![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •19) Условие жёсткой связи; неизменяемые мех-е сис-мы; Конфигурация мат-го тела; Теорема Грасгофа о проекциях скоростей.
- •19)Допустимые конфигурации мех. Сис-м;Коллинеарные точки неизменяемой мех. Сис-мы; Теорема о скоростях коллин. Точек.
- •21)Основное св-во допустимой конфигурации абсолютно тв. Тела; Задание конфигурации тв. Тела методом 3-х точек.
- •21)Связанная сис-ма отсчёта. Задание конфигурации атт методом связанных осей. Нахождение текущего положения телесной точки по её координатам в связанных осях.
- •22)Оператор ориентации абсолютно твёрдого тела. Ортогональность оператора ориентации. Основная формула геометрии движения.
- •24)Поступательное движение тв. Тела. Теорема о критерии поступательного движения. Траектории, скорости и ускорения телесных точек при поступательном движении.
- •24)Компоненты и матрица линейного оператора; формулы для компонент линейного оператора. Матрица направляющих косинусов тв. Тела.
- •25)Транспонирование линейных операторов. Св-ва матрицы направляющих косинусов.
- •1)Момент силы относительно точки
- •2)Вычисление проекции момента силы. Антисимметричные матрицы. Момент силы относительно оси
- •4)Аксиомы статики: общие аксиомы о силах. Следствие о переносе силы вдоль линии действия
- •10)Условия равновесия твёрдого тела при наличии трения(точечный и поверхностный контакт)
- •12) Способы задания движения точки
- •13) Скорость точки в в-ом и координатном способах задания движения
- •14)Скорость при естественном способе задания движения точки
- •17)Лемма об уравнениях сближения двух точек по экспоненте
- •3)Сис-мы сил и их эквивалентность. Главный вектор и главный момент сис-мы сил. Теорема об изм-ии гл. Момента при смене полюса.
- •5) Аксиомы статики: аксиома о связях. Реакции связей.
- •6) Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силам.
- •7) Пара сил, её плечо и момент. Теорема о приведении произвольной сис-мы сил к силе и паре.
- •8) Теорема об условиях равновесия атт. Ур-я равновесия для пространственной сис-мы сил
- •9)Ур-е равновесия для плоской и сходящейся сис-мы сил, для сис-мы параллельных сил. Статистически определяемые задачи.
- •11)Законы трения скольжения(при покое). Закон Амантона-Кулона. Задача о трибометре.
8) Теорема об условиях равновесия атт. Ур-я равновесия для пространственной сис-мы сил
Теорема равновесия АТТ
Для
того чтобы произвольная система сил
была уравнов-ой необходимо и достаточно
чтобы ее главный вектор и гл момент
относ-но произв-ого полюса В=0 (*)
=0,
.
=0
1)Необходимость.
Имеем: {,…,
}экв0
По теореме о приведении к 2 силам
{
,…,
}экв{
.
По аксиоме о 2 силах {
,
}экв0
=-
и
//
Первое рав-во означ что
+
=0
а силы
и
образуют пару поскольку она экв нулю.
M(
,
)=0
2)Достаточность.
Исходим из равенства (*).По теореме о
приведении к силе и паре: {,…,
}экв{
.
где {
,
}
–пара сил,т.е
,но
=0,итак
{
,…,
}экв{
,
},для
этой пары сил
(
,
)=
=0,поэтому
{
,
}экв0,т.е
{
,…,
}экв0.
≤простой системы сил. Пусть xyz-произвольная декартовая система координат. Следствие:уравнения равновесия произв системы сил в скалярной форме:
X:y:
z:
:
=0
:
=0
:
=0
Для системы из n тел получаем 6 n уравнений равновесия.
9)Ур-е равновесия для плоской и сходящейся сис-мы сил, для сис-мы параллельных сил. Статистически определяемые задачи.
Уравнения равновесия АТТ
1)Пусть
система сил-плоская и полюс В вместе с
осями x
и y
лежит в той же плоскости что и сила.
Тогда можно пользоваться ур-ми: X:y:
:
=0
В самом делеɏ
К
перп
и
//
,т.ч
остальные 3 ур-ия обратились в тождества.
2)
Пусть система сил-параллельная, тогда
ɏ К
//
,тогда
можно пользоваться ур-ми:z:
:
=0
:
=0
В самом делеɏ
К
//
и
перп
3)
) Пусть система сил-сходящаяся и линии
действия всех сил проходят через В.
Тогда можно пользоваться ур-ми: X:y:
z:
Дляɏ К
=0
Задача статистически определима если число неизвестных не превосходит числа ур-ий равновесия. Если в задаче nтел и m неизвестных то в статист опр задачах:m≤3n-плоский случай;m≤6n-простр-ый случай.
11)Законы трения скольжения(при покое). Закон Амантона-Кулона. Задача о трибометре.
Законы трения скольжения:
1)Если тело на которое действует сила трения скольжения находится в покое то модуль ее может принимать любое значение. Случай предельного равновесия-модуль силы тр=макс силе тр
2)Предельная величина силы трения прямопропорциональна модулю нормальной реакции
3)Значение
не зависит от площади соприкосновения
4)
Значение
зависит материала тел, частоты обработки
пов-ей и т.п
Задача о трибометре.
X:Q-=0Q=
y:N-P=0
N=P
Подбором груза находим наибольшее
значение Q
при котором брусок будет покоится. В
силу закона Амонтона-Кулона:
макс
=
N
так что
=:
макс
/N=
Qмакс/Р
26. Антисимметричные линейные операторы. Теорема о взаимно однозначном соответствии между векторами и антисимметричными операторами в трехмерном пространстве.
Пусть
х-евклидово векторное пр-во. Линейный
оператор–
антисимметричный, если (
В
общем случае
=(
.
Иная форма определения:
Для
компонентов антисимметричного оператора
в ортонорм. Базисе
≡
=-
Значит,
матрица А оператора
тоже антисимметрична
В
частности, при i=j:
Пусть
Z(x)
–пр-во всех
линейных
операторов вида
Присоединенным
представлением алгебры векторов 3-х
мерного пр-ва V
называется
отображение : аd:
V->Z(V),
которое всякому вектору ā сопоставляет
лин. Оператор
,
определяемый формулой
Линейность
оператора
следует из равенств
[
=
=k[
Оператор
≡ad
будем
обозначать ă и называть присоединительным
оператором для вектора
Теорема: отображение ad: :V->Z(V) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами из V и антисимметричными линейными операторами:
Док-во:
в силу
линейный оператор
, отвечающий вектору
,
определен однозначно. Проверим, что он
антисимметричный.
Пусть
{правый
ортонорм. базис вV,
тогда
=
=>
=>
,
так что
,
так
как
,
то и
Взаимная
однозначность всякий оператор
в 3-х мерном пр-ве имеет матр. А указанного
вида; поэтому вектор
находится
однозначно.
Замечание:
в силу взаимной однозначности
установленного соответствия для всякого
антисимметричного оператора
однозначно
определен вектор
=a
,
для которого ă=
Следствие
1: ă
Следствие
2: ă=0
II
,
т.к.
II
Следствие
3: т.к. оператор
ă все векторы,
параллельные
переводит в 0, то антисем. Операторы в
3-х мерном пр-венеобратимы(обратного
оператора не сущ.)
Вывод: в 3-х мерном пр-ве операции умножения вектора на антисим. оператор эквивалентно операции векторного умножения.
32. Вращательное движение абсолютно твердого тела. Ось вращения. Траектории и скорости телесных точек при вращательном движении.Движение АТТ вращательное, если 2 телесные точки неподвижны. Пусть это точки О* и А*; обозначим через е* телесную прямую А*О*, а через ɭ текущее положение этой прямой в у. н. СО
Вращательное движение – частный случай сферического. Ось мгновенного вращения в любой момент проходит и через точку О и через А => она совпадает и прямой ɭ (осью вращения АТТ)
Вектор
ll
l
ɭ
У любой точки оси вращения скорость тождественно равна 0, так что все точки оси вращения неподвижны.
Траектории любой телесной точки β* лежит на пересечении 2-х сфер с радиусами lOBl и lABl, т.е. на окружности с центром на оси вращения.
Траектории лежат в неподвижных плоскостях, ортогональных оси ɭ, ток что вращательное движение – частный случай плоского. Если ввести неподвижную систему координат Охуz, совместив ось z с осью ɭ, то плоскость Oxy можно
принять за плоскость движения.
Вывод: вращательное движение одновременно и сферическое и плоское.
27.Закон движения абсолютно твердого тела. Дифференцирование линейных операторов. Оператор угловой скорости; формула Эйлера в операторной записи.
Закон движения материального тела –правило, задающее для каждой точки тела и каждого момента времени текущее положение точки.
Прямой способ задания движения тела:
В=Н(В*;t);
конфигурация
тела β зависит от t
как от параметра, а В*β-произвольная точка тела
Если
тело β-абс. твердое, то В*Е*(т.е. это произвольная точка тела)
Векторный
способ: задают 2 ф-ции времени
=
;
=
(t)(операторная);
Здесь
А- текущее положение полюса А**,
а
-оператор
ориентации АТТ.
Тогда
по основной ф-ие геометрии движения
=
*,
где
*=
,
можно найти закон движения произвольной
телесной точки В*
Если
лин. оператор
:
х->у зависит от времениt,
как от параметра:
,
то его производной поt
наз-ся предел
=
Пусть
сущ. t
оператор
=
мультипликативной производной (
умножения) поt
наз-ся лин. оператор:
,
т.к.
:-y->x,
то
:y->y,
т.е.
Оператор
угловой скорости характеризует быстрому
изменению ориентации АТТ формула
=
принимает вид
=
,
т.к.
-
,
получаем
(*)Это формула Эйлера( в операторной
записи)
Вывод:
мгновенное движение АТТ задано, если
известны вектори
оператор
.
28.Теорема об антсимметричности оператора угловой скорости. Вектор угловой скорости; формула Эйлера в векторной записи. Траектории и скорости телесных точек при сфкрическом движении.
Теорема:
оператор угловой скорости антисимметричный:
=-
Док-во:
в силу ортогональности
=
,
дифференцируем поt
+
=0
Вычисляем
=
=
=
,
Вектор
,
сопоставляемый антисимметричному
оператору
по
формуле
=[
]
называется вектором угловой скорости
АТТ.
Если
-
един-ные векторы системы коорд.xyz,
то
=
+
+
,
а матрица
=
Вектор
изменения ориентации АТТ
Это свободный вектор, т.к. его компоненты выражаются только через направление cos и их производных, а от выбора полюса не зависит
,
это формула Эйлера в векторной записи,
была получена в 1765 году.
Движение АТТ сферическое, если одна из телесных точек неподвижна, поскольку текущее положение О этой точки О* не изменяется с течением времени, то О можно принимать за
начало неподвижной системы координат.
Выберем
точку О* за полюс, тогда
=
*,
где
*=
Вывод:
соотношения
=
(t)
определяет закон сферического движения
тела
Из услвия IОВI=const следует, что траектории телесных точек при сферическом движении лежат на концентрических сферах
При
сферическом движении
принимает вид (*)
.
При сферическом движении АТТ:
-мгновенное движение в любой момент времени-мгновенное вращение, ось которого всегда проходит через точку О;
-распределение скоростей телесных точек задается формулой (*).
29.Плоское движение АТТ. Матрица направляющих косинусов при таком движении. Вывод соотношений для координат двух телесных точек при плоском движении.
Движение АТТ – плоское (или плоскопараллельное), если все телесные точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (плоскость движется).
Траектории телесных точек при этом- плоские кривые.
Примем за плоскость движение Oxy ту из параллельных плоскостей, в которой движется полюс А*
Точки тела, движущегося в этой же плоскости, образуют плоскую фигуру.
Вывод: Изучение плоского движения АТТ сводится к изучению движения плоской фигуры.
Здесь Аx’, Ay’,Az’-текущее положение осей А*х*, А*у*, А*z* (ось Az’ сонаправлена оси Оz)
Угол ϕ-угол поворота тела, отсчитывается от направляющей оси Ох до оси Ax’ в положительную сторону.
Перейдем
у метрической записи основной формулы
геометрии движения:=
*,
где
*=
.
Для
чего введем столбцы:
=
,
=
,
=
Получаем
(*)=
+
Сейчас
=0
Напр.
косинусов
=cos(
=cos
ϕ
=cos(
=-sinϕ
=cos(
=sinϕ
=cos(
=cosϕ
=cos(
=cos
0=1
Остальные cos=0(векторы ортогональны)
Г=Вывод: соотношения
определяют
закон плоского движения тела, при этом
координаты т. В в силу (*) можно найти по
формулам
(**)
Для
точек плоской фигуры
30. Вывод формул для компонент оператора и вектора угловой скорости при плоском движении. Получение соотношений для проекций скоростей двух телесных точек.
Для
оператора
угловой
скорости АТТ имеем
=
В матричной форме
(*)=
=
Матрица
Г при плоском движении Г=
Вычисляем
=cos
.
Поэтому
=
У
матрицы
3-я
строка нулевая, поэтому в силу (*)
=0.
Т.к.
на 1-й столбец
(т.е. на первую строку Г):
(ϕ ̇cos
ϕ)
ϕ
-
sinϕ
(-sinϕ
)
=0,
Ед.
для
Вывод:
угловая скорость АТТ в плоском движении
– вектор
,
где
Для
оператора угловой скорости:
=
,
а в матричной записи
=
Пусть
теперь
скоростьj-ого
тела, а телесные точки А* и В* движутся
в плоскости движения Оxy.
Пусть
– угол, образуемый направленным отрезком
с положительным
направлением оси Ох.
Т.к.
≡0,
≡0,
то
=0
и
=0
Переход
от А к В представим графом (1) А
Подставим
теперь в ф-лу Эйлера
В
матричной записи (2)
=
+
Здесь
=
,
=
,
,
=
Переходя
к компонентной записи из (2) получаем
,
Эти формулы соответствуют графу (1).
Аналитический метод решения задач кинематики
Пример составного графа:
А
Распишем данный граф:
(1)
Соотношения (1) верны при следующем основном дополнении – скорости тех точек j-ого и k-ого тел, текущим положение которых служит т. В
Порядок решения типичных задач:
Выбрать кинематический граф, с которым связано не более 2-х неизвестных кинематических величин.
Составить кинематические соотношения для выбранного графа.
Учесть связи в концевых точках графа.
Решить полученные кинематические ур-я.
Если не все неизвестные найдены, вернуться к 1.
31. Решение задачи о разложении вектора на параллельную и ортогональную составляющие. Вычисление вектора угловой скорости по вектору относительной скорости при плоском движении.
Лемма:
формула (*)
=(
,
)
+[
,[
]]
дает разложение вектора
на
2 составляющие:
параллельную
и ортогональную заданному ед. вектору
Док-во:
проекция вектора
на направлении вектора
(
,
)
так, что
=(
,
)
Применяем формулу «БАЦ» минус «ЦАП» для двойного векторного произведения
[,[
]]=
,
-
,
,
получаем [
,[
]]=
,
-
,
=
=
Найдем
угловую скорость тела
,
если известны вектор
≡
-
Запишем
ф-лу Эйлера в виде (**)
=[
]
Разложим
вектор
на 2 составляющие: параллельную и
ортогональную вектору
=
=
[
]]
в силу (**):
.
Замечание:
поскольку
=(
-
+(
-
,
=(
-
+(
-
,
то
-
-
(
-
(
-
]
|
|
|