PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

лении коэффициентов. Уравнения становятся неэффективными для матриц большой размерности (при решении СЛАУ методом Гаусса или Зейделя – трудности с точки зрения точности решения).

Задача отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы R называется полной проблемой собственных значений. Решение полной проблемы собственных значений целесообразно для задачи исследования САР на уровне агрегата или электростанции (т.е. для схемы станция - шины), т.е. для тех задач, где надо анализировать все формы движения. В противном случае, для сложной ЭЭС при подробном моделировании генераторов и САР решение полной проблемы собственных значений бессмысленно, т.к. порядок матрицы R может достигать сотен и тысяч, и анализ такого количества форм движения невозможен.

В настоящее время разработан целый ряд методов, алгоритмов и программ расчета собственных значений и собственных векторов для решения полной проблемы собственных значений для матриц различного типа.

Первая группа методов – методы решения полной проблемы собственных значений состоят в том, что они за один итерационный цикл дают вычисления сразу всех собственных значений.

–для несимметричных матриц с действительными коэффициентами наиболее эффективным является QR-алгоритм

–для несимметричных матриц с комплексными коэффициентами наиболее эффективен LR-алгоритм.

Изучение QR и LR алгоритмов в настоящий курс не входят.

Вторая группа методов – методы решения частичной проблемы собственных значений. Так же как и предыдущие методы являются итерационными. Решение частичной проблемы собственных значений целесообразно для сложной ЭС. Однако, опыт эксплуатации и расчетов показывает, что нарушение устойчивости такой системы может происходить на одной, двух наиболее низких частотах (называемых доминирующими). Т.е. для оценки устойчивости и динамических (демпферных) свойств системы уравнения состояния приводят к такому виду, чтобы они определяли только электромеханические формы движения.

Суть методов решения частичной проблемы собственных значений состоит в том, что в каждом итерационном цикле вычисляется одно собственное значение и соответствующий ему собственный вектор. К этим методам относятся:

–степенной метод;

–степенной метод со сдвигом;

–метод обратных итераций;

–обобщенный метод и др.

81

Степенной метод

Это простейший итерационный метод вычисления наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора для произвольной квадратной вещественной матрицы A , не требующий раскрытия ее определителя.

Метод основан на основном уравнении линейной алгебры, которое связывает

A [n×n] – квадратная, вещественная матрица– собственное значение

X [n×1] – собственный вектор, который по определению X 0 (когда говорили, что А Е U 0 , только при U 0 det А Е 0 откуда находим

матрицы A )

Алгоритм степенного метода

1. Среди СЗ матрицы A есть одно, наибольшее по модулю. Для определенности предположим, что

1 2 3 ........ n , т.е. наибольшим по модулю является первое собст-

венное значение

Очевидно, что для действительной матрицы A наибольшее по модулю собственное значение 1 – действительной число. (Знаки возможны, т.к. наиболь-

шее по модулю собственное значение матрицы A может оказаться кратным).

Y, X – так обозначаем скалярное произведение (число).

82

В связи с этим сам степенной метод при решении задач не используется, но на его основе разработано множество эффективных методов, в частности, метод обратных итераций.

2. Если собственное значение 1, то норма собственного вектора при k X(k ) .

При использовании ЭВМ это ведет к переполнению разрядной сетки.

Если собственное значение 1, то при k норма собственного вектора X(k ) 0 , что приводит к исчезновению порядка вычисления

Во избежание этих ситуаций собственный вектор X(k ) нормируется на каждой итерации после вычисления собственного значения, т.е. новый собственный вектор:

В качестве нормы вектора используется:

по модулю компонента этого собственного вектора.

Таким образом, вычислительная схема степенного метода может быть записана с учетом нормирования собственного вектора на каждой итерации в следующем виде:

1.Ненормированный собственный вектор: Y A X(k 1)

X(k 1) , Y

2.Собственное значение (k ) X(k 1) , X(k 1)

3.Нормирование собственного вектора: X(k ) YY

4.Проверка точности вычисления собственного вектора и собственного значения: (k ) (k 1)

Пример. Найти собственные значения и собственные вектора матрицы A

чения и три собственных вектора)

84

1

X1(0) 0 – принимаем начальное приближение собственного вектора

0

85