PEVM_Chemba_konspekt_lektsy

В таком виде математическая модель сложной ЭЭС используется для расчета областей статической устойчивости методом D-разбиения и проверки устойчивости претендента по критерию Михайлова.

Расчет областей статической устойчивости методом D-разбиения для выбора настроечных параметров САР

Мнимая ось плоскости корней “р” = ( , j ) соответствует изменению отдо при значении коэффициента затухания 0 .

Отображение мнимой оси на плоскости настроечных коэффициентов САР, в частности АРВСД СМ, дает границу области D-разбиения – области статической устойчивости, т.е. области, совокупность настроек АРВСД которой обеспечивают статическую устойчивость ЭЭС.

Под настройкой АРВСД обычно понимается пара настроечных коэффициентов k1 и k2 по каналам системной стабилизации (регулирование осуществляется по производным, т.е. только при возмущении режима), например, по каналу отклонения частоты fuг и первой производной частоты вектора напряжения fuг на ши-

нах генератора k1 и k2 → k0 f и k1 f (АРВСД).

Граница D-разбиения (α=0) делит плоскость настроечных параметров на зоны, внутри каждой из которых число левых (а, следовательно, и правых) корней постоянно. В сложных ЭЭС может быть несколько зон, не имеющих общих границ с одинаковым количеством корней в правой полуплоскости.

Судя по штриховке можно выделить зону с наименьшим числом правых корней D(m) – претендент на область устойчивости. Претендент является областью

устойчивости, если m=0, т.е. корни в правой полуплоскости отсутствуют, что требует специальной проверки по алгебраическим или частотным критериям.

Таким образом, расчет области для выбора настроечных параметров САР требует применения метода D-разбиения и однократного применения какого-либо критерия для проверки претендента на устойчивость, в частности, критерия Михайлова в той формулировке, где надо находить точки годографа Михайлова.

33

Вычислительная сторона метода D-разбиения состоит в следующем: мы сформировали математическую модель ЭЭС для исследования статической устойчивости с учетом самораскачивания, которая содержит характеристический определитель D( p) , порядок которого

Для каждого конкретного задаваемого значения частоты ω определители D0 , D1 и D2 представляют собой комплексные числа:

D0 ( j ) Re0 () j Im0 ()

D1( j ) Re1() j Im1()

D2 ( j ) Re2 () j Im2 ()

Подставив полученные комплексные значения определителей в (1) и выделяя действительную и мнимую части получаем уравнение с комплексными коэффициентами:

D( j ) Re0 ( ) k1 Re1( ) k2 Re2 ( ) j Im0 ( ) k1 Im1( ) k2 Im2 ( ) 0

Но комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная ( Re ) и мнимая ( Im ) части. Тогда одно уравнение с комплексными коэффициентами распадается на два линейных алгебраических уравнения с действительными коэффициентами:

Решая эту систему относительно k1()и k2 () (по правилу Крамера) получим параметрические уравнения в виде:

Доказано, что главный определитель ∆ и миноры ∆1, ∆2 – нечетные функции от ω, а k1() и k2 () – как частные двух нечетных функций являются четными

34

функциями от ω, т.е. k1() k1() и k2 () k2 () . Отсюда понятно, что каждой точке границы D-разбиения соответствует пара корней pi,i 1 j i и что границы D-разбиения при изменении ω от до 0 и от 0 до + накладываются друг

на друга.

Штриховка границы D-разбиения. Из сказанного выше вытекает правило штриховки:

кривая D-разбиения штрихуется слева, если при обходе в сторону возрастающих ω от до главный определитель ∆ > 0, и справа, если ∆ < 0. Так

как при изменении знака ω и ∆ меняет знак, то при двукратном обходе кривой (отдо 0 и от 0 до + ) она оказывается два раза заштрихованной с одной и той же

стороны.

Итак, для каждого значения ωi , решая параметрические уравнения, рассчитывают пару настроечных коэффициентов. Этой паре коэффициентов соответствует одна точка границы D-разбиения. Однако, при расчете точки кривой D- разбиения возможны 3 случая:

1) 0 – главный определитель не равен 0, тогда для данного ωi существует конечная точка границы D-разбиения, а знак ∆ оп-

ределяет направление штриховки этой границы.

Далее, поскольку главный определитель ∆ при изменении ω меняет знак, то прохождение ∆ через нуль соответствует следующим двум случаям.

бесконечность, т.е. в этом случае для данного ω точка границы D-разбиения существует в бесконечности;

Итак, метод D-разбиения, применяемый для выбора настроечных коэффициентов САР, в нашем случае АРВСД, состоит в том, что для каждого значения ωi рассчитываются два коэффициента k1(i ) и k2 ( i ) . Этой паре коэффициентов со-

ответствует одна точка на плоскости настроечных параметров, а совокупность этих точек при изменении ωi (теоретически от до + , а на практике

нач кон ) дают кривую D-разбиения, в частности, при α=0 – границу области устойчивости.

степени устойчивости или кривой равного затухания. Обычно строится серия α-

ют границы областей устойчивости, внутри которых ближайшая к мнимой оси пара комплексно-сопряженных корней удалена от нее не меньше, чем на α.

Лекция №8

Алгоритмические особенности реализации метода D-разбиения

Итак, для построения границы D-разбиения для каждого значения ω требуется найти пару значений настроечных коэффициентов k1 и k2, которые входят в блоки A( p) и B( p) характеристического определителя порядка 2(n+k). Вычислить

значения определителя, в котором нет числовых значений искомых k1 и k2, а есть только буквенные – невозможно.

Именно поэтому характеристический определитель мы представляем в виде:

где искомые k1 и k2 вынесены за знак определителя. Каким образом это возможно сделать? Как найти значения определителей D0 ( j) , D1( j) , D2 ( j) ?

Комплексные значения этих определителей могут быть вычислены путем 3х кратного вычисления определителя D( j) для следующих соотношений k1 и k2:

шении просты и больших объемов вычисления не дают.

Итак, каков объем вычислений для получения границы D-разбиения? Помня, что k1() и k2 ( ) – четные функции ω, понимаем, кривая D-разбиения

при изменении ω от до 0 и от 0 до + проходит один и тот же путь. На практике для построения границы D-разбиения значение ω изменяют от 2 до 50

36

рад/с. При автоматическом выборе шага ∆ω оказывается, всего для построения этой границы приходится задавать 25 значений ω, т.е. определитель D( j) на-

до вычислить 25×3=75 раз + 25 раз решить параметрические уравнения.

Если положить, что в ЭЭС n=1000 узлов, а k = 50 генераторов, то получаем, что для расчета границы D-разбиения надо 75 раз вычислить комплексные значения определителя порядка 2(n+k) = 2100.

После того, как граница области D-разбиения построена, следует выбрать настроечные параметры АРВСД: k1 и k2 и проверить претендент на устойчивость. В данном случае удобнее всего использовать критерий Михайлова в той формулировке, что результирующее приращение фазы вектора годографа для устойчивой

уравнения системы. Современные алгоритмы требуют вычисления 2х-3х точек на квадрант. При этом расчет каждой точки – вычисление комплексного значения определителя, порядок которого 2(n+k). Эта формулировка использует характеристический определитель, в котором уравнения ПП в системе возбуждения и АРВ записаны в дробно-рациональной форме. Таким образом, если порядок характеристического уравнения, к примеру, l 10k , то для проверки претендента на устойчивость по критерию Михайлова требуется 2 3 10k раз вычислить опреде-

литель порядка 2(n+k), т.е. при n=1000 и k=50 требуется 1000 1500 раз вычис-

лить комплексные значения определителя порядка 2100.

Итак, основной объем расчетов статической устойчивости с учетом самораскачивания методом D-разбиения – вычисление комплексных значений определителей высоких порядков. Поскольку LH-факторизация – наиболее эффективный метод вычисления определителей, то повышать эффективность расчетов устойчивости остается только за счет понижения порядка характеристического определителя. Структурные особенности характеристического определителя позволяют это сделать.

Повышение эффективности расчетов статической устойчивости с учетом самораскачивания.

Действительно, блоки A( p),B( p) и C являются блочно-диагональными матрицами с бло- а заполненность блоков D 1 , D 2 ,

D 3 и D 4 отвечает заполненности матрицы узловых проводимостей.

Поскольку в расчетах устойчивости характеристический определитель рассчитыва-

ется многократно, для разных значений " p" " j ", а D i от " p" не зависят, то повы-

37

2) Объем вычислений можно заметно сократить, если воспользоваться для расчета элементов матрицы D алгоритм Гаусса, т.е. применив вычислительную схему, показанную на рисунке.

Итак, исключением сетевых узлов, к которым не подключены генераторы, порядок характеристического определителя понижен от 2(n+k) до 4k.

При этом в характеристическом определителе блоки A( p),B( p) и C не изменились, а блок

D стал полностью заполненным. Это та цена, которую приходится платить за выигрыш, связанный с понижением порядка характеристического определителя до 4k.

До сих пор мы, сформировав математическую модель для расчетов статической устойчивости с учетом самораскачивания, смотрели реализацию метода D-разбиения. Однако, возможен другой аспект рассмотрения колебательной статической устойчивости.

Лекция №9

Проверка колебательной устойчивости ЭЭС, заданной всеми параметрами, в том числе и настроечными.

В том случае, когда ЭЭС задана всеми параметрами и стоит вопрос только о том, устойчива ли она, ответ на этот вопрос требует:

1)выяснить, какой порядок будет иметь характеристическое уравнение для данной математической модели ЭЭС;

2)развернуть характеристический определитель в характеристическое уравнение;

3)на основе знания коэффициентов характеристического уравнения проверить колебательную устойчивость ЭЭС, используя критерии устойчивости.

1.Структура и объем вычислений, необходимых для определения порядка

характеристического уравнения.

а) Нерегулируемая системаЭЭС. В этом случае операторные блоки в характеристическом определителе, отвечающие уравнениям переходных процессов в генераторах, имеют структуру:

39