8.Задачи изменения состояний системы

Многие задачи в их абстрактной формулировке относятся к следующему общему типу: задана некоторая система, которая в любой момент времени может находиться только в одном из ко­нечного числа состояний. Множество возможных прямых (т.е. од­ношаговых) переходов задано либо путем непосредственного пере­числения, либо при помощи некоторого правила. Требуется опре­делить, можно ли переместить систему из заданного начального со­стояния в требуемое конечное состояние с помощью последова­тельности одношаговых переходов. Если каждому переходу соот­ветствует определенная стоимость, можно потребовать перевести систему в нужное состояние с минимальными затратами.

Если состояния и одношаговые переходы представлены соот­ветственно вершинами и дугами ориентированного графа, то за­дача сводится к нахождению пути, соединяющего пару заданных вершин, т.е. состояний. Во многих случаях основным этапом ана­лиза таких задач является определение системы или, более точно, определение множества состояний, адекватных возможным состоя­ниям реальной системы и позволяющих удобно определять одно­шаговые переходы.

Классическими примерами являются такие занимательные за­дачи как переправа через реку трех волков и трех баранов (в зару­бежной литературе – трех людоедов и трех миссионеров). Причем на берегу нельзя оставлять баранов в меньшинстве, а в лодке можно перевести только двоих.

В некоторых случаях допустимые переходы очевидны, в дру­гих совершенно неясно, можно ли достичь из заданного начального состояния желаемого конечного. Примером последнего является задача отыскания пути в лабиринте. Эта задача опять таки сводится к определению цепи, соединяющей две заданные вершины соот­ветствующего графа, который характеризует структуру лабиринта.

К рассматриваемым моделям сводятся процессы ведения кон­курентной борьбы, слияния и реструктуризации компаний, про­цессы разоружения и восстановления систем. Рассмотрим задачу разоружения. Определим множество , состоящее из конечного числа состояний, где каждое состояние соответствует уровню воо­руженности двух противниковив условиях устойчивости. Ус­тойчивость, баланс, или равновесие является важным критерием в рассматриваемой постановке проблемы. Она требует, чтобы ни один из противников не считал свое положение, т.е. состояние (оп­ределяемое ниже), слабее положения соперника.

Элементами множестваявляются векторы

,

где - обозначает число единиц вооружений (оружие, количество информации, экономические факторы и т.д.) видау соперникана этапепроцесса разоружения, а- те же самые характери­стики для соперника. Каждый соперникибудет выбирать множество правил, применение которых к начальному состоянию вооружений дает новое состояние. Те же самые или другие правила могут быть применены к новому состоянию для получения третьего состояния и т.д. Общая схема сокращения вооружениябудет обра­зовывать множество состояний, которые совсем не обязательно оказывается приемлемым для.

Цель состоит в том, чтобы найти состояния, в которых может быть достигнуто соглашение, и затем установить правила сокраще­ния вооружений в этих состояниях. Считается, что начальное со­стояние, к которому применяются правила, является равновесным с точки зрения обеих сторон. Причины этого не обязательно только военные, но и политические, экономические и др. Далее будет по­казано, что процесс разоружения зависит от компенсирующих фак­торов, используемых обеими сторонами. Рассмотрим теперь, как можно получить множество . Равновесие, или устойчивое состоя­ние, является допустимым состоянием для обеих сторон. При вы­боре допустимых состояний дляестественно положить, что, где- компенсирующий фактор. Действительно, необ­ходимо провести сравнение по всем видам вооружений.

Очевидно, в такой постановке проблемы важно правильно вы­брать общий знаменатель для единиц сокращаемого вооружения. Таким образом, если существует численное превосходство по од­ному виду оружия, то его можно компенсировать отсутствием пре­восходства по другому виду. Отсутствие превосходства (или его наличие) должно оцениваться в общих единицах измерения обоих рассматриваемых видов оружия. Действительно, компенса­ция может быть основана на нескольких видах оружия (а не на од­ном) и, следовательно, требуется общая единица измерения.

Единственный фактор оценки может оказаться недостаточным для определения допустимости данного состояния. Будем считать, что принадлежит к множеству допустимых состоянийдля сто­роны, если величина, называемая нормой вектора компен­сирующих факторов, не меньше, чем некоторое число, выбранное стороной. Нормаявляется некоторой мерой всех. Учитывая различную важность разных видов ору­жия, в качестве нормы удобно принять

,

где - средний вес вида оружияв различных конфликтных ситуа­циях. Аналогично можно ввестиидля определения множества допустимых состоянийстороны. Заметим, напри­мер, что состояниедопустимо для, но недопустимо для, поэтому оно принадлежит. Аналогично, состояниепринадлежит. Легко предположить, что такие состояния допус­тимы, так как одна из сторон имеет нулевое вооружение. Наконец, множество допустимых равновесных состояний (дляи) есть, т.е. оно соответствует общей части выделенных мно­жеств.

Одна из задач управления вооружениями состоит в нахожде­нии правил их сокращения. Слово «сокращение» используется здесь в широком смысле, так как в процессе общего сокращения может наблюдаться рост по отдельным видам оружия. Независимо от своего конкретного вида правила сокращения вооружений должны обеспечить переход от одного состояния к другому на множестве . Правила, используемые сторонами, не обязательно должны совпадать, так как, например, множествобудет содер­жать состояния, не входящие в, и наоборот. Таким образом, за­дача состоит в том, чтобы найти такие правила, которые обеспечи­вают последовательные переходы на множествеи никогда не вы­водят за его пределы. Практически такие правила обычно совпа­дают с правилами, определяющими состояния.

Пусть мы имеем теперь список всех элементов множества . Ясно, что на практике такой список получить трудно, так как ни одна из сторон обычно не хочет сообщать своих компенсирующих факторов. Однако ценность такого подхода состоит в том, что он позволяет примерно оценить компенсирующие факторы против­ника, предлагая различные правила, которые тот принимает или отвергает.

Очевидно, что число этих элементов является конечным, хотя эскалация вооружений увеличивает мощность множества со вре­менем. Предположим для простоты, что состоянияесть.

Если задача нахождения правил перехода решена, то возни­кает следующая задача, как использовать эти правила, чтобы полу­чить все те состояния, которые попадают на путь сокращения воо­ружений, идущий из заданного начального состояния, например, в любое промежуточное состояние. Если такого пути не су­ществует, то правила оказываются неприемлемыми и должны быть изменены, чтобы обеспечить возможность выполнения шагов по разоружению. Ясно, что переход из начального состояния в задан­ное промежуточное можно осуществить за один шаг. Однако боль­шие шаги в разоружении могут привести ко многим неблагоприят­ным последствиям. Поэтому процесс необходимо осуществить сравнительно небольшими шагами. Кроме того, разоружение за один шаг может быть неприемлемо для обеих сторон и неосущест­вимо из соображений безопасности, так как выполнение и контроль практических действий по разоружению требуют определенного времени. Такой подход можно использовать только при определе­нии возможности достижения заданного состояния из начального при использовании данного набора правил. Другими словами, да­леко не каждый метод, даже если он и кажется хорошим, может га­рантировано привести в устойчивое состояние при многократном его использовании.

Первая задача, связанная с выбором правил перехода, не явля­ется математической. Ее решение зависит от многих политических, военных и экономических факторов. Однако задача использования выбранных правил для определения возможных промежуточных шагов разоружения может исследоваться математически, даже если правила меняются при переходе от шага к шагу. В последнем слу­чае состояние, в котором произошло изменение правил, должно считаться новым начальным состоянием и к нему может быть при­менен тот же метод. Если теперь каждому состоянию поставить в соответствие вершину графа, то можно использовать для решения данной задачи методы, рассмотренные ранее при анализе задач пе­реходов состояний.

1Класс объектов (точек)называется метрическим пространством, если для каждой упорядоченной пары точекопределено действительное число(расстояние междуи, метрика), такое, что:

• в том случае, если,

• (неравенство треугольника) для любых.

Из этого определения вытекает ,.

Метрическое пространство называется полным, если любая последовательность пространства, для которой(последовательность Коши, фундаментальная последовательность), сходится к некоторой точке этого пространства.

2Метод последовательных приближений – метод повторных постановок, метод простой итерации, один из общих методов приближенного решения уравнений.