22. Методы принятия решения в условиях определенности.

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятие решений может производиться: по одному критерию; по нескольким критериям. Пример 9.1. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. С помощью экспериментальных наблюдений были определены значения частных критериев функционирования соответствующего оборудования выпускаемого тремя заводами-изготовителями. Рассмотрим данные для выбора оптимальной стратегии в условиях полной определенности (табл. 9.1). Таблица 9.1 Варианты Частные критерии эффективности оборудования* оборудования (стратегии, решения) производительность, д. е. стоимость, д. е. энергоем-кость, у. е. надежность, у. е. Оборудование завода 1, Оборудование ап = 5 012 = 7 013 = 5 014 = 6 завода 2, *2 Оборудование а2{ = 3 022 = 4 023 = 7 024 = 3 завода 3, *з а31 = 4 032 = 6 033 = 2 034 = 4 * Значения частных критериев даны в условных единицах. На основе экспертных оценок были также определены веса частных критериев Xpj =1,4: Х{ = 0,4; Х2 = 0,2; Л3 = 0,1; Х4 = 0,3. Очевидно, выбор оптимальной стратегии (варианта оборудования) по одному критерию в данной задаче не вызывает затрудне- ний. Например, если оценивать оборудование по надежности, то лучшим является оборудование завода 1 (стратегия х{). Выбор оптимального решения по комплексу нескольких крите-риев (в нашем примере — по четырем критериям) является задачей многокритериальной. Один из подходов к решению многокритериальных задач управления связан с процедурой образования обобщенной функции Fj (ап\ а 12, Я/3; ain), монотонно зависящей от критериев ап; ai2; я/3; ...; ain. Данная процедура называется процедурой (методом) свер-тывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например: метод аддитивной оптимизации; метод многоцелевой оптимизации и др. Рассмотрим подробнее метод аддитивной оптимизации. Пусть (9.1) Здесь выражение (9.1) определяет аддитивный критерий оптимальности. Величины Л/ являются весовыми коэффициентами, ко-торые определяют в количественной форме степень предпочтения у-го критерия по сравнению с другими критериями. Другими словами, коэффициенты Xj определяют важность у-го критерия оптимальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е. iXj=l Л>0, (9.2) j=і Обобщенная функция цели (9.1) может быть использована для свертывания частных критериев оптимальности, если: частные (локальные) критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число Хр которое численно характеризует его важность по отношению к другим критериям; частные критерии являются однородными (имеют одинаковую размерность; в нашем примере критерии «стоимость оборудования» и «производительность оборудования» в условных денеж-ных единицах будут однородными). В этом случае для решения задачи многокритериальной оптимизации оказывается справедливым применение аддитивного кри-терия оптимальности. Допустим, в примере 9.1 необходимо выбрать оптимальный вариант оборудования по двум однородным локальным критериям: производительность (д. е.); стоимость оборудования (д. е.). На основе экспертных оценок были определены весовые коэффициенты этих двух частных критериев: Х{ = 0,667, Х2 = 0,333. Вычислим аддитивный критерий оптимальности для трех вариантов: Fx(a{j) = Ххаи+Х2 а12 = 0,667 • 5 + 0,333 • 7 = 5,666; F2(a2J) = Х{ а21 + Х2 а22 = 0,667 • 3 + 0,333 • 4 = 3,333; F3(a3j) = Х{ аЪ{ + Х2 аЪ2 = 0,667 • 4 + 0,333 • 6 = 4,666. Очевидно, первый вариант оборудования по двум частным стоимостным критериям будет оптимальным, так как Fmax = Fx(axj) = = 5,666. В примере 9.1 четыре локальных критерия не однородны, т.е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев. Под нормализацией критериев понимается такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измерения. К настоящему времени разработано большое количество схем нормализации. Рассмотрим некоторые из них. Определим максимум и минимум каждого локального критерия, т. е. а/+ = max ay, і = \,т aj~ = min ахр і — 1 ,т. Выделим группу критериев apj = М, которые максимизируются при решении задачи, и группу критериев aj,j = I + 1 которые минимизируются при решении задачи. Тогда в соответствии с принципом максимальной эффективности нормализованные критерии определяются из следующих соотношений: (9.5) (9.6) или (9.7) (9.8) Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает максимальное значение функции цели: F^iXj-ay, / = (9.9) 7-і В соответствии с принципом минимальной потери нормализованные критерии определяются из соотношений а» — %=1—7> = (9.10) aJ Т' J = e + l'n (9.11) aj или + „ а І -аи — j = U; (9.12) а ) -а: А а;; -а; Я/у =-7 _ > j = l + l,n. (9.13) aj -а] При этом оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает минимальное значение функции цели (9.9). Пример 9.2. Используя данные примера 9.1, определите оптимальную стратегию выбора оборудования из трех возможных (т = 3) с учетом четырех локальных критериев (п = 4). Решение Определим шах и min каждого локального критерия: а* = 5; = 7; = 7; д4+ = 6. При решении задачи максимизируются первый (производительность) и четвертый (надежность) критерии, а минимизируются второй (стоимость оборудования) и третий (энергоемкость) критерии. Исходя из принципа максимизации эффективности, нормализуем критерии: л - ai\. п "Г- «1 л _-2-і. -—Г-5 "" ' ax 3 A «21 _ 3 _n A _ «31 _ 4 _n Я «31 = — ---0,8. «1 J «/4 = «/4. 4" A _ «14 _ 6 «4 6

a _ «24 _ 1 c. «24= — 4 6 «34 _ 4 _ 2 аз4"Г? a2 a , «12 _1 Z_n. o12=i— o2 л ?22. _ j 1_2. ~ a2 ~ л «32 4. Определим обобщенную функцию цели по каждому варианту: F\ = ^11 + ^12 + *13 + & 14 = = 0,4-1 + 0,2-0 + 0,1.| + 0,3-1 «0,729; Г" Л А - Л - А ЛА F2 = Aj Я21 + А2 Л22 + A3 а23 + А4 Я24 = = 0,4 • 0,6 + 0,2 • у + 0,1 • 0 + 0,3 • 0,5 « 0,476; F3 = Х{ агх + А2 Я32 + А3 я33 + А4 я34 = = 0,4 • 0,8 + 0,2 • у + 0,1 • у + 0,3 • -j « 0,603. Оптимальным является первый вариант оборудования, так как F = F. = о 729 1 шах 1 1 Рассмотренный подход к решению многокритериальных задач зачастую применяется при решении экономических задач, связанных с оценкой качества промышленной продукции и оценкой уровня технического совершенства технических устройств и систем по нескольким показателям. Другим возможным методом решения многокритериальных задач является метод последовательных уступок. Вначале критерии ранжируются и нумеруются в порядке убывания важности. Абсолютное значение коэффициентов важности Xj на этом этапе не играет никакой роли. Оптимизируется первый по важности критерий ах и определяется его экстремальное значение ах. Затем назначает- ся величина допустимого отклонения критерия от оптимального значения (уступка) и ищется экстремальное значение второго по важности критерия а2, при условии, что отклонение первого от оптимального значения не превзойдет величины уступки. Затем назначается уступка для второго критерия, и задача оптимизируется по третьему критерию и т. д. Таким образом, многокритериальная задача оптимизации заменяется последовательностью однокри- териальных задач. Решение каждой предыдущей задачи используется при решении последующих для формирования дополнитель-ных условий, состоящих в ограничении на величину уступки.