- •Математика
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •§2. Случайные события. Операции.
- •§3. Классическое определение вероятности .
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему.
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях.
- •§6. Простейшие свойства вероятностей.
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий.
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события.
- •§9. Формула полной вероятности.
- •§10. Формула байеса.
- •Комментарии к задаче №2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли .
- •Комментарии к задаче №3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения.
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа.
- •§16. Дисперсия случайной величины.
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения.
- •Комментарии к задаче №4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики.
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин.
- •4.Методические указания к выполнению задания №5
- •Часть 2.
- •5. Контрольные задания №№1-4
- •Контрольные задания №5
- •7. Приложения 1-4
- •Приложение 2 «Нормированная функция Лапласа»
- •8. Требования к оформлению контрольной работы
- •9. Список литературы
- •11. Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине.
§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему.
1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?
Каждому из шести исходов при броске первой кости соответствует шесть исходов, получающихся при броске второй кости, значит, всего получится 36 элементарных исходов (1-1, 1-2, ..., 1-6, 2 - 1, ... , 6 - 6). Искомому событию благоприятствуют 6 исходов из 36 (1-1, 2-2, ... , 6-6), поэтому вероятность данного события А
.
2. В урне 10 белых и 12 черных шаров, вынимают 3 из них. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 черных?
Общее число элементарных исходов это число способов, которым можно вынуть 3 шара из 22. Оно равно числу сочетаний из 22 элементов по 3.
n =
(первый шар выбирается 22 способами, после того, как первый выбран, второй 21 способом, а для третьего после выбора первых двух остается 20 вариантов; однако каждый набор из трех шаров мы включили в общее число несколько раз, а именно 3·2·1=6, поэтому разных наборов из 3 шаров в 6 раз меньше, чем 22·21·20).
Общая формула для числа сочетаний из L по k приведена ниже.
Событие А, вероятность которого нужно подсчитать, состоит в том, что вынуты 2 черных и 1 белый шар. 2 черных шара из 12-ти можно извлечь
способами ( 1-й любой из 12-ти черных, 2-й любой из 11-ти оставшихся, но каждый набор из двух шаров учтен дважды, поэтому 12·11 делим пополам). 1 белый шар из 10-ти можно взять
способами. Таким образом, число благоприятствующих событию А способов равно
m =
(каждый из 66 наборов из 2 черных шаров и каждый из 10 белых шаров дают устраивающий нас вариант).
Итак,
.
Примечание. Общая формула для числа сочетаний из L по k
,
где .
(подробнее о комбинаторных схемах см. [ 3-4 ]).
3. Полный набор домино (28 костей) раздается между четырьмя игроками (по 7). Какова вероятность, что у третьего игрока нет “шестерок”?
Всего игрок может получить n = различных наборов из 7 костей, составленных из всех 28 костей домино, “шестерка” содержится на 7 “костяшках”, значит, без “шестерок” – 21 кость домино. Из них можно составить m =всевозможных “семерок” – наборов из 7 костей. Окончательно,
§5. О статистической и геометрической вероятностях.
Относительная частота события А это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А) к общему числу проведенных испытаний: .
Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1 W(A) меняется хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W(A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события А.
Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.
Бывают задачи, когда множества всех элементарных исходов и благоприятствующих исходов невозможно пересчитать. В этих задачах иногда удается выразить вероятность события как отношение либо длин, либо площадей, либо объемов. Например, если считать, что попадания в круглую мишень происходят равномерно по площади всей мишени, а диаметр центра мишени в 5 раз меньше диаметра самой мишени, то вероятность попадания в центр (при условии попадания в мишень) равна отношению площадей центра мишени и всей мишени:
В этом случае количество вариантов, благоприятствующих А, бесконечно, но и общее число вариантов исхода испытания бесконечно, т.е. формулы классической или статистической вероятности неприемлемы.
Вероятность, определяемую как отношение длин, площадей, объемов, называют геометрической вероятностью.