- •Глава 1. Линейные системы и матрицы.
- •§2. Системы линейных уравнений.
- •Элементарные преобразования строк матрицы:
- •§3. Метод Гаусса. Метод Жордана.
- •§4. Действия над матрицами.
- •§5. Обратная матрица.
- •§6. Балансовая модель.
- •§7. Свойства определителей.
- •§8. Формулы Крамера.
- •Глава 3. Функции. Пределы. Непрерывность.
- •§1. Множества. Логическая символика.
- •§2. Функции вещественной переменной.
- •§3. Предел последовательности вещественных чисел.
- •§3. Предел последовательности вещественных чисел.
- •§4. Предел функции.
- •Глава 4. Дифференцирование функций одной переменной.
- •§1. Определение производной.
- •§2. Правила дифференцирования.
- •§7. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.
- •§8. Формула Тейлора.
- •§5. Непрерывные функции. Теоремы Коши и Вейерштрасса.
- •§6. Вычисление пределов. Практические советы.
- •При X предел отношения степенных функций зависит от старших степеней, приx 0 от младших.
- •Глава 5. Исследование функций и построение графиков.
- •§1. Возрастание и убывание функции. Экстремум.
- •Достаточное условие экстремума.
- •§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.
- •Достаточное условие перегиба.
- •§3. Асимптоты.
- •§4. Общий порядок построения графика.
- •§5. Численное решение уравнений. Метод Ньютона.
- •Глава 6. Комплексные числа.
- •§1. Действия над комплексными числами.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •§3. Формулы Эйлера и Муавра.
- •При делении …
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§5. Решение алгебраических уравнений.
- •Глава 7. Вычисление неопределенных интегралов.
- •Как строятся «экономические кривые»?
- •§9. Двойной интеграл.
- •§10. Приложения двойных интегралов. Геометрические приложения
- •Механические приложения
- •§11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§13. Понятие системы дифференциальных уравнений.
§5. Обратная матрица.
А.В=В.А
Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А.В = Е, С.А = Е. Тогда В = С.
В = Е.В = (С.А).В = С.(А.В) = С.Е = С
Обратная матрица единственна и обозначается А-1 А.А-1 = А-1 .А = Е
Матричная запись системы
А.Х = В
Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А-1,то линейная система АХ=В имеет единственное решение при любых правых частях ( любом векторе В ) Х=А-1 .В
Опр.Если, то система называется однородной.
Свойство.Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение.
Х1 |
Х2 |
У1 |
У2 |
Нахождение А-1 методом Жордана-Гаусса |
2 |
5 |
1 |
0 |
|
1 |
3 |
0 |
1 | |
1 |
3 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
2 | |
1 |
0 |
3 |
5 |
|
0 |
1 |
1 |
2 |
§6. Балансовая модель.
- валовая продукция, - конечная продукция,- внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно:z1=a11x1+a12x2+…+a1nxn и т.д.
Система уравнений материального баланса имеет вид
Х – АХ = У балансовая модель Леонтьева
- затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные.
( Е – А )Х = У Продуктивная матрица:
Х = ( Е – А )-1У = SУ, S – матрица полных затрат
§7. Свойства определителей.
Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.
Для матрицы 1-го порядка определитель
Система сводится к
Для матрицы 2-го порядка определитель
Для матрицы 3-го порядка определитель=
= а11.а22.а33 + а12.а23.а31 + а13.а21.а32 – а13.а22.а31 – а12.а21.а33 – а11.а23.а32
Всевозможные произведения чисел из разных строк и столбцов.
Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определитель называется минором.
- минор, получающийся вычеркиванием i–й строки и j–го столбца квадратной матрицы
разложение определителя по 1-й строке.
Алгебраическое дополнение ( квадратной матрицы )
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + …+ a1n . A1n
Верно разложение по любой другой строке.
Свойства. 1. Независимость строк и столбцов
det ( a1 a2 …ai1 + ai2 … an ) = det ( a1 a2 …ai1 … an ) + det ( a1 a2 … ai2 … an )
det ( a1 a2 …c.ai … an ) = c.det ( a1 a2 …ai … an )
det ( a1 a2 …ai …aj … an ) = det ( a1 a2 …aj … ai … an ) - антисимметричность
Следствия.1. Если два столбца ( строки ) определителя совпадают, то он равен нулю.
Если два столбца ( строки ) определителя пропорциональны, то он равен нулю.
Определитель не меняется, если к элементам одного столбца ( строки ) прибавить числа, пропорциональные элементам другого столбца ( строки ).
Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего ( на 1 ) порядка.
1. 2.3.4.
Ранг матрицы – наивысший порядок минора, отличного от нуля.
ранг находят методом Гаусса.
Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.