Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_mekhanike

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

xA = R cos ϕ; yA = R sin ϕ; zA = 0

Пример 1: Точка M на поверхности сферы: n = 1, k = 1.

Уравнение связи: x2 + y2 + z2 = R2

S = 3 · n − k = 2

Если за обобщенные координаты выбрать γ (широту) и ϕ (долготу), то имеем следующие уравнения:

xM = R cos ϕ cos γ; yM = R cos ϕ sin γ; zM = R sin γ
Если закон изменения обобщенных координат известен
q1 = q1(t); q2 = q2(t); ...; qs = qs(t),	(140)
то, подставив (140) в (139), можно найти траектории движения точек системы.

Уравнения (140) определяют траекторию некоторой точки в s-мерном пространстве. Пространство q1, q2, ..., qs называется конфигурационным пространством механической системы. Изучение движения механической системы можно свести к нахождению траектории изображающей точки в конфигурационном пространстве.

Рассмотрим точку M 0, положение которой определяется как

M 0(q1 + δq1, q2 + δq2, ..., qs + δqs)

δq1, δq2, ..., δqs — вариации обобщенных координат Положению точки M 0 соответствует радиус-вектор

~rη0 = ~rη0 (q1 + δq1, q2 + δq2, ..., qs + δqs, t); η = 1, 2, ..., n

При перемещении изображающей точки в точку 0 (в конфигурационном пространстве) точка с массой mη механической системы совершает перемещение

δ~rη = ~rη0 − ~rη = ~rη0 (q1 + δq1, q2 + δq2, ..., qs + δqs, t) − ~rη (q1, q2, ..., qs, t)
Разложим это выражение в ряд Тейлора:
δ~rη = ~rη(q1, q2, ..., qs, t) +	∂~rη	δq1 +	∂~rη	δq2 + ... +			∂~rη	δqs − ~rη(q1, q2, ..., qs	, t),

	∂q1		∂q2				∂qs
или			X		∂~rη
			X
			s
		δ~rη =				δqi			(141)
		δ~rη =			∂qi	δqi			(141)
			i=1		∂qi
			i=1

Выражение (141) устанавливает связь между возможными перемещениями точек механической системы и вариациями обобщенных координат.

Вычислим элементарную работу активных сил на возможном перемещении, определяемом выражением (141) :

∂~rη

n ~

∂~rη

X X

δA = η=1 Fη · δ~rη = η=1 Fη · i=1

∂qi

δqi = i=1 η=1 Fη ·

∂qi

δqi

или

δA =

Qiδqi,

(142)

i=1

где

∂~rη

∂xη

∂yη

Qi =

Fη ·

Fηx

+ Fηy

(143)

η=1

∂qi

η=1

∂qi

называется обобщенной силой; Fηx, Fηy, Fηy — проекции вектора Fη на оси координат, а xη, xη , zη — координаты точки с массой mη

Определение. Обобщенной силой называется коэффициент перед вариацией обобщенной координаты в выражении для сумм элементарных работ всех активных сил.

Если использовать понятие мощности

		n			s
		X	~ ~ E	=	X	E	(144)
		N = Fη · Vη		=		Qiq˙i	(144)
		η=1			i=1
где q˙E =	dqiE	— возможная обобщенная скорость, то обобщенную силу можно определить так:
где q˙E =	dt
i	dt

Определение. Обобщенной силой называется коэффициент перед возможной обобщенной скоростью в выражении для суммы мощностей всех активных сил.

Размерность обобщенной силы:

[Q] = [F ][r] = Hm (согласно выражению (143))
q	[q]

Пример 1

Пусть обобщенная координата — декартова координата точки. [q] = m, следовательно, [Q] = Hmm = H(размерность силы)

Пример 2

Пусть обобщенная координата — угол.

[q] = rad, следовательно, [Q] = Hmrad = (размерность момента).

48 Тождества Лагранжа

Вывод вспомогательных тождеств Лагранжа :

Найдем скорость точки с массой mη. Для этого продифференцируем по времени уравнение

~rη = ~rη(q1, q2, ..., qs, t),

где η=1,2,3,...,n (см. Обобщённые координаты механической системы, с. 57)

или

~	∂~rη dq1
Vη =
	∂q1 dt

наконец

d~rη

Vη

~rη(q1, q2, ..., qs, t)

∂~rη

dq2

∂~rη dqs

∂~rη

+ ... +

q˙i +

∂q2

∂qs

∂t

i=1

∂qi

∂t

∂~rη

Vη =

q˙i +

i=1

∂qi

∂t

где q˙i = dqdti — обобщённая скорость

~ ~

Vη = Vη (qi, q˙i, t)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

Таким образом, скорость точки является функцией обобщенных координат, скоростей и времени.

Ускорение точки с массой mη.

dqs

dq˙2

~aη =

dVη

∂Vη dq1

∂Vη dq2

+ ... +

∂Vη

∂Vη dq˙1

∂Vη

+ ... +

∂Vη dq˙s

∂Vη

(150)

∂q1 dt

∂q2 dt

∂qs

∂q˙1

∂q˙2

∂q˙s dt

∂t

или

∂Vη

~aη =

q˙i +

q¨i +

(151)

i=1

∂qi

i=1

∂q˙i

∂t

Дифференцируя по времени выражение (148), получаем:

dVη

∂~rη

∂~rη dq˙i

∂~rη

~aη =

= i=1 "

! q˙i +

∂qi

∂qi dt

∂t

или

dVη

∂~rη

~aη =

= i=1

! q˙i + i=1

q¨i

∂qi

∂t

Сравнивая выражения (151) и (153), получим

∂~rη

∂Vη

∂qi

∂~rη

∂Vη

∂qi

∂q˙i

∂~r

∂V

∂t

Выражения (154), (155) и (156) называются тождествами Лагранжа

(152)

(153)

(154)

(155)

(156)

49 Уравнения Лагранжа

Чтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики

X δAka + X δAku = 0

(157)

Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными. Поэтому в первую сумму могут входить как работы активных сил, так и, например, работы сил трения.

Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами

q1, q2, ...qs. Тогда	X δAk = Q1δq1 + Q2δq2 + ... + Qsδqs.
			(158)
Очевидно следующее преобразование
	X δAku = Q1uδq1 + Q2uδq2 + ... + Qsuδqs,		(159)
где Qu, Qu, ..., Qu — обобщённые силы инерции, которые равны
1 2	s
	Qiu = X F~ku	∂~rk	(160)

		∂qi

Подставляя величины (158) и (159) в уравнение (157), найдем

(Q1 + Qu1 )δq1 + ... + (Qs + Qus )δqs = 0.

Так как все δq1, δq2, ..., δqs между собой независимы, то полученное равенство может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при δq1, δq2, ..., δqs в отдельности равен нулю. Следовательно, должно быть

(Q1 + Q1u) = 0, ..., (Qs + Qsu) = 0.

(161)

Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики. Преобразуем сначала соответствующим образом величину Qu1 . Поскольку сила инерции любой из точек системы

~ u		~
			dVk
Fk	= −mk~ak = −mk
				dt
то первая из формул (160) дает
− Q1u = X		~
		mkdVk ∂~rk
					.	(162)
		dt	∂q1

Чтобы выразить Qu1 через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (162) так, чтобы она содержала только скорости Vk точек системы. С этой целью заметим

прежде всего, что

ÃV~k

! .

∂~rk

− V~k

(163)

∂q1

Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:

∂~rk		~		d ∂~rk	~
	=	∂Vk	,		=	dVk	.	(164)

∂q1				dt ∂q1
		∂q˙1				dq1

Докажем сначала справедливость первого из них. Так как согласно

	~rk = ~rk(q1, q2, ..., qs),
то		d~rk		∂~rk				∂~rk
~
Vk =			=			q˙1	+ ... +		q˙s
		dq1			∂q1			∂qs

∂Vk = ∂~rk . ∂q˙1 ∂q1

Справедливость второго из равенств (164) следует из того, что операции полного дифференцирования по t и частного по q1 переместимы, т.е.

∂~rk

∂

d~rk

dVk

dt ∂q1

∂q1

dq1

Подставив теперь величины (164) в (163), получим

dV~k ∂~rk

V~k

∂V~k

V~k

∂V~k

1 ∂V~k2

dt ∂q1

∂q˙1

∂q1

2 ∂q˙1

−

− 2 ∂q1

~ 2

и формула (162), если учесть, что сумма производных равна производной от суммы, а Vk

= Vk

примет вид

ÃX

2 k

!# − ∂q1 ÃX

2 k ! = dt ∂q˙1 − ∂q1 ,

Q1u = dt " ∂q˙1

∂

mkV 2

∂

mkV 2

∂T ∂T

где T =

mkVk2/2 — кинетическая энергия системы.

Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции. В результате равенства (161) дадут окончательно

Ã!

d ∂T	−	∂T	= Q1,

dt ∂q˙1		∂q1

Ã!


d		∂T		−	∂T	= Q2,

dt ∂q˙2					∂q2
dt	Ã	................				= Qs.
		∂q˙s	!	− ∂qs
d		∂T			∂T

Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода.

50 Теория удара

50.1 Определения

Определение. Явление, при котором скорости точек тела за малый промежуток времени меняются на конечную величину, называется ударом. Ударный импульс

S~уд = Z	F~удdt = F~удсрτ	(165)
0

отличается от импульса неударных сил тем, что время удара τ мало, ударные силы Fуд Sуд принимает конечное значение. Поэтому изучая удар будем пренебрегать

•неударными силами по сравнению с ударными,

•перемещениями точек тела во время удара.

Теорема об изменении количества движения (с. 38) в случае удара имеет вид

~ ~ X ~e Q1 − Q0 = Sk

Интегрируя теорему об изменении момента (относительно точки A) количества движения

~		X
dKA		X	~
	=		m~A(Fk),
dt	=	k	m~A(Fk),
		k

в случае удара, получим с учетом (165)

велики, а

(166)

~ 1 ~ 0 ~e

KA − KA = m~A(Sk) (167)

50.2 Удар материальной точки о поверхность

С некоторой высоты H точка массой m падает на поверхность и отскакивает на высоту h (рис. 89).

H	~v	~u
h	?	6
	?
Рис. 89		Рис. 90

Скорость точки при ударе о поверхность v, при отскоке от поверхности u (рис. 90). Очевидно, u < v.

Определение. Отношение скоростей

k = uv

называют коэффициентом восстановления при ударе. Его можно найти экспериментально. Согласно формуле Галилея, v = √2gH, u = √2gh. Отсюда k = qh/H. Коэффициент восстановления меняется в пределах 0 ≤ k ≤ 1.

50.3 Косой удар

Решим задачу. Материальная точка падает со скоростью v на гладкую плоскость под углом α. Под каким углом β (рис. 91) отскочит точка от поверхности, если коэффициент восстановления равен k?

Для решения задачи запишем закон изменения количества движения точки в проекции на плоскость (ось x). Так как плоскость гладкая, горизонтальных сил и их импульсов нет. Закон изменения здесь имеет форму закона сохранения

Так как ux = u sin β, vx = v sin α, то

~v	~u
R	~u
	µ
	α β

mux − mvx = 0	(168)
u sin β = v sin α	(169)

Модули нормальных проекций скоростей связаны коэффициентом восстановления

k = (u cos β)/(v cos α)

(170)

Из (169) и (170) следует

tg β = (1/k) tg α

(171)

Рис. 91

При k = 0 получим β = π/2, т.е. точка покатится по поверхности (мяч, брошенный в песок).

50.4 Центр удара

Твердое тело массой M вращается на оси, закрепленной на в подшипниках A и B. Подшипник A имеет подпятник, создающий реакцию, направленную вдоль оси. Определим, чему равны импульсивные реакции A и B при ударе. Выберем оси координат так, что центр масс C тела находился в плоскости Ayz. При ударе возникнет пять импульсивных реакций: три в опоре A и две в опоре B (рис. 92).

Обозначим: a — расстояние центра масс от оси, AB = b — расстояние между подшипниками, ω

— угловая скорость тела до удара, Ω — угловая скорость после удара.

z		z
6	~	6
	~
B	SBy	B
B	-	B
~	µ~vc
SBxª	µ~vc
a		a
C		C

ω	I		ω	I	K	-y
	I		O	I	K	-y
	~ µ		O	~	µ
	~ µ			~	µ
	S			S
			xª
~	6
SAz
A	~	y	A
A	SAy	y	A
	- -

SAxª

xª

Рис. 92

Рис. 93

а из (177) имеем

Запишем уравнения (166), (167) в проекциях на оси координат. Так как проекции кинетического

момента имеют вид Kx = −Jxz ω, Ky = −Jyz ω, Kz = Jz ω, то получим
− M a(Ω − ω) = SAx + SBx + Sx,	(172)
0 = SAy + SBy + Sy,	(173)
0 = SAz + Sz ,	(174)
~	(175)
−Jxz (Ω − ω) = −SByb + mx(S),	(175)
~	(176)
−Jyz (Ω − ω) = SBxb + my(S).	(176)
~	(177)
Jz (Ω − ω) = mz (S).	(177)

Составление правых частей (172–177) аналогично составлению уравнений равновесия пространственной статики, только вместо сил здесь берутся их импульсы. Шесть неизвестных системы (172– 177): SAx, SAy, SAz , SBx, SBy и разность угловых скоростей (Ω − ω).

Найдем условия, при которых не возникают импульсные (ударные) реакции шарниров. Известно, что в механических устройствах ударные реакции способствуют износу и могут привести к разрушению.

Положим в (172–177): ~A , ~B . Из (173) и (174) сразу же получим, что вектор внешнего

S = 0 S = 0

		~
ударного импульса S должен лежать в плоскости, параллельной xAy: Sy = 0, Sz = 0. Заметим, что
~	~
при SA = 0, SB = 0 вид системы (172–177) не зависит от выбора начала координат. Перенесем начало
координат по оси z		~	~
координат по оси z		так, чтобы импульс S	лежал в плоскости xOy (рис. 93). Так как mx(S) = 0,

y ~ , то из (175) и (176) следует, что центробежные моменты инерции тела относительно новых m (S) = 0

осей равны нулю: Jxz = 0, Jyz = 0. Это возможно для тел, обладающих плоскостью симметрии xOy. Из (172) при Sx = −S следует

M a(Ω − ω) = S,

Jz (Ω − ω) = Sh,

где обозначено h = OK. Из последних двух уравнений сразу же получим h = MJza.

На таком расстоянии от оси вращения должен быть приложен ударный импульс, не вызывающий ударных реакций.

Список литературы

[1]Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.Т.2. — М.: Наука, 1984.

[2]Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р., Курс теоретической механики. — СПб.:Лань, 1998.

[3]Вильке В.Г. Теоретическая механика. — М.: Изд-во МГУ, 1998.

[4]Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[5]Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/ Под ред. А. И. Кириллова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

[6]Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ. — М.: Высшая школа, 1986.

[7]Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Динамика. — Киев: Выща шк., 1990.

[8]Розенблат Г.М. Механика в задачах и решениях. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 160 c.

[9]Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн. вузов / Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др.; Под ред. А.А.Яблонского.— 3-е изд — М.:Высшая школа, 1972.

[10]Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1998.

[11]Федута А.А., Чигарев А.В., Чигарев Ю.В. Теоретическая механика и методы математики. — Мн.: УП "Технопринт", 2000.

Предметный указатель

АТТ, 2 Абсолютно твердое тело, 2

Аксиомы статики, 3 Динама, 17

Эквивалентные системы сил, 2 Главный

момент, 8 вектор, 8

Коэффициент трения качения, 16 Кулон Ш., 15 Материальная точка, 2 Момент

трения качения, 16 Момент трения качения, 16 Пара сил, 9 Параметр винта, 17 Равнодействующая, 2 Реакции связей, 4, 12 Сила, 2

реакции связи, 12 Система сил

параллельных, 12, 14 плоская, 12 сходящихся, 12, 13 винт, 12

Статический инвариант первый, 11 второй, 11

Шаг винта, 17 Шарнир

цилиндрический, 12 сферический, 13

Теорема Вариньона, 13

оприведении к силе и паре, 9

оприведении к двум силам, 4

опроекциях векторов моментов, 7

об эквивалентности нулю системы сил, 10 об эквивалентности системы сил, 10

Трение качения, 15

скольжения, 15 Уравнение

центральной оси, 17 Вариньон, 13 Винт, 17

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2016475.19 Кб9Lektsia_3.pdf
#
31.03.2015773.63 Кб46Lektsii.doc
#
31.03.20151.8 Mб8Lektsii_EKONOMIKA_NVIE.pdf
#
31.03.20151.95 Mб12lektsii_EMS.pdf
#
25.08.2019726.02 Кб7Lektsii_po_KG_rulez.doc
#
31.03.20151.16 Mб10Lektsii_po_mekhanike.pdf
#
31.03.2015711.68 Кб210Lektsii_po_osnovam_teorii_kommunikatsii.doc
#
31.03.20151.08 Mб20lektsii_sopromat_1-5.pdf
#
31.03.20151.44 Mб31lektsii_sopromat_11-17.pdf
#
31.03.20151.11 Mб13lektsii_sopromat_6-10.pdf
#
31.03.2015741.38 Кб203Lektsii_TP.doc