) 2 P , ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯ë G ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã P . Ž¡à § H' ¯®¤£à㯯ë H ¯®à®¦¤ ¥âáï í«¥¬¥-⮬ h' = (cR; dS). …᫨ ¯à¥¤- ¯®«®¦¨âì, çâ® í«¥¬¥-â g' = (aR; bS) ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H', â. ¥. ¤«ï -¥ª®â®à®£® 楫®£® ç¨á« t ¢ë¯®«-¥-® à ¢¥-á⢮ g' = (h')t, â® íâ® ®§- ç ¥â, çâ® aR = (cR)t ¨ bS = (dS)t. Žâáî¤ aR = ctR 2 CR=R, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã ¯®¤£à㯯ë R.
32
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ C, ¬ë - - 諨 £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã â ª®©, çâ® g' 2= H'. €- «®£¨ç-® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ í«¥¬¥-â b -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ D. Žáâ ¥âáï ¯à¥¤¯®«®¦¨âì ¯®í⮬ã, çâ® a = cm ¨ b = dn ¤«ï -¥ª®â®àëå 楫ëå ç¨á¥« m ¨ n. Žâ- ¬¥â¨¬, çâ® m 6= n, â ª ª ª ¨- ç¥ g = hm, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î g 2= H. ‡¤¥áì - ¬ ¯®âॡã¥âáï á«¥¤ãî饥 ¢á¯®¬®£ ⥫ì-®¥ ã⢥ত¥-¨¥.
‹¥¬¬ . „«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â f ¡¥áª®-¥ç-®£® ¯®à浪 ¯à®¨§¢®«ì-®© ¼c-£à㯯ë F ¨ ¯à®¨§¢®«ì-®£® 楫®£® ç¨á« k > 0 áãé¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 R ª®-¥ç-®£®
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33