- •Основные понятия
- •Понятия о дифференциальных уравнениях
- •Некоторые математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями
- •Движение материальной точки
- •Модели динамики популяций
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
- •Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах
- •Уравнение в симметричном виде
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Задача Коши
- •Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной
- •Редукция к интегральному уравнению
- •Лемма Гронуолла-Беллмана
- •Условие Липшица
- •Теорема единственности решения задачи Коши
- •Локальная теорема существования решения задачи Коши
- •Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной
- •Примеры постановки задачи Коши
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши
- •Методы интегрирования
- •Особые решения дифференциального уравнения первого порядка
- •Постановка задачи Коши для нормальной системы
- •Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы
- •Теорема существования решения задача Коши для нормальной системы на всем отрезке
- •Задача Коши для нормальной системы (локальная теорема)
- •Общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского
- •Линейная зависимость произвольных скалярных функций
- •Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного дифференциального уравнения
- •Фундаментальная система решений и общее решение линейного дифференциального уравнения
- •Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
- •Общее решение линейного однородного уравнения
- •Общее решение линейного неоднородного уравнения
- •Метод вариации постоянных
- •Построение фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
- •Построение вещественной фундаментальной системы решений для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
- •Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям
- •Формула Остроградского-Лиувилля
- •Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Линейные системы дифференциальных уравнений и матричные дифференциальные уравнения
- •Линейные однородные системы
- •Однородные матричные дифференциальные уравнения
- •Линейная зависимость произвольных вектор-функций
- •Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений
- •Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы
- •Фундаментальная система решений линейной однородной системы
- •Общее решение линейной однородной системы
- •Общее решение линейной неоднородной системы, метод вариации постоянных
- •Построение фундаментальной системы решений для линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
- •Построение фундаментальной системы решений, когда существует базис из собственных векторов
- •Построение фундаментальной системы решений, когда не существует базиса из собственных векторов
- •Построение фундаментальной системы решений в вещественном виде
- •Неявные функции и функциональные матрицы
- •Общая теория линейных дифференциальных уравнений с точки зрения систем линейных дифференциальных уравнений
- •Литература
108 |
Приложение A |
Приложение A
Неявные функции и функциональные матрицы
A.1. Теорема о неявных функциях
Рассмотрим систему из m функциональных уравнений относительно
m + n аргументов (u1, . . . , um, x1, . . . , xn) Rm+n: |
|
|
|
F1(u1, . . . , um,.x. .1, . . . , xn) = 0, |
(A.1) |
|
Fm(u1, . . . , um, x1, . . . , xn) = 0. |
|
Нас интересует |
вопрос о разрешимости системы функциональных урав- |
|
|
|
нений (A.1) относительно u1, . . . , um. Под решением системы (A.1) понимается совокупность определенных в некоторой области D Rn функций
u1 = ϕ1(x1, . . . , xn), . . . , um = ϕm(x1, . . . , xn) |
(A.2) |
таких, что при подстановке этих функций в систему (A.1) все уравнения этой системы обращаются в тождества:
Fi(u1(x1, . . . , xn), . . . , um(x1, . . . , xn), x1, . . . , xn) = 0,(x1, . . . , xn) D, i = 1, . . . , m.
Якобианом функций F1, . . . , Fm по переменным u1, . . . , um называ-
ется следующий функциональный определитель |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂F1 |
|
|
∂F1 |
|
∂F1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∂u1 |
∂u2 |
∂um |
|
|||||||||||
|
D(F1, . . . , Fm) |
|
|
|
∂F2 |
|
|
∂F2 |
|
∂F2 |
|
|
|
|||||
|
= det |
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
, |
|||||||
|
|
∂u1 |
|
|
∂u2 |
∂um |
||||||||||||
|
D(u1, . . . , um) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
||
|
|
|
. . . . . . . . . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∂F |
m |
∂F |
m |
|
∂F |
m |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u1 |
|
|
∂u2 |
∂um |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являющийся скалярной функцией аргументов (u1, . . . , um, x1, . . . , xn).
Неявные функции и функциональные матрицы |
109 |
Теорема A.1.1. Пусть m функций
F1(u1, . . . , um, x1, . . . , xn), . . . , Fm(u1, . . . , um, x1, . . . , xn)
дифференцируемы в некоторой окрестности точки
N0 = N0(u01, . . . , u0m, x01, . . . , x0n),
частные производные ∂Fi/∂uj непрерывны в точке N0, i, j = 1, . . . , m. Тогда, если выполнены условия
Fi(N0) = 0, i = 1, . . . , m, |
D(F1, . . . , Fm) |
(N0) 6= 0, |
|
D(u1, . . . , um) |
|
то для достаточно малых чисел ε1, . . . , εm найдется такая окрестность точки M0(x01, . . . , x0n), что в пределах этой окрестности существуют единственные m функций (A.2), которые удовлетворяют условиям |ui − u0i | < εi, i = 1, . . . , m и являются решением системы уравнений (A.1), причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки M0.
Доказательство теоремы можно найти в [2], гл. 13, §2.
A.2. Зависимость функций и функциональные матрицы
Рассмотрим m функций от n переменных |
|
u1 = ϕ1(x. .1., . . . , xn), |
(A.3) |
um = ϕm(x1, . . . , xn). |
|
|
|
Предполагается, что функции ϕi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , m, определены и дифференцируемы в некоторой открытой n-мерной области D. Напомним определение зависимости функций. Пусть k {1, . . . , m} – фиксированный индекс.
Определение A.2.1. Функция uk зависит в области D от остальных функций из (A.3), если сразу для всех точек x = (x1, . . . , xn) D
uk( |
x |
) = Φ(u1( |
x |
), . . . , uk−1( |
x |
), uk+1( |
x |
), . . . , um( |
x |
)), |
(A.4) |
110 Приложение A
где Φ – некоторая функция, определенная и дифференцируемая в соответствующей области изменения своих аргументов. Функции
u1, . . . , um
называются зависимыми в области D, если одна из этих функций зависит в области D от остальных.
Если не существует дифференцируемой функции Φ такой, что сразу для всех точек области D справедливо тождество вида (A.4) хотя бы для одного k {1, . . . , m}, то функции u1, . . . , um называются независимыми в области D.
Теорема A.2.1. Пусть m функций от n > m переменных вида (A.3) определены и дифференцируемы в окрестности точки
M0 = M0(x01, . . . , x0n).
Тогда, если якобиан из этих функций по каким-либо m переменным отличен от нуля в точке M0, то эти функции независимы в некоторой окрестности точки M0.
Пусть теперь ϕi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , m определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки M0(x01, . . . , x0n), причем все частные производные первого порядка от этих функций непрерывны в самой точке M0. Составим из частных производных функций (A.3) функциональную матрицу
|
|
∂ϕ1 |
|
|
|
∂ϕ1 |
|
. . . |
|
∂ϕ1 |
|
|
|
|||
|
∂x1 |
|
|
∂x2 |
|
∂xn |
|
|||||||||
|
|
∂ϕ2 |
|
|
∂ϕ2 |
|
|
∂ϕ2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A.5) |
||||||
. . . |
. . . |
. . . . . . |
|
|||||||||||||
|
|
∂x1 |
|
|
∂x2 |
. . . |
|
∂xn |
, |
|||||||
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
∂x2 |
|
∂xn |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂ϕ |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержащую m строк и n столбцов.
Теорема A.2.2. Пусть у функциональной матрицы (A.5)
1)некоторый минор r-го порядка отличен от нуля в точке
M0(x01, . . . , x0n);
2)все миноры (r + 1)-го порядка равны нулю в некоторой окрестности точки M0 (если r = min(m, n), то это требование следует опустить).
Неявные функции и функциональные матрицы |
111 |
Тогда r функций, представленных в указанном миноре r-го порядка, независимы в окрестности точки M0, а каждая из остальных функций зависит в этой окрестности от указанных r функций.
Доказательство этих теорем можно найти в [2], гл. 13, §3.