3. Критерии и критериальное пространство

Концепция принятия решения в качестве первичного элемента деятельности рассматривает решение как сознательный выбор одной из ряда альтернатив, называемых в зависимости от их конкретного содержания, стратегиями, планами, вариантами. Этот выбор производит лицо, принимающее решение и стремящееся к достижению определенных целей. В роли такого лица выступает менеджер, обладающий правами выбора решения и несущий ответственность за его последствия.

Применение математических методов при принятии решений предполагает построение подходящей математической модели, формализовано отражающей проблемную ситуацию, т.е. ситуацию выбора решений. Для задач принятия решений (задач оптимизации) в условиях определенности (т.е. отсутствуют случайные и неопределенные факторы) компонентами такой модели являются множество всех (альтернативных) решений, из которых и надлежит произвести выбор одного наилучшего или оптимального решения, и описание предпочтений менеджера. Для того, чтобы была обеспечена свобода выбора, множестводолжно содержать не менее двух решений.

В многокритериальной задаче оптимизации сравнений решений по предпочтительности осуществляется не непосредственно, а при помощи заданных на числовых функций, называемых критериями (а также показателями качества или эффективности, критериальными функциями, целевыми функциями и т.п.). Предполагается, что, призадача оптимизации является однокритериальной.

Для каждого критерия указывается подмножество, из которого он принимает свои значения. Практически множествоназывают этого шкалой критерия. Например, если заведомо известно, что критерийположителен или неотрицателен, то можно принятьили.

Критерии , называемые частными (или локальными), образуют векторный критерий.

Считается, что каждое решение характеризуется векторной оценкой, т.е. вектором . Поэтому выбор оптимального решения из множества всех решенийсводится к выбору оптимальной оценки из множества достижимых оценок

,

где -мерное числовое пространство, называемое критериальным. При необходимости это пространство будет считаться евклидовым, т.е. снабжено метрикой

.

В реальных задачах множество часто построить весьма сложно. Поэтому введем некоторое более широкое множество, векторам из которого можно придать содержательный смысл. Чаще всего это множествовсех достижимых оценок. Иногда множествополучается при помощи тех или иных ограничений, направленных на отсечение тех оценок, которые или лишены смысла, или заведомо недостижимы.

Введение в рассмотрение множества дает ряд преимуществ. Например, возникает возможность исследования не одной, а сразу целого семейства задач, для каждой из которых множество достижимых оценок входит в. В частности, становится возможным изучать характер зависимости оптимального решения от тех или иных параметров задачи.

Если данная векторная оценка является достижимой и ей соответствует несколько решений, то подбудет пониматься произвольное из этих решений.

В задачах принятия индивидуальных решений критерии служат для выражения «интенсивности» существенных свойств (признаков) решений. Например, при сравнении некоторых товаров могут использоваться такие критерии, как цена, дата выпуска, срок гарантии, дизайн и т.п. В задачах принятия групповых решений критерий характеризует «качество» (или предпочтительность) решений с точки зрения индивида, входящего в группу. Например, если решений конечное число и индивидвсе их упорядочил по предпочтительности (проранжировал), то можно принятьдля наиболее предпочтительного решения,- для следующего по предпочтительности решения, и т.д.

По своему характеру критерии делятся на количественные и качественные. Критерий является количественным, если его значения имеет смысл сравнивать, указывая на сколько или во сколько раз одно значение больше другого, и качественным, если такие сравнения бессмысленны. Примером количественного значения является цена. Если фиксирована денежная единица измерения по покупательной способности, то можно говорить о том, во сколько раз (или на сколько) один товар дороже другого: отношение стоимостей товаров не изменяется после перехода к другой единице измерения (например, условная единица). Таким образом, после преобразования в, где. В данном примере допустимыми преобразованиями критерияявляются все положительные линейные преобразования. В общем случае функциюназывают допустимым преобразованием критерия, если функциявновь оказывается критерием, измеряющим то же свойство. При замененамножествоизменяется на.

Таким образом, с каждым критерием связывают множество допустимых преобразований и говорят, что этот критерия имеет шкалу типа. Обычно множествоестественно вводится вместе с заданием критерия, но иногда определение шкалы оказывается самостоятельной, достаточно сложной задачей.

В приведенном примере . Шкала такого типа называется шкалой отношений, так как сохраняются отношения величин:

.

Распространенным является и случай измерения в шкале типа

.

Здесь допустимыми преобразованиями являются умножение на положительное число и добавление произвольного числа. Такая шкала называется шкалой интервалов. Это название объясняется свойством сохранения отношений интервалов:

.

Примером критерия, имеющего шкалу интервалов, служит «дата выпуска»: для измерения времени необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета.

Шкала является тем более совершенной, чем уже множество допустимых преобразований. Критерии, имеющие шкалу, не менее совершенную, чем интервальная, называются количественными. В большинстве случаев количественные критерии соответствуют объективным измерениям объективных свойств.

Однако весьма распространены и критерии с менее совершенными шкалами, чем шкала интервалов. Наименее совершенной шкалой критериев, встречающейся в задачах оптимизации, является порядковая шкала, для которой множество допустимых преобразований состоит из всех монотонно возрастающих функций:

.

Критерии, имеющие порядковую шкалу, называются качественными. Значения качественного критерия имеет смысл сравнивать только по отношениям «больше», «меньше» и «равно». Эти отношения сохраняются при монотонных преобразованиях, но выяснять, во сколько раз одно значение больше другого, бессмысленно. Критерий с порядковой шкалой естественным образом возникает в тех случаях, когда решения ранжируются, т.е. располагаются по возрастанию или убыванию интенсивности некоторого свойства, а затем им приписываются числа таким образом, чтобы большей интенсивности соответствовало большее (или наоборот, меньшее) число. Обычно такие ранжирования получаются при субъективных измерениях, например, они отражают мнение индивида о предпочтительности решений.

Весьма часто субъективные измерения выполняются и в бальных шкалах. Например, оценка экспертами дизайна изделия. Критерии с бальными шкалами занимают промежуточное положение между количественными и качественными критериями.

Утверждение о значениях критериев с заданными типами шкал называется адекватным, если его истинность не изменяется после применения к критериям любых допустимых преобразований, определяемых типами шкал. Поэтому для анализа и решения практической многокритериальной задачи оптимизации следует применять только те определения и понятия, методы и процедуры, которые приводят к получению адекватных вывод и рекомендаций. Например, широко известным является метод решения многокритериальных задач, основанный на «свертывании» векторного критерия в одну функцию – обобщенный (или агрегированный) критерий. Нетрудно убедится в том, что этот метод не пригоден для решения задач с качественными критериями. Наиболее распространенный обобщенный критерий – линейная «свертка», где- некоторые положительные числа, характеризующие относительную важность критериев (коэффициенты важности). Пусть, например,. Тогдауказывает, чтолучше, чем, так как 2+8<1+27. Однако, если к первому критерию применить допустимое преобразование, а ко второму, (т.е.заменить на, а- на), то вывод окажется противоположным, ибо 32+2>1+3.

Как указывалось выше, выделение оптимального решения из множества может быть произведено на основании предпочтений менеджера, принимающего решение. Эти предпочтения должны быть описаны формализовано при помощи критериев.

Множество обычно выделяется из некоторого более широкого множествапри помощи специальных ограничений, которые чаще всего представляются в виде неравенств

X={x,

где - числовые функции, определенные наи составляющие вектор-функцию ограничений. При этом считается, чтотакже определены на.

В роли множества обычно выступает либо все пространство, либо некоторое его специфическое подмножество, например неотрицательный ортант, образуемый всеми векторами с неотрицательными компонентами:

.

Практически множество выделяется изпри помощи самых простых и очевидных ограничений на переменные. Например, еслитребующееся количество ресурса типа, тои можно принять.

В зависимости от структуры множества (или)и свойств функцийивыделяют разные классы многокритериальных задач. Так, если множество() содержит конечное число элементов, то задача называется конечной. Если() исчислимо, т.е. конечно или же счетно, то задача является дискретной. Если у каждого векторавсе компоненты- целые числа, то задача называется целочисленной. А если векторы, образующие(), булевы (т.е. состоят из нулей и единиц), то и сама задача называется булевой.

Если () выпукло, а всеи- вогнутые функции, то задача называется вогнутой. Если система ограничений представлена системой линейных неравенств и равенств, а вселинейны, то многокритериальная задача называется линейной.

В специальный класс выделяются задачи, в которых все функции идифференцируемы.