![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
5. Бесконечно малые функции и их свойства
Определение
3.
Функция
называетсябесконечно
малой функцией в точке
или функцией класса
,
если
При этом пишут
Таким образом,
Например,
функция
а функции
не являются функциями класса
Теорема
3.
Имеют место следующие свойства класса
Если
то
т.е.
Доказательство.
Свойство
очевидно. Докажем свойство
(другие
свойства доказываются аналогично).
Пусть
и
Тогда для произвольного
существуют числа
такие, что
Выберем
Тогда
будут иметь место одновременно неравенства
(2) и (3). Складывая их, получим, что
Это и означает, что
т.е. верно свойство
.
Теорема доказана.
Следующая
теорема устанавливает связь между
бесконечно малыми функциями и функциями,
имеющими предел при
Теорема 4.
Если существует (конечный) предел
то
Обратно: если функция
представляется в виде
то
имеет предел в точке
и
Доказательство.
Существование предела
эквивалентно высказыванию
Высказывание
(4), в свою очередь, эквивалентно тому,
что функция
т. е. что
Теорема доказана.
Замечание
2.
Равенство
называют
асимптотическим разложением функции
имеющей
предел в точке
И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.
Определение 4. Множества
называются
окрестностями точек
соответственно. Следующие высказывания
являются определениями предела функции
в бесконечности:
Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.
Теорема
5.
Если существуют (конечные) пределы
то и существуют пределы
при этом
Если
(кроме существования пределов
и
) выполняется ещё условие
то
существует предел
причем
Доказательство.
Докажем, например, теорему о пределе
произведения. Так как существуют пределы
то по теореме 4 имеют место асимптотические
разложения
Умножая эти равенста друг на друга,
будем иметь
Поскольку
то
(см.
теорему 3). Далее, поскольку
то функция
представляется в виде
По теореме 14 отсюда следует, что существует
предел произведения
при
и он равен
Теорема доказана.
6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
Введем
следующее понятие. Пусть
конечная или бесконечная точка и пусть
функ-
ции
и
определены в некоторой проколотой
окрестности точки
Определение
4. Две
бесконечно малые функции
и
(при
)называются
эквивалентными,
если
в некоторой проколотой окрестности
и если
При
этом пишут:
Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.
Теорема
6.
Если
и если существует предел
то
существует и предел
и он также равен числу
Доказательство. Переходя в тождестве
к
пределу прии учитывая, что
получаем
утверждение теоремы.
Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:
Таблица 1.
Если
при
то при
верны
следующие соотношения:
const.
можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.
Пример
1.
7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Пусть
функция
определена в некоторой проколотой
окрестности
точки
Определение
5.
Функция
называется бесконечно большой функцией
(ББФ) при
если для всякого
существует число
такое, что
При
этом пишут
Заметим,
что
– это не число, а символ, поэтому
бесконечный предел – это всего лишь
обозначение бесконечно большой функции.
Тем не менее при вычислениях удобно
относиться к бесконечному пределу как
к обычному, хотя для бесконечных пределов
и существуют свои правила действий,
несколько отличные от правил действий
над конечными пределами (см. ниже таблицу
2).
Если
функция
сохраняет знак в некоторой проколотой
окрестности точки
и является при этом бесконечно большой
функцией, то естественно писать
(в
зависимости от знака функции
в указанной окрестности). Более точно:
В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестность
конечной
предельной точки
Почти дословно определяются бесконечно
большие функции на бесконечности. В
этом случае под точкой
следует понимать один из символов:
а под окрестностью
окрестность
соответствующей бесконечно удаленной
точки
Например,
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема
7.
Пусть функция
не обращается в нуль в некоторой
проколотой окрестности
точки
Тогда справедливо высказывание
Иначе
говоря, для того чтобы функция
была бесконечно малой при
необходимо и достаточно, чтобы обратная
к ней по величине функция
была бесконечно большой при
Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями:
Таблица 2
И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций.
Теорема
7 (о
пределе промежуточной функции).
Пусть в некоторой окрестности
точки
выполняются неравенства
и пусть, кроме того, крайние функции
имеют пределы в точке
и эти пределы равны друг другу, т.е.
Тогда
существует предел промежуточной функции
и он равен
т. е.
Теорема
8.
Пусть в некоторой окрестности
точки
выполняются неравенства
и пусть существуют пределы
Тогда
(докажите это утверждение самостоятельно).
Теорема
9 (о
знаке предела).
Если в некоторой проколотой окрестности
функция
неотрицательна
(неположительна) и существует предел
то
(соответственно
).
В
тех случаях, когда при вычислении того
или иного предела непосредственный
переход к пределу при
приводит к одному из символов типа
возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределенность при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределенность может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределенности. Поясним сказанное примером.
Пусть
требуется вычислить предел
Если в указанном отношении мы сразу же
перейдем к пределу, то получим
неопределенность типа
Что скрывается под этим символом, мы
пока не знаем. Попрубуем избавиться от
неопределенности. Применим для этого
таблицу 1 стандартных асимптотических
разложений и теорему 5. Получим
Последнее отношение уже не содержит неопределенности. Воспользовавшись теоремой 11.5 о переходе к пределу в частном двух функций, найдем, что
Лекция 2. Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции. Разрывные функции и классификация точек разрыва. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная сложной функции. Таблица производных