§ 3. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции

Кроме корреляционной функции для оценки степени зависимости сечений стационарной-случайной функции используют еще одну характеристику — нормированную корреляционную функцию.

Ранее нормированная корреляционная функция была определена так (см. гл. XXIII, § II):

(*)

В частности, для стационарной функции числитель и знаменатель этой дроби имеют вид (см. § 1, соотношения (*) и (**)) K_x(t₁,t₂)=k_x(τ), σ_x(t)=. Следовательно, для стационарной функции правая часть(*) равна k_x(t)/k_x(0) и является функцией одного аргумента т; очевидно, и левая часть (*)—функция от τ.

Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента τ:

ρ_x(t)= k_x(t)/k_x(0).

Абсолютная величина нормированной корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает единицы. Справедливость этого свойства уже была доказана ранее для любой случайной функции (см. гл. XXIII, § 11). В учебных целях докажем его непосредственно для стационарной функции.

Приняв во внимание, что абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин, получим

|ρ_x(τ)|=|k_x(τ)/k_x(0)|=|k_x(τ)|/|k_x(0)|.

Учитывая, что |k_x(τ)|≤k_x(0) (см. § 2, свойство 2), окончательно имеем

|ρ_x(τ)|≤1.

Замечание. При τ=0 нормированная корреляционная функция равна единице. Действительно,

ρ_x(0)= k_x(0)/ k_x(0)=1

Пример. Задана корреляционная функция k_x(τ)=(1/2)cosτ стационарной случайной функции Х(t). Найти нормированную корреляционную функцию.

Решение. Воспользуемся определением нормированной корреляционной функции:

Итак, искомая нормированная корреляционная функция

Заметим, что ρ_x(0)=1, как и должно быть в соответствии с замечанием, приведенным в этом параграфе,

§ 4, Стационарно связанные случайные функции

Стационарно связанными называют две случайные функции Х(t) и Y(t), если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ=t₂-t₁:

R_xy(t₁,t₂)=r_ху(τ).

Взаимная корреляционная функция стационарно связанных случайных функций обладает следующим свойством:

r_ху(τ)= r_ху(-τ)

Это равенство следует из свойства 1 взаимной корреляционной функции (при одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется):

r_ху(t₂-t₁)= r_ху(t₁-t₂), или r_ху(τ)= r_ху(-τ).

Геометрически свойство можно истолковать так: график кривой r_ху(-τ) симметричен графику кривой r_ху(τ) относительно оси ординат.

Заметим, что если каждая из двух случайных функций стационарна, то отсюда еще нельзя заключить, что их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Стационарными и стационарно связанными называют две стационарные случайные функции Х(t) и Y(t), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов τ=t₂-t₁.

Пример. Заданы две стационарные случайные функции Х(t)=cos(t+φ) и Y(t)=sin(t+φ), где φ—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2π). Доказать, что заданные стационарные функции стационарно связаны.

Решение. Ранее было найдено, что т_х(t)=0 (см. § 1, пример); аналогично можно получить, что m_y(t)=0. Запишем центрированные функции:

Найдем взаимную корреляционную функцию:

Легко убедиться, что математическое ожидание dторого слагаемого равно нулю (см. § 1, пример), поэтому:

Итак, взаимная корреляционная функция заданных стационарных случайных функций зависит только от разности аргументов;

следовательно, эти функции стационарно связаны.