- •Министерство образования и науки российской федерации
- •2012 Г.
- •Тема 1. Построение моделей оптимального формирования пакета ценных бумаг (на примере задачи линейного программирования).
- •Тема 2. Решение транспортной задачи.
- •Тема 3. Определение показателей эффективности системы массового обслуживания (на примере многоканальной системы с неограниченной очередью).
- •Тема 4. Нахождение оптимальных смешанных стратегий игры с нулевой суммой.
- •Тема 5. Прогнозирование временных рядов.
- •Тема 6. Применение метода экстраполяции к непрерывным математическим моделям (на примере дифференциального уравнения).
Тема 5. Прогнозирование временных рядов.
Временным ( динамическим ) рядом называется последовательность наблюдений некоторой переменнойyв последующие моменты времени
t=1, 2, …,n.
Обычно модель временного ряда представляется в виде уравнения парной регрессии
t=f(t) , (5.1)
которое показывает, как в среднем меняется y в зависимости от t. Чаще всего временной ряд рассматривается в виде линейного тренда
t= b0 + b1t. (5.2)
Коэффициент bo и b1 могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:
где n – число наблюдений переменных t и y,
Используя временные ряды, можно осуществлять процедуру прогнозирования, которая представляет собой процесс построения умозаключений о будущем на основании имеющейся модели.
Существует два вида прогнозов: точечный и интервальный. Точечный прогноз представляет собой оценку значения прогнозируемой переменной и находится в результате подстановки в линейный тренд t=b0+b1t времени прогноза t = T. Интервальный прогноз представляет собой интервал, который с некоторой априорной вероятностью, называется достоверностью прогноза, содержит неизвестное значение прогнозируемой переменной.
Пусть T – время прогноза, тогда погрешность прогноза вычисляется по формуле:
ST=, (5.4)
где S– погрешность случайных отклонений, – временная средняя величина. При заданной достоверности прогноза по таблице функции Лапласа определяется соответствующий параметр. Истинное значение прогнозируемой переменной с вероятностью располагается в интервале с центром в точечном прогнозе, то есть
Пример 5.1.
Статистические данные о длине электрофицированных железнодорожных путей ( тыс. км) представлены в таблице в виде временного ряда
Год |
1970 |
1971 |
1972 |
1973 |
1974 |
1975 |
1976 |
1977 |
1978 |
1979 |
1980 |
1981 |
1982 |
1983 |
1984 |
yt |
3,9 |
4,0 |
4,4 |
4,7 |
5,1 |
5,6 |
6,0 |
6,3 |
6,5 |
6,7 |
6,9 |
7,1 |
7,4 |
7,8 |
8,3 |
Определить точечный и интервальный прогноз на длину таких путей на 1989 год, если достоверность прогноза = 0,95.
Решение:
По данным таблицы, используя метод наименьших квадратов, построим линейный тренд = 3,581 + 0,382t. При этом считаем, что 1970 год соответствуетt=1, 1971 год – t=2,… 1984 год – t=15, следовательно 1989 год соответствует t=T=20.
Найдем точечный прогноз: = 3,581+0,38220=9,348 тыс.км. Погрешность случайных отклонений определяем по формуле:
,
откуда по формуле (5.4) погрешность прогноза
=0,203 тыс. км.
Согласно таблице функции Лапласа при = 0,95 имеем= 1,96. Таким образом, интервальный прогноз представлен интервалом
(9,348-0,203= ( 9,745; 10,143).
Следовательно с вероятностью =0,95 можно предположить, что в 1989 году длина электрофицированных железнодорожных путей будет находиться в этом интервале.