1 Множества и операции над ними! Введение

Дискретная (или прерывная) математика – область математики, в которой изучаются структуры, основанные на конечных множествах, или же на бесконечных множествах, но предполагающих отделимость составляющих их элементов.

Наиболее значимой областью применения методов дискретной математики является область компьютерных технологий. Дискретная математика и примыкающие к ней дисциплины изучаются во всех университетах и институтах, где осуществляется подготовка специалистов в области программирования, математики, а также по экономическим, техническим и гуманитарным направлениям. Дискретная математика является базой для таких специализированных дисциплин как "Теоретическая информатика", "Методы и алгоритмы принятия решений", "Конструирование программ", "Теория искусственного интеллекта" и т.п.

Настоящий курс рассчитан на один семестр. Он включает базовые вопросы дискретной математики, что в совокупности со специальными дисциплинами должно обеспечить качественную подготовку специалистов по прикладной информатике.

Множества и операции над ними

1.1. Множества и способы их задания

 

Напомним, что "множество" – это неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, говорил, что "множество – это многое, мыслимое как единое".

Множества принято обозначать большими латинскими буквами , элементы множества – малыми буквами. Слова "принадлежит" и "не принадлежит" обозначаются символами:  и :  – элемент  принадлежит множеству ,  – элемент  не принадлежит множеству .

Элементами множества могут быть любые объекты – числа, векторы, точки, матрицы и т.п. В частности элементами множества могут являться множества.

Для числовых множеств общепринятыми являются следующие обозначения:

 – множество натуральных чисел (целых положительных чисел);

 – расширенное множество натуральных чисел (к натуральным числам добавлено число нуль);

 – множество всех целых чисел, куда входят положительные и отрицательные целые числа, а также нуль.

 – множество рациональных чисел. Рациональное число – это число, которое может быть записано в виде обыкновенной дроби  – целые числа). Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, (например, ), причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными.

 – множество действительных чисел, в которое входят все рациональные числа, а также числа иррациональные. (Например, числа  – являются иррациональными).

Каждый раздел математики использует свои множества. Начиная решать какую-либо задачу, прежде всего определяют множество тех объектов, которые будут в ней рассмотрены. Например, в задачах математического анализа изучают всевозможные числа, их последовательности, функции и т.п. Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством (для данной задачи).

Универсальное множество принято обозначать буквой . Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т. е. утверждение  в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество – , которое не содержит ни одного элемента.

Задать множество  – это значит, указать способ, позволяющий относительно любого элемента  универсального множества  однозначно установить, принадлежитмножеству  или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний,  или , является истинным, а какое ложным.

Множества можно задавать различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Список элементов множества. Этим способом можно задавать конечные или счетные множества. Множество является конечным или счетным, если можно занумеровать его элементы, например, a₁,a₂,…и т. д. Если существует элемент с самым большим номером, то множество является конечным, если же в качестве номеров задействованы все натуральные числа, то множество является бесконечным счетным множеством.

Примеры.

1).  – множество, содержащее 6 элементов (конечное множество).

2).  – бесконечное счетное множество.

3).  - множество, содержащее 5 элементов, два из которых –  и , сами являются множествами.

2. Характеристическое свойство. Характеристическое свойство множества – это свойство, которым обладает каждый элемент множества, но не обладает никакой объект, не принадлежащий множеству.

Примеры.

1).  - множество равносторонних треугольников.

2).  – множество действительных чисел, больших или равных нулю, и меньших единицы.

3).  – множество всех несократимых дробей, числитель которых на единицу меньше знаменателя.

2. РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА