Lektsii_po_mekhanike

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

IOz = X mk(yk2 + xk2 ), IOz0 = X mk(y0k2 + x0k2 ).

Но, как видно из рисунка, для любой точки тела xk = xk − d

−22x kd, а yk = yk.

Подставляем эти значения xk, yk в выражение для Ioz и вынося общие множители d

и 2d за скобки,

IOz = X mk(y0k2 + x0k2 ) + (X mk)d2 − 2d X mkx0k.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Рис. 74

ν=1 mν ~rνA

— центр масс в системе Ax

~rO

Pmν ~rνO

— центр масс в системе Ox y z .

ν=1

~rν

= ~rν

~rO

−n

mν~rA

−

~rO n

mν = ~rA

−

~rO

ν=1

Таким

образом,

~rc

= ~rc P

, т.е., радиус-вектор центра масс в другой системе координат отличается

−

только на радиус-вектор начала координат этой системы.

32Количество движения системы материальных точек как функция скорости центра масс

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек с массами m1, m2, ..., mn. Положение точки mν определяется радиус-вектором r~ν в некоторой системе координат. Количество движения системы определяется как

~	n	~	n	n	d~rν d			n
	X		X	X				X
Q = Qν = mν v~ν = mν					dt	=	dt	mν r~ν
	ν=1		ν=1	ν=1				ν=1

Но по определению центра масс системы материальных точек

mν r~ν = m~rc

ν=1

Следовательно, выражение для количества движения системы можно переписать в виде:

~ d dr~ν Q = dtmr~ν = m dt

И окончательно имеем выражение

Q = mv~c

(101)

(102)

(103)

(104)

Количество движения системы материальных точек (механической системы) равно произведению массы всей системы на вектор скорости центра масс.

33 Теорема о движении центра масс механической системы

Центр масс механической системы движется, как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на точки системы:

dv~c	~e
m dt = R		(105)

Здесь m — масса всей системы, v~c — скорость центра масс механической системы,

~e Pn ~e

R = ν=1 Fν — главный вектор внешних сил.

В проекциях на оси системы координат выражение (105) можно записать так:

mdvdtcx = Rxe ; mdvdtcy = Rye ; mdvdtcz = Rze.

Здесь vcx, vcy, vcz , — проекции скорости центра масс, а Rxe , Rye , Rze, - проекции главного вектора внешних сил на координатные оси.

Замечание 33.1 По теореме об изменении количества движения механической системы имеем

~	~e		d			~e
dQ	~e		d			~e
	= R	или		(mv~c) = R
dt	= R	или	dt	(mv~c) = R
					dv~c ~e
следовательно, m					dt	= R	что и требовалось доказать.

Доказательство 33.1 Если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Доказательство 33.2 Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, на какую либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось остается постоянной.

34Момент количества движения механической системы (кинетический момент)

Рис. 75 Определение. Моментом количества движения (кинетическим моментом) материальной точки

относительно некоторой точки O называется векторное произведение радиуса-вектора на вектор количества движения этой точки:

× mν v~ν ]

KOν

= r~ν × Qν = r~ν

Определение. Моментом количества движения (кинетическим моментом) системы материальных

точек (механической системы) относительно некоторой точки O называется сумма кинетических

моментов всех точек системы относительно этой точки:

KO =

ν=1 KOν =

ν=1 r~ν × mν v~ν

Проекции кинетического момента на оси координат

Так как r~ν

= vxν ~x + vyν ~y + vzν~,

= xν i + yν j + zν k и v~ν

ν P

то KO =

ν=1 mν r~ν × v~ν

−

KO =

=1 mν [(yν vzν

zν vyν )i + (zν vxν

xν vzν )j + (xν vyν

yν vxν )k]

Поэтому

KOx = ν=1 mν (yν vzν − zν vyν )
n
X	(106)
KOy = ν=1 mν (zν vxν − xν vzν )	(106)
n
X
n
KOz = mν (xν vyν − yν vxν )
ν=1
X

Выражения (106) определяют проекции вектора кинетического момента на оси координат.

35Момент количества движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рис. 76 Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем:

r~ = x ~i + y ~j + z ~k и

ν ν ν		ν
v~ν = [ω,~ r~ν ] =		xν ω
		−yν ω

Тогда проекции вектора кинетического момента на оси координат будут иметь вид:

В выражениях

Oz; Ixz = Pn

ν=1

					KOx = −ω ν=1 mν xν zν = −ωIzx
							n
						nX
					KOx = −ω		mν yν zν = −ωIzy	(107)
							ν=1
						X
					KOz = ω mν (xν2 + yν2) = ωIz
						ν=1
(107) Iz =		n			2	2
(107) Iz =		ν=1 mν (xν				+ yν ) называется моментом инерции твердого тела вокруг оси
mν xν zν и Iyz		=	P	n	mν yν zν — центробежные моменты инерции.
				n
				ν=1
	P			ν=1

36Теорема об изменении кинетического момента относительно произвольной точки

Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки, справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой mk, имеющую скорость vk, то для нее будет

d	~	~ ~e	~ ~i

dt	[MO(mkv~k)] = MOFk		+ MOFk	,

— равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

где Fk

, Fk

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим

~ ~e

~ ~i

[

MO(mkv~k)] =

MOFk

k=1

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда, учитывая равенство

n
K~O = Pk=1 M~O(mkv~k) найдем окончательно			n
	d	~	X	~ ~e
		KO =		MOFk
	dt		k=1
			k=1

Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Oxyz, получим:

		n				n				n
d		X		d		X		d		X
	KOx =		MOxFkxe ,		KOy =		MOyFkye ,		KOz =	MOz Fkze
dt		k=1		dt		k=1		dt		k=1
		k=1				k=1				k=1

Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

37 Принцип Даламбера

Рассмотрим движущуюся материальную точку. На точку кроме приложенной активной силы могут действовать реакции связи

	~ (a)
	F	µ
	~a		~
	~a	-	R
m		-	-
						~ (a)	~	(108)
				m~a = F			+ N	(108)
	~ R			~ (a)		~
	~ R			F	+ N + (−m~a) = 0			(109)
	N				~			(110)
					Φ = −m~a			(110)
Формулой (110) определяется сила инерции(Даламберова сила)
				~ (a)		~	~	(111)
				F		+ N + Φ = 0		(111)

Из формулы (111) следует принцип Даламбера для одной материальной точки:

•активные силы, реакции связи и силы инерции образуют уравновешенную систему или систему сил эквивалентную нулю.

Используя формулу (111) мы сможем свести задачу динамики к задаче элементарной статики.

38 Принцип Даламбера для системы материальных точек

Рассмотрим произвольную систему n материальных точек к которым приложены активные (известные) силы и на которые наложены произвольные связи.

z 6	~	O	~av
	Fv	O	~av
			µ
	mv
		*	z	~
O		~rv	-	Nv
ª			y
ª
x

Рис. 77 На основании аксиомы о связях освободим систему от связей и заменим их действие реакциями.

Уравнения движения будут иметь вид:

	~ (a)			~			~	= 0
	F1			+ N1		+ Φ1		= 0
	~ (a)			~			~	= 0
	F2			+ N2		+ Φ2		= 0
		........................
	~ (a)			~			~
	Fn			+ Nn		+ Φn = 0
n				n				n
X	~	(a)		X	~		X		~	= 0
	Fi		+ Ni +						Φi	= 0
i=1				i=1			i=1
Из (112) получаем:	~			~ (N )			~ (инерц)
	~	(a)		~ (N )			~ (инерц)
	R		+ R				+ R

R(a) — главный вектор активных сил;

R(N ) — главный вектор сил реакций связей;

R(инерц) — главный вектор даламберовых сил инерции.

Из (113) следует принцип Даламбера для системы материальных точек:

(112)

(113)

•Сумма главных векторов активных сил, реакций связи и сил инерции равна нулю, т.е. активные силы и реакции связи и силы инерции образуют уравновешенную систему сил.

39Главный вектор и главный момент даламберовых сил инерции

Так как главный вектор даламберовых сил инерции равен

(инерц)

dVv

= −

mv~av = −

= −

(114)

v=1

~ (инерц)

, т.е главный вектор даламберовых сил инерции

здесь Q =

v=1 mv~vv. Таким образом, R

= − dt

равен

производной по времени от вектора количества движения системы материальных точек, взятый

с обратным знаком.

Вектор количества движения системы материальных точек как функция скорости центра масс

~
имеет вид: Q = m~vc. Поэтому		d~vc
~ (ин)		d~vc
R	= −m		(115)
R	= −m	dt	(115)

•Главный вектор сил инерции системы материальных точек равен силе инерции центра масс системы в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы

Главный момент относительно точки О даламберовых сил инерции системы материальных точек имеет вид:

(a)

~ (N )

~ (инерц)

(116)

= L0

+ L0

или

~ (a)

~ (N )

(инерц)

= 0

(117)

~rvFv

~rv Nv

~rvΦv

v=1

Где момент инерции имеет вид:

L~ (инерц) =

~r Φ~

d~vv

~rv × mv~vv

−

v=1

v ×

v dt

В последнем выражении векторное произведение

d~rv

× mv~vv равно нулю, а

количества системы относительно точки . Поэтому

~ (инерц)

dK0

= −

+ X d~rdtv × mv~vv

P ~rvmv × ~vv — момент

(118)

•главный момент даламберовых сил инерции системы материальных точек относительно точки равен производной по времени от вектора кинетического момента этой системы относительно точки с противоположным знаком.

40 Оси Кенига

Рассмотрим систему материальных точек с массами mv и координатами xv, yv , zv в неподвижной системе координат Ox*y*z*.

z*6	z
	6

	ª	y
	ª
	x
O	*	- y*
ª	*
x

Рис. 78 Координаты центра масс этой системы определяются равенствами:

xc =	P mv	; yc =	P mv	; zc =	P mv	(119)
	mvxv		mvyv		mvzv
	P		P		P

Если в центре масс построить систему осей Cxyz, которые параллельны осям Ox*y*z* и перемещаются поступательно относительно этих (неподвижных) осей, то такая система осей будет называться осями Кенига.

41Кинетический момент абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки

Разобьем тело на n материальных точек с массами mν

Рис. 79 По определению кинетического момента:

KO =

KOν

r~ν × mν Vν

(120)

ν=1

Скорость любой точки тела выражается как:

Vν = VO + ω~ × r~ν , где VO = 0

С учетом последнего

KO =

r~ν × mν ω~ × r~ν =

mν (ω~(r~ν · r~ν ) − r~ν r~ν · ω~)

ν=1

Запишем векторы из предыдущего выражения как функции их проекций на оси координат:

KO = KOxi + KOyj + KOz k; r~ν = xν i + yν j + zν k; ω~ = ωxi + ωyj + ωz k

Учтем, что r~ν · r~ν = xν2 + yν2 + zν2;

r~ν · ω~ = xν ωx + yν ωy + zν ωz

Тогда выражение примет вид:

+ yν ωy + zν ωz )}

KO =

mν {(ωxi + ωyj + ωz k)(xν

+ yν + zν ) − (xν i + yν j + zν k)(xν ωx

ν=1

Для проекций вектора кинетического момента получаем выражения:

KOx = mν {ωxx2ν + ωxyν2 + ωxzν2 − x2ν ωx − xν yν ωy − xν zν ωz }

ν=1

KOy = mν {ωy x2ν + ωyyν2 + ωyzν2 − xν yν ωx − yν2ωy − yν zν ωz }

ν=1

KOz = mν {ωz x2ν + ωz yν2 + ωz zν2 − zν xν ωx − yν zν ωy − zν2ωz }

ν=1

Поскольку не зависят от выбора точки на теле, то предыдущие выражения можно переписать в виде:

n		n	n
X		X	X
KOx = [ mν (yν2 + zν2)]ωx − [ mν xν yν ]ωy − [				mν xν zν ]ωz
ν=1		ν=1	ν=1
n	n		n
X	X		X
KOy = −[	mν yν xν ]ωx + [	mν (zν2 + xν2 )]ωy − [		mν yν zν ]ωz
ν=1	ν=1		ν=1
n	n		n
X	X		X
KOz = −[	mν zν xν ]ωx − [	mν zν yν ]ωx + [	mν (xν2 + yν2)]ωz
ν=1	ν=1		ν=1

Введем обозначения:

	n
	X
Ixx =	mν (yν2 + zν2)
	ν=1
	n
	X
Iyy =	mν (xν2 + zν2)
	ν=1
	n
	X
Izz =	mν (xν2 + yν2)
	ν=1

	n
Ixy =	X
Ixy =	mν xν yν
	ν=1
	n
	X
Iyz =	mν yν zν
	ν=1
	n
	X
Izx =	mν zν xν
	ν=1
Получим:
KOx = Ixxωx − Ixyωy − Ixz ωz

KOy = Ixyωx − Iyyωy − Iyz ωz

KOz = Ixz ωx − Izyωy − Izz ωz

Кинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точки равен произведению тензора инерции на угловую скорость тела.

42 Моменты инерции абсолютно твердого тела

42.1Определения

Разделим мысленно твердое тело на n частей с массами mν и радиусами-векторами r~ν .

	~	~	~
Если xν , yν , zν — координаты точки с массой, то ~rν = vν i + yν j + zν + k.
Радиус-вектор центра масс полученной системы определяется по формулам
	n
	X
~rc =	mν~rν .		(121)

ν=1

Выражения для осевых моментов инерции твердого тела имеют вид:

	n
	X
Ixx =	mν (yν2 + zν2),
	ν=1
	n
	X
Iyy =	mν (x2	+ z2),	(122)
	ν	ν
	ν=1
	n
	X
Izz =	mν (xν2 + yν2).

ν=1

Выражения для центробежных моментов инерции твердого тела имеют вид:

Ixy =	mν xν yν ,
	ν=1
	n
Iyz =	X
Iyz =	mν yν zν ,	(123)

ν=1

Izx = mν zν xν .

ν=1

При увеличении числа n и стремлении mν к нулю выражения (122) и (123) принимают вид:

Z Z Z

Ixx = (y2 + z2)dm,

Z Z Z

Iyy = (y2 + z2)dm,

Z Z Z

Izz = (z2 + x2)dm,

V
Ixy = Z Z Z	xydm,
V
Iyz = Z Z Z	yzdm,
V
Izx = Z Z Z	zxdm.
V

Обозначим через γ плотность тела в точке x, y, z, тогда dm = γ(x, y, z)dV , где dV — элементарный объем. C учетом этого выражения для моментов инерции примут вид:

Z Z Z

Ixx = (y2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,

V
Iyy = Z Z Z (x2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,		(124)
V
Izz = Z Z Z (x2 + y2)γ(x, y, z)dxdydz,
V
Ixy = Z Z Z	xyγ(x, y, z)dxdydz,
V
Iyz = Z Z Z	yzγ(x, y, z)dxdydz,	(125)
V
Izx = Z Z Z	zxγ(x, y, z) dxdydz.

Если тело — однородное, то выражения (124), (125), являющиеся компонентами тензора инерции тела, примут вид:

Z Z Z

Ixx = γ (y2 + z2)dxdydz,

Z Z Z

Iyy = γ (x2 + z2)dxdydz,

Z Z Z

Izz = γ (x2 + y2)dxdydz,

V
Ixy = γ Z Z Z	xydxdydz,
V

Iyz = γ Z Z Z	yzdxdydz,
V
Izx = γ Z Z Z	zxdxdydz.
V

42.2 Свойства тензора инерции

Диагональные элементы матрицы I (осевые моменты инерции) строго положительны:

Ixx ≥ 0, Iyy ≥ 0, Izz ≥ 0.

Осевые моменты инерции любого твердого тела удовлетворяют следующим неравенствам:

Ixx + Iyy ≥ Izz , Izz + Iyy ≥ Ixx, Ixx + Izz ≥ Iyy.

42.3 Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюй-

генса

z0 z 6

C- y0

O		- y

x0

xª

Рис. 80 Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. По-

кажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

Проведем через центр масс тела произвольные оси x0y0z0, а через любую точку на оси Cx0 — оси Oxyz, такие, что Oy||Cy0, Oz||Cz0 (рис. 80). Расстояние OC между осями и обозначим через d. Тогда по формулам (122) будет

В правой части равенства, согласно (126), первая сумма равна Icz0 , а вторая — массе тела . Найдем значение третьей суммы.

На основании формул (121) для координат центра масс P mkx0k = M x0c. Так как в нашем случае точка является началом координат, то x0c = 0 и, следовательно, P mkx0k = 0. окончательно получаем

IOz = IOz0 + M d2.

(128)

Формула выражает теорему Гюйгенса:

Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2016475.19 Кб9Lektsia_3.pdf
#
31.03.2015773.63 Кб46Lektsii.doc
#
31.03.20151.8 Mб8Lektsii_EKONOMIKA_NVIE.pdf
#
31.03.20151.95 Mб12lektsii_EMS.pdf
#
25.08.2019726.02 Кб7Lektsii_po_KG_rulez.doc
#
31.03.20151.16 Mб10Lektsii_po_mekhanike.pdf
#
31.03.2015711.68 Кб210Lektsii_po_osnovam_teorii_kommunikatsii.doc
#
31.03.20151.08 Mб20lektsii_sopromat_1-5.pdf
#
31.03.20151.44 Mб31lektsii_sopromat_11-17.pdf
#
31.03.20151.11 Mб13lektsii_sopromat_6-10.pdf
#
31.03.2015741.38 Кб203Lektsii_TP.doc