Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки при действии переменных сил

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием переменной силы.

1. Сила зависит от времениF=F(t).

Основное уравнение динамики имеет вид

. (5)

Проектируем (5) на направление движения

. (6)

Разделяем переменные в (6) и интегрируем

. (7)

После интегрирования (7) получим скорость (первый интеграл) как функцию

v=v(t) (8)

Закон движения находим после вторичного интегрирования. Запишем (8) в виде

,

. (9)

Интегрируя (9), получаем закон движения (второй интеграл) в виде

x=x(t)

2. Сила зависит от перемещенияF=F(x)

Основное уравнение динамики имеет вид

. (10)

Проектируем (10) на направление движения

. (11)

Для интегрирования (11) воспользуемся заменой

. (12)

Подставим (12) в (11) и разделим переменные

. (13)

Интегрируя (13), получаем скорость как функцию перемещения

v=v(x). (14)

Переписав (14) в виде и разделив переменные, получим

. (15)

Интегрируя (15), получаем закон движения в виде

x=x(t).

3. Сила зависит от скоростиF=F(v).

Основное уравнение динамики имеет вид

. (16)

Проектируем (16) на направление движения

. (17)

Разделив переменные в (17), получим

. (18)

После интегрирования (18) получим

v=v(t) (19)

Интегрируя (19) вторично (см. случай F=F(t)), получим закон движения

x=x(t).

Несвободное движение материальной точки

Несвободным называется движение точки, ограниченное какими-либо связями.

Пусть материальная точка движется по поверхности, имеющей вид

Ф(x, y, z)=0 (20)

На точку действуют:

F – заданная активная сила (или равнодействующая системы сил);

N – нормальная реакция поверхности;

T – сила трения, всегда направленная в сторону, противоположную вектору скорости.

Основное уравнение динамики имеет вид

. (21)

Проектируя (21) на оси координат получим дифференциальные уравнения движения

(22)

В уравнениях (22) необходимо определить положение сил N и T по отношению к координатным осям. Используя уравнение поверхности (20) на основании известных математических зависимостей имеем

(23)	дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме Лагранжа I рода

где - градиент функции (20);

- частные производные от (20);

- скорость материальной точки.

При решении системы (23) к ней необходимо присоединить уравнение (20) и уравнение для силы трения, например, закон Кулона

T=fN,

где f – коэффициент трения скольжения.

После чего из пяти уравнений можно найти пяти неизвестных: x, y, z, N, T.

В тех случаях, когда точка движется по пространственной кривой, удобно пользоваться дифференциальными уравнениями несвободного движения в проекции на естественные оси. При этом в уравнения (4) войдут реакция поверхности N и сила трения T.

. (24)