билеты экзамен матан
.docxПервообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции
F'(x) = f(x).
Обозначение
где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением. 2. Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.
3. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то
4 . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности. 2. Таблица основных интегралов.
3. Основные методы интегрирования. Примеры.
Наиболее важными методами интегрирования являются: 1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
Пример. 2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
Пример. 3) метод интегрирования по частям.
Пример. Найти неопределенный интеграл ∫xe-2xdx
Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe-2xdx=-e-2x+C Следовательно по формуле имеем: ∫xe-2xdx=x(-e-2x)-∫--2dx=-e-2x-e-2x+C
4. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемаяфункция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .
Если непрерывна на отрезке и — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
5. Основные свойства определенного интеграла. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
Сво-во :
Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид
6. Несобственные интегралы.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
-
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
-
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b]
7. Двойной интеграл.
В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл − это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число
8. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Основные определения. Задача Коши для уравнений первого и второго порядков.
Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида
где — неизвестная функция , зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения(1)
Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения
; |
(8) |
удовлетворяющее начальному условию
y(x0) = y0; |
(9) |
-
(начальное условие (9) часто записывают в форме ). Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((8),(9)). Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения. 6
-
9. Основные виды ОДУ первого порядка. Методы решения.
-
Уравнения с разделяющимися переменными
-
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде . Тогда, в случае , общим решением уравнения является .
-
-
Дифференциальное уравнение называется однородным, если — однородная функция нулевой степени. Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство .
-
Замена приводит при однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:
-
-
-
Подставив в исходное уравнение, получаем:
-
,
-
что является уравнением с разделяющимися переменными.
-
-
Квазиоднородные уравнения
-
Дифференциальное уравнение называется квазиоднородным, если для любого выполняется соотношение .
-
Данное уравнение решается заменой :
-
-
В силу квазиоднородности, положив , получаем:
-
-
,
-
что, очевидно, является однородным уравнением.
-
-
Линейные уравнения[править | править исходный текст]
-
Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение
-
Дифференциальное уравнение называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.
-
Метод интегрирующего множителя[править | править исходный текст]
-
Пусть задана функция — интегрирующий множитель, в виде:
-
-
Умножим обе части исходного уравнения на , получим:
-
-
Легко заметить, что левая часть является производной функции по . Поэтому уравнение можно переписать:
-
-
Проинтегрируем:
-
-
Таким образом, решение линейного уравнения будет:
-
-
Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)[править | править исходный текст]
-
Основная статья: Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)
-
Рассмотрим однородное уравнение . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:
-
-
Решения исходного уравнения будем искать в виде:
-
-
Подставив полученное решение в исходное уравнение:
-
,
-
получаем:
-
,
-
где — произвольная константа.
-
Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки в решение однородного уравнения:
-
-
10. ОДУ высших порядков допускающие понижение порядка. Методы решения.
-
Если дифференциальное уравнение
-
F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0
-
содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка n выше первого, то его называют уравнением n-го порядка и относят к уравнениям высших порядков.
-
Такое уравнение в нормальной форме имеет вид
-
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ).
-
Пусть D область определения функции f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ), D из Rn + 1 . Функция y = y(x) называется решением уравнения n–го порядка на отрезке [a; b] , если:
-
− при всех x ∈ [a; b] точка (x, y(x), y '(x) ,..., y(n −1) ) принадлежит области D;
-
− y = y(x) дифференцируема n раз на [a; b] и при всех x ∈ [a; b] выполняется тождество y(n)(x) ≡ f (x, y(x), y '(x), ..., y(n - 1) (x) ).
-
График решения y = y(x) называется интегральной кривой уравнения.
-
Для того, чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n –го порядка таких условий должно быть n.
-
Начальной задачей или задачей Коши для уравнения n–го порядка
-
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) )
-
называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям
-
y(x0) = y0, y '(x0) = y10, ..., y(n - 1) (x0) = y(n - 1)0 .
-
Здесь (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) фиксированная точка области D.
-
Любое фиксированное решение y = φ(x) — решение некоторой задачи Коши — называется частным решением уравнения .
-
Общим решением уравнения n –го порядка называется функция y = φ(x,C1,..., Cn) , зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим требованиям:
-
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = φ(x,C1,..., Cn) является решением уравнения на [a;b] ;
-
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) ∈ D , существуют такие значения постоянных значения C1*,..., Cn* такие, что функция y = φ(x,C1*,..., Cn*) удовлетворяет начальным условиям
-
φ(x0,C1*,..., Cn*) = y0 , φ '(x0,C1*,..., Cn*) = y10, ..., φ(n - 1)(x0,C1*,... , Cn*) = y(n - 1)0 .
-
Равенство Φ(x,C1,..., Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения n –го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения .
-
-
Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнениедопускает понижение порядка.
-
-
К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида
-
-
Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка:
-
-
Если z = z(x,C1,...,Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле
-
-
Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид
-