seminar1-3
.pdfСеминар 3
Эквивалентное преобразование активного двухполюсника (последовательная схема замещения и параллельная схема замещения). Метод узловых потенциалов (МУП) и «формула двух узлов»
Линейную электрическую цепь можно рассчитать методом контурных токов (МКТ) и методом узловых потенциалов (узловых напряжений)
(МУП). Если число взаимно независимых контуров кII=в-(у-1) меньше числа кI=у-1, для расчета такой схемы используют МКТ, если кI< кII, для такой схемы рекомендуется применять МУП. МУП лежит в основе машинных методов расчета, так как порядок расчета хорошо алгоритмизирован. Расчет линейных электрических цепей можно значительно упростить с помощью эквивалентных преобразований активных и пассивных двухполюсников. Использование теоремы компенсации позволит сократить число узлов схемы и, как следствие, число уравнений, необходимых для расчета токов и напряжений по МУП. Наиболее просто применить МУП к расчету схемы, содержащей два узла. В таком используют «формулу двух узлов». При этом необходимо помнить, что эквивалентное преобразование не меняет токов и напряжений в оставшейся части схемы (исключая случаи образования особых разрезов и особых контуров). При расчете токов и напряжений в преобразованной схеме необходимо в дальнейшем провести расчет токов и напряжений в исходной схеме.
Задача 3.1. Дано: Е1 = 20 В, R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, J =30 А.
Определить токи ветвей, предварительно преобразовав:
1)источник ЭДС с внутренним сопротивлением R1 в эквивалентный источник тока,
2)источник тока с внутренним сопротивлением R2 в эквивалентный источник ЭДС.
Решение. 1) После преобразования левой части схемы
где JÝ1 |
|
E |
|
20 |
10 A , дальнейшее |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
преобразование двух параллельных источников тока в один и использование формулы разброса позволяет определить ток I2, который после
преобразования остался неизменным.
I |
|
J |
|
|
R |
(J |
|
J ) |
R |
(10 30) |
2 |
8 A |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
Э |
R |
R |
|
Э1 |
R |
R |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Ток I1 найдем по первому закону Кирхгофа для исходной схемы: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I1 J I2 30 8 22 A . |
|
2) После преобразования правой части схемы ток I1 остался неизменным.
В |
одноконтурной |
схеме |
EÝ 2 J R2 |
Ток |
I2 найдем по |
первому |
закону |
I2 I1 J 22 30 8 A . |
|
30 3 90 B , |
I1 |
Кирхгофа для
|
E E |
||
1 |
Э 2 |
||
|
|||
|
R R |
||
|
1 |
2 |
исходной
22 A .
схемы:
Задача 3.2. Определить токи ветвей, применив метод узловых потенциалов. Параметры элементов: R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, Е1 = 20 В,
J = 6 А.
Решение. Схема электрической цепи содержит два узла (у=2), число уравнений по первому закону Кирхгофа кI=у-1=1.
Применим формулу двух узлов. Пусть 1
|
|
E |
J |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
R |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
19,2 |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
В. |
|
|||||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
R |
R |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи ветвей: |
I2 |
|
|
|
|
0 19,2 |
6,4 |
|||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
I |
2 1 E1 |
|
19,2 0 20 |
0,4 А. |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
А,
. Тогда
Задача 3.3. Определить токи в ветвях, применив метод узловых потенциалов. Параметры элементов: R1 = 100 Ом, R2 = 2 кОм, R3 = 500 Ом,
Е1 = 25 В, J2 = 125 мA.
Решение. Схема электрической цепи содержит два узла (у=2), число уравнений по первому закону Кирхгофа кI=у-1=1.
Применим формулу двух узлов. Пусть 2 |
0 |
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
E |
|
J2 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0,125 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
R |
R |
|
R |
|
|
100 |
500 |
2000 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Токи ветвей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
E |
|
0 30 25 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
А, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
30 |
|
0,015 |
А, I3 |
|
2 |
|
30 |
0,06 |
||||||||||||
I2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
500 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
А.
Задача 3.4. Определить показание вольтметра. Параметры элементов:
R1= 40 Ом, R2 = 200 Ом, R3 = 100 Ом, R4 = 50 Ом, R5 = 20 Ом, R6 = 100 Ом, Е1 = 220 В, Е2 = 100 В, Е3 = 120 В.
Решение. |
Решим задачу методом узловых потенциалов. Пусть 0 0 . |
||||||||||||||
Тогда для неизвестных узловых потенциалов |
a |
и b составим узловые |
|||||||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
1 |
|
1 |
|
1 |
) |
E1 |
|
E2 |
|
E3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
( |
1 |
|
1 |
|
1 |
) |
E |
|
E |
|
E |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
Подставим численные данные:
ab
( (
1
40 1
50
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
200 |
|
100 |
||
1 |
|
|
1 |
) |
|
|
|
||
20 |
|
100 |
) |
220 |
|
100 |
|||||
40 |
200 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
220 |
|
100 |
|
||||
50 |
20 |
|||||||
|
|
|
|
120
100
120 100
U |
V |
|
Решение
|
|
a |
b |
уравнений:
180 132,5
a 180 В, |
b 132,5 В. Показание вольтметра |
47,5 В. |
|
Задача 3.5. Найти токи методом узловых потенциалов. Параметры
элементов: R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 1 Ом, R4 = 2 Ом, R5 = 6 Ом, Е1 = 48 В,
Е2 = 10 В, Е3 = 40 В, J = 2 A.
Решение. Схема электрической цепи содержит четыре узла (у=4), число уравнений по первому закону Кирхгофа кI=у-1=3.
Пусть 4 0 . Тогда для неизвестных узловых потенциалов составим узловые уравнения:
G11 1 G12 2 G13 3 J1уG21 1 G22 2 G23 3 J2у
G31 1 G32 2 G33 3 J3у
Собственные проводимости узловых потенциалов:
1
,
|
2 |
|
и |
3 |
|
G11 |
|
1 |
|
1 |
, |
G22 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
, |
G11 |
|
1 |
|
1 |
. Взаимные проводимости |
|||||||||||||||||
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
13 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
E |
|
G12 G21 |
|
|
, |
G13 G31 0 |
, |
|
G23 G32 . |
|
Узловые |
токи |
|
1 |
J , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
J1 |
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
у |
|
E |
|
|
|
у |
|
E |
J . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
, |
|
2 |
|
После подстановки численных данных и совместного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
J2 |
R |
|
J3 |
R |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решения уравнений: 1 |
44 B , |
2 |
38 B |
и 3 |
8 B . Токи ветвей определяют |
||||||||||||||||||||||||||||||||
по обобщенному закону Ома или второму закону Кирхгофа: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
I1 |
|
|
|
|
E |
1 A , |
|
I2 |
|
|
E |
|
3 A |
, |
I3 |
|
|
|
|
|
E |
2 A , |
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
I4 |
|
|
|
3 A , |
I5 |
|
|
5 A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Использование теоремы компенсации позволяет привести исходную схему к схеме с двумя узлами. Замкнем ток источника J по ветвям с резисторами R4 и R5. Известное напряжение JR4 и JR5 по теореме компенсации можно заменить источниками напряжения (ЭДС) E4'= JR4 и E5'= JR5. Ведение эквивалентных ЭДС в 4-ой и 5-ой ветвях компенсирует влияние тока источника J и не изменит токи в 1-ой, 2-ой и 3-ей ветвях. После преобразования ток 4-ой ветви изменится и совпадет с током 1-ой ветви, ток 5-ой ветви будет противоположен выбранному направлению тока 2-ой ветви. Узлы 1 и 3 станут устранимыми. В преобразованной схеме два узла, три ветви.
Пусть |
|
4 |
0 |
. Тогда |
для неизвестного узлового потенциала |
2 |
составим |
|
|
|
|
|
|
узловое уравнение (формула двух узлов):
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
E1 E4 |
|
|
E5 |
|
. |
||||||
|
R4 |
|
R5 |
|
R1 R4 |
R3 |
|
|
|
||||||||||
R1 |
|
R3 |
R2 |
|
|
|
|
|
R5 R2 |
||||||||||
После |
подстановки |
|
численных |
данных |
2 |
38 B . Токи ветвей |
|||||||||||||
определяют по обобщенному закону Ома или второму закону Кирхгофа: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 A , |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
I 4 2 E1 E4 |
2 |
2 4 E2 E5 3 A |
|||||||||||||||||
1 |
|
R1 |
R4 |
|
|
|
|
|
R2 R5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
E |
2 A . Токи 4-ой и 5-ой |
|
4 |
|
2 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
закону Кирхгофа для исходной схемы: |
I4 |
ветви
I |
J |
1 |
|
можно
3 A , I5
найти
I |
2 |
|
|
|
по первому
J 5 A .