![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3°. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Свойства уравнения :
- •4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •Билет № 24
2°. Фундаментальная система решений (фср).
Опред.: Фундаментальной системой решений ФСР называется любой базис пространства решений.
Теорема (о структуре общего решения О ЛОС.):
Если вектор-функции
образуют ФСР, то
является решением ЛОС тогда и только
тогда, когда
.
.
-
ФСР.
Билет №10
Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.
(фундаментальная
матрица).
Свойства фундаментальной матрицы:
1.
-
невырожденная
.
2.
3. Вектор-функция
тогда и только тогда является решением
однородной системы, когда выполняется
равенство:
,
где
-
постоянный вектор.
.
4.
Теорема:
Если
- фундаментальная
матрица, то матрица
будет фундаментальной тогда и только
тогда, когда
,
где
-
невырожденная постоянная матрица.
Доказательство:
.
-
решение.
-
решение ЛОС.
.
,
.
3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).
Опред.:
Определителем
Вронского вектор-функций
называется определитель
Решения
(ЛОС) образуют ФСР тогда и только тогда,
когда
(хотя бы в одной точке).
- ФСР
,
.
Билет № 11
5°. Линейные однородные
дифференциальные уравнения
-го
порядка.
- ЛДУ
-
линейный дифференциальный оператор
-го
порядка.
Если
,
то получаем линейное однородное
дифференциальное уравнение (ЛОДУ)
Если
,
то получаем линейное неоднородное
дифференциальное уравнение
Сумма решений ОДУ
,
а также произведение решения на число
снова является решением.
Уравнению
можно поставить в соответствие линейную
однородную систему:
Каждому решению
уравнения
можно однозначно сопоставить решение
ЛОС
(1)
Соответствие (1) не нарушается при сложении решений и умножении решения на число. Оно также сохраняет линейную зависимость или независимость решений.
|
|
Свойства уравнения :
1. Если
-
решение уравнения
на
и
,
,
то
на
.
2. Множество всех
решений уравнения
является линейным пространством
размерности
.
3. Решения
уравнения
линейно независимы тогда и только тогда,
когда они линейно независимы хотя бы
при одном значении
.
ФСР называется
любой базис пространства решений, то
есть любые
линейно независимых решений.
4. Теорема о структуре общего решения:
Если функции
образуют ФСР, то функция
является решением тогда и только тогда,
когда
,
где
.
- фундаментальная
матрица.
Опред.:
Определителем
Вронского функций
называется определитель
5. Решения
уравнения
образуют ФСР тогда и только тогда, когда
.
Замечание:
для линейной независимости произвольных
функций
условие
является достаточным, но не необходимым.
Пример:
на
ЛНУ, так как если
Билет №12
4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).
Вывод формулы:
- фундаментальная
матрица
6°. Формула
Лиувилля-Остроградского для ЛО ДУ-го
порядка.
Билет № 13, 14
6°. Линейные неоднородные ДУ и системы.
Теорема (общее решение ЛНС):
,
где
-
частное решение,
-
ФСР, соответствующая однородной системе,
,
.
Доказательство.:
.
.
.
Пусть
-
решения.
.
.
Для ЛНУ
го
порядка
имеет место аналогичная теорема.
Билет № 15
7°. Метод вариации постоянных.
Данный метод позволяет найти частное решение.
находим
находим
.
Находим
Билет № 16
3°. ЛОУ
-го
порядка с постоянными коэффициентами.
,
.
,
(характеристический
многочлен).
Пусть-
все корни характеристического многочлена
.
1-й
случай (различны):
Тогда
-
ФСР.
,
.
Пусть
Если
-
действительны и являются ФСР.
Если
,
- корень
,
Следовательно
- решения
.
,
- линейно независимы
над
линейно независимы над
.
Билет № 17
3°. ЛОУ
-го
порядка с постоянными коэффициентами.
,
.
,
(характеристический
многочлен).
Пусть-
все корни характеристического многочлена
.
2-й
случай (среди
есть одинаковые):
Лемма 1:
Если
- коренькратности
характеристического многочлена
,
то
,
линейно независимы над
.
Доказательство:
{
}
Лемма доказана.
- различные среди
корней характеристического многочлена
с кратностями
,
Лемма 2:
Если
,
где
-
многочлены с комплексными коэффициентами.
.
Доказательство
(проводим индукцией по
):
База
Шаг
-
л. справа.
Продифференцируем
это равенство
раз:
Теорема:
-
ФСР
.
Доказательство:
Пусть
,
,
Линейно независимо
над
линейно независимо над
.
Билет № 18