![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Производная функции, ее геометрический смысл.
- •Производная суммы, произведения и частного.
- •3.Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Связь дифференциала с производной
- •2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
- •4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
- •1. Производные высших порядков Понятие производных высших порядков
- •Формула Лейбница
- •4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Дифференциал функции
Если
функция
дифференцируема в точке
,
то её
приращение можно представить в виде
суммы двух слагаемых
,
где
.
Эти слагаемые являются бесконечно
малыми функциями при
.Первое слагаемое
линейно относительно
,второе является
бесконечно малой более высокого порядка,
чем
.Действительно,
.
Таким образом второе слагаемое
при
быстрее стремится к нулю и при нахождении
приращения функции
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
.
Определение.
Главная часть
приращения функции
в точке
,
линейная относительно
,называется
дифференциалом
функции
в этой точке
и обозначается dy
или df(x)
. (2)
Таким
образом, можно сделать вывод: дифференциал
независимой переменной совпадает с её
приращением, то есть
.
Соотношение (2) теперь принимает вид
(3)
Замечание. Формулу (3) для краткости часто записывают в виде
(4)
Геометрический смысл дифференциала
Рис.2
Рассмотрим
график дифференцируемой функции
.
Точки
и
принадлежат графику функции. В точкеМ
проведена
касательная К
к графику
функции, угол которой с положительным
направлением оси
обозначим через
.
Проведем прямыеMN
параллельно
оси Ox
и
параллельно осиOy.
Приращение функции равно длине отрезка
.
Из прямоугольного треугольника
, в котором
,
получим
.
Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:
Дифференциал
функции
в точке
изображается приращением ординаты
касательной к графику этой функции в
соответствующей её точке
.
Связь дифференциала с производной
Рассмотрим формулу (4)
.
Разделим обе части этого равенства на dx , тогда
.
Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной.
Часто
это отношение
рассматривается просто как символ,
обозначающий производную функцииу
по аргументу
х.
Удобными обозначениями производной также являются:
,
и так далее.
Употребляются также записи
,
,
особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.
2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.
10. Дифференциал постоянной равен нулю
.
20. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций
.
30. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
.
Пример.
Найти дифференциал функции
.
Решение.Запишем данную функцию в виде
,
тогда получим
.
.
4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
Определение.
Функция
называется заданной параметрически,
если обе переменныех
и
у
определяются
каждая в отдельности как однозначные
функции от одной и той же вспомогательной
переменной – параметра t:
где
t
изменяется в пределах
.
Замечание.
Параметрическое задание функций широко
применяется в теоретической механике,
где параметр t
обозначает
время, а уравнения
представляют собой законы изменения
проекций движущейся точки
на оси
и
.
Замечание. Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.
а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:
где
.
б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:
где
.
Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.
Теорема.
Если функция у
от аргумента
х задана
параметрически уравнениями
,
где
и
дифференцируемые поt
функции и
,
то
.
Пример. Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.
Решение.
.