![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Алгоритм 2 (метода подбора)
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •1. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 7. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 8. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 8. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
Напомним, что множество
называетсяодносвязным,если
любой замкнутый контур, лежащий в
можно стянуть в точку, не выходя из
.
Множество
называется
связным,если его граница
состоит из
попарно не пересекающихся между собой
замкнутых контуров. Например, на рисункеAизображена односвязная
область, на рисункеB–
4-связная область (одна внешняя граница
и три внутренних границ). При этом будем
говорить, что направление на границе
являетсяположительным (
–
положительно ориентирована), если при
её обходе область
остаётсяслева. Например, на
рисункеCграница двухсвязной
области положительно ориентирована.
Ориентация, противоположная положительной,
называетсяотрицательной.
Теорема Коши
для односвязной области. Пусть
область
односвязная и функция
аналитична в
Тогда каков бы ни был кусочно-
гладкий замкнутый
контур
лежащий внутри
интеграл от
по
равен нулю.
Доказательство. Вычислим интеграл
Воспользуемся формулой Грина:
где
область,
охватываемая контуром
Будем иметь
(здесь
в квадратных скобках выписаны условия
Коши-Римана, которые выполняются, так
как функция
аналитична в области
).
Теорема доказана.
Теорема Коши
для многосвязной области. Пусть
область
связна,причем
её
внешняя граница, а
её
внутренние границы, обходимые все против
часовой стрелки. Пусть функция
аналитична в
Тогда имеет место равенство
Доказательство
проведём для
двухсвязной области
Сделаем разрез
соединяющий внутреннюю и внешнюю границы
и
Тогда область
будет односвязной, а замкнутый контур
лежит в
Значит, для этого контура справедлива
предыдущая теорема:
Применяя свойство аддитивности интеграла,
будем иметь
Рис. 10
Учитывая, что
приходим к равенству
Остаётся учесть, что здесь контуры
и
обходятся против часовой стрелки.
Теорема доказана.
И, наконец, сформулируем без доказательство следующее важное утверждение.
Интегральная теорема Коши.Пусть
функция
аналитична в односвязной области
Тогда какова бы ни была точка
лежащая внутри области
и замкнутый кусочно-гладкий контур
,
охватывающий точку
и обходимый против часовой стрелки,
справедливаинтегральная формула
Коши
При этом функция
имеет всюду в
производные любого порядка,
для которых справедлива формула
.
Замечание 1.Если функция аналитична
в замкнутой ограниченной областис кусочно гладкой границей
то в качестве контура
в (6) можно взять границу
Тогда из (5) вытекает, чтоаналитическая
в
функция
полностью определяется своими значениями
на границе
Таким свойством действительные функции
не обладают.
Интегральная формула Коши имеет многочисленные применения, о которых будет сказано в дальнейшим. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить
Решение.Внутри окружностизнаменатель дроби обращается в нуль в
точке
.
Для удобства применения формулы (5)
перепишем интеграл в виде
.
Здесь
и
аналитична в круге
.
Тогда
.
Пример 2. Вычислить:
по
а) контуру
;
б)
.
Решение. а) В кругефункция
аналитична. Следовательно, по теореме
Коши для односвязной области получаем,
что
.
б) Так как внутри контура интегрирования
знаменатель подынтегральной функции
обращается в нуль в точках
и
,
то для того, чтобы стало возможным
применить формулу (5), рассмотрим
многосвязную область
(рис. 11), ограниченную окружностью
и внутренними контурами
и
.
Рис. 11
Тогда в области
функция
является аналитической, и по теореме
Коши для многосвязной области можно
записать:
.
Для вычисления интегралов справа
применим формулу (5):
;
Таким образом,
.