Свойства модулей комплексного числа.

1.

2.

3.

4.

5.

6. ,

7.

8.

Определение: , если .

Пусть . Тогда .

Здесь - значений.

БИЛЕТ 2. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана.

1°. Предел последовательности.

Определение:

Замечание 1. Пусть , . Тогда по определению , то есть

Вывод: все результаты 1-го семестра имеют место и для комплексных последовательностей. Но нужно помнить, что для комплексных чисел нет отношения порядка.

2°. Непрерывные функции.

Определение.

Определение. непрерывна в точке , если , то есть

.

Вывод: справедливы все алгебраические результаты для непрерывных функций.

Замечание 2. Пусть

3°. Условия Коши-Римана.

,

, - фиксировано

Определение. дифференцируема в точке , если , где - число,

Определение. Производная

Замечание 3. Также, как и в действительном случае функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует производная в точке , причем справедливо равенство:

Теорема 1. (Условия Коши-Римана)

Пусть , , - дифференцируемы в точке . Тогда дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда

- Условия Коши-Римана.

Доказательство:

I. Необходимость.

Пусть дифференцируема в точке . Существует а). и

(так как - дифференцируемы в точке )

б).

В силу существования производной выражение а) = б).

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

II. Достаточность.

По условию теоремы - дифференцируемы в точке , то есть

+

(по условиям Коши-Римана)

дифференцируема в точке . Теорема доказана.

Замечание 4.

Заодно мы доказали, что

Пример 1.

Условия Коши-Римана выполнены.

Пример 2.

Условия Коши-Римана не выполняются, функция не является дифференцируемой.

Замечание 5.

В записи дифференцируемых (комплексных) функций должна присутствовать только переменная . Если же в записи есть или , то скорее всего она не дифференцируема.

Определение. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема для любого из .

4°. Связь аналитических и гармонических функций.

Вопрос: аналитическая

Теорема 2. Пусть функция , тогда для аналитическая функция тогда и только тогда, когда в .

Пример:

- гармоническая

const

. Замечание: аналогичный результат справедлив и для функции (мнимой части)

БИЛЕТ 3. Основные элементарные функции комплексного переменного: степенная функция и обратная к ней функция.

Если , то ,

Отсюда следует, что каждая окружность радиуса с центром в точке отображается на окружность с радиусом с центром в точке .

При этом, если точка пробегает окружность 1 раз в положительном направлении, то точка пробегает раз.

Определение. называется листной, если каждая точка образа имеет прообразов.

С : .

В общем случае взаимно-однозначно отображает внутренность любого угла с вершиной в точке и углом раствора на внутренность соответствующего угла также с прямыми сторонами, с вершиной в начале координат и раствором .

- аналитическая функция, причем

Обратная функция:

Если , то существует различных значений:

Определение. Одно непрерывное значение многозначной функции называется ветвью.

БИЛЕТ 4. Основные элементарные функции комплексного переменного: показательная функция и обратная к ней функция.

Вопрос: ,

Напоминание:

По определению .

Обозначим через .

=

(формула Эйлера)

1).

2). Период

3). Аналитическая функция

4). Имеет бесконечно много листов.

- однолистная область, если

Естественная область однолистная

Обратная функция - бесконечное число значений (все множество значений).

БИЛЕТ 5. Основные элементарные функции комплексного переменного: тригонометрические функции и обратные к ним функции.

Определение:

1). Период . Так как при изменении на аргументы показательных функций в формуле изменяются на .

2). - дифференцируемая (аналитическая)

3). ,

Эти формулы являются основными в теории тригонометрических функций имеют место все тригонометрические формулы:

и так далее.

4). - не ограничена на С.

5)- отображение - многозначная

, где -беск.знач, а - двузначное.

Пример

Гиперболические функции:

Пусть

,

где

,

где

Модули функций и бесконечно возрастают вместе с по мере возрастания оси. При этом это происходит не быстрее возрастания и не медленнее возрастания .

БИЛЕТ 6. Интегрирование функций комплексного переменного.

На кривой задана .

- разбиение .

,

Определение. . Причем этот предел существует, то есть не зависит от способа разбиения и выбора точек .

Утверждение 1. Если существуют, , , , то существует где .

Рассмотрим

.

Устремим , , тогда

Замечание.

- кусочно-гладкая кривая, то есть , - гладкая кривая, то есть:

.

Утверждение 2. Пусть - кусочно-гладкая кривая, - непрерывная функция комплексного переменного на . Тогда существует .

Доказательство:

Существуют , , , (смотри 2-й семестр). По Утверждению 1 существует . Свойства:

1). Линейность.

2). Аддитивность.

Пусть , , тогда .

3). , где «» - кривая с противоположным направлением.

4). Пусть , , тогда: ,

где - дифференциал дуги, - длина кривой .

БИЛЕТ 7. Теорема Коши.

Теорема 1.

Пусть - односвязная область, - замкнутый контур в . - аналитическая функция в . Тогда .

Доказательство:

Пусть , - внутренность области с границей, тогда:

{по формуле Грина} =

= 0 по условиям = 0

Коши-Римана

Замечание 1. В теореме 1 на функцию наложены излишние условия. Доказывается более общая теорема для односвязной области.

Теорема 2. (без доказательства)

Пусть аналитична в односвязной области и непрерывна в , - граница области. Тогда .

Замечание 2. В неодносвязных областях теорема Коши неверна.

Пример:

- неодносвязная область.

- аналитическая при .

Теорема 3. (теорема Коши для многосвязной области).

Пусть - многосвязная область с границей (положительное направление),

аналитична в односвязной области и непрерывна в . Тогда .

Доказательство:

Рассмотрим для наглядности случай , то есть .

- разрез (кусочно-гладкая кривая). Рассмотрим - односвязная область с границами

(,- берега разрыва). По теореме Коши для односвязных областей (теорема 2):

= 0

БИЛЕТ 8. Интегральная формула Коши. Следствия.

Теорема. Пусть аналитична в односвязной области и непрерывна в , - положительно ориентированная граница области . . Тогда (для односвязной области).

Доказательство:

(мало): .

Пусть

, где - это с противоположным направлением.

аналитична в области и непрерывна в .

По теореме Коши:

.

Функция непрерывна в , то есть

.

Следовательно . .

Следствие 1. (теорема о среднем).

Пусть аналитична в области и непрерывна в , , .Тогда .

Замечание: значение аналитической функции в центре круга равно среднему значению по окружности.

Следствие 2. (принцип максимума).

Пусть аналитична в , , тогда не существует

БИЛЕТ 9. Производные высших порядков.

Теорема. (без доказательства).

Пусть аналитична в , непрерывна в , тогда и существует

, где граница ориентирована положительно.

Замечание:

Если аналитическая функция, то она дифференцируема бесконечное число раз.

Следствие (оценки производных).

Пусть - аналитичная функция при и непрерывна при , , тогда:

Теорема Лиувилля.

Пусть аналитична на и , тогда .

Доказательство:

БИЛЕТ 10. Представление аналитической в круге функции рядом Тейлора. Нули аналитической функции.

БИЛЕТ 11. Представление аналитической в кольце функции рядом Лорана.

БИЛЕТ 12. Единственность разложения в ряд Лорана.

Лемма. (О единственности разложения ряда Лорана)

Пусть сходится при , тогда аналитична при и , .

Доказательство:

1). При сходится равномерно. (это простое следствие теоремы Абеля). По теореме Вейерштрасса функция аналитична в .

2). Вычислим

.

Так как

БИЛЕТ 13. Изолированные особые точки. Классификация.

Определение: точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки (из окрестности выколота точка ), в которой функция - аналитическая.

В зависимости от поведения функции в окрестности точки различают три типа особых точек:

1). Точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

2). Точка называется полюсом функции , если .

.

3). Точка называется существенно-особой точкой функции , если предел не существует.

Пример:

Пусть , - существенно-особая точка.

Пусть .

Тогда .

, .

.

Раз пределы по разным направлениям не совпадают, то такой предел не может существовать, следовательно - существенно особая точка.

Разложим аналитическую функцию в ряд Лорана .

Теорема 1.

Точка является устранимой особой точкой функции тогда и только тогда, когда разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки не содержит главной части, то есть имеет вид: (1). (Главная часть- сумма по отрицательным степеням).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть для функции справедливо разложение (1) функция аналитическая в точке она непрерывна в точке точка - устранимая особая точка.

Необходимость.

Пусть - устранимая особая точка. Тогда существует ограничена в некоторой окрестности точки , .

(неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана).

[, где .

, где - радиус окрестности, . ]

При , так как при в ряде Лорана отсутствует главная часть мы приходим к разложению (1).

Замечание.

Термин «устранимая особая точка» связан с тем, что поскольку существует , то положив (доопределив) мы получим функцию , которая будет аналитической также и в точке .

Пусть точка является полюсом функции , тогда существует окрестность , где .

Значит мы можем рассмотреть функцию .

Поскольку , . Если мы доопределим функцию в точке , то получим, что - ноль .

И наоборот: , , , точка - полюс.

Определение. Говорят, что если точка является полюсом - того порядка для функции , то в точке имеет нуль - того порядка.

Теорема 2.

Для того, чтобы точка являлась полюсом - того порядка для функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана в окрестности точки имел главную часть, содержащую конечное число членов, то есть (2). При этом наибольшая отрицательная степень, в которую входит равна порядку полюса.

Следствие (из Теоремы 1 и Теоремы 2).

Теорема 3.

Для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции необходимо и достаточно, чтобы главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности точки содержала бесконечное число слагаемых.

Доказательство Теоремы 2.

Необходимость.

Пусть точка - полюс порядка для функции рассмотрим в окрестности точки функцию , имеющую ноль - того порядка, а значит представимую в виде:

, где - аналитическая функция и в точке .

, (3) где - аналитическая функция.

.

Подставляя разложение в (3) приходим к разложению (2).

Достаточность.

Пусть ряд Лорана содержит конечное число членов главной части, то есть справедливо разложение (2).

Рассмотрим функцию

- сумма степенного ряда аналитическая функция

, точка - полюс для функции .

Определим порядок этого полюса.

Так как имеет полюс порядка . (так как обратная функция имеет нуль - того порядка).

Укажем характер поведения функции вблизи существенно особой точки.

Теорема Сохоцкого. (без доказательства).

Пусть - существенно особая точка функции . Тогда для любого комплексного числа найдется последовательность точек , , такая что , .

БИЛЕТ 14. Вычеты в изолированных особых точках.

Определение. Пусть точка - изолированная особая точка для . Вычетом функции в точке называется число , вычисляемое с помощью формулы , где - окрестность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки, достаточно малого радиуса, чтобы окрестность находилась в области аналитичности - то есть не содержала внутри себя других особых точек, кроме .

, .

.

В случае устранимой особой точки .

Если - полюс -того порядка, то вычет можно вычислить по формуле:

(1).

Особый случай:

(2).

, где , ,

Точка является простым нулем функции .

.

Если точка - существенно особая точка, то для нахождения вычета надо функцию разложить в ряд Лорана и найти коэффициент .

Пример.

.

Найдем вычет функции в точке .

- полюс 2-го порядка.

.

БИЛЕТ 15. Теорема Коши о вычетах.

Использование вычетов основано на следующей теореме:

Теорема Коши (о вычетах).

Пусть функция аналитическая в области , за исключением конечного числа точек , а также непрерывна вплоть до границы области, которая состоит из конечного числа ограниченных кусочно-гладких кривых. Тогда справедливо равенство:

(3) , в котором граница ориентирована таким образом, чтобы при движении вдоль границы область оставалась слева.

Доказательство.

, , .

Проведем окружности вокруг таким образом, чтобы эти окружности не выходили за пределы области и не пересекались друг с другом.

Обозначим - область получаемую из области , если выкинуть окружности особых точек радиуса . Функция - аналитическая в и непрерывна в замыкании , а значит в такой области применима теорема Коши для многосвязной области.

, где - окружность , ориентированная по часовой стрелки.

Если мы сменим направление движения по окружности , а также воспользуемся равенством:

, то придем к формуле (3).

Чтобы вычислить интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру достаточно найти вычеты в особых точках, лежащие внутри контура и применить формулу (3).

Вычеты считаем либо с помощью разложения функции в ряд Лорана или с помощью формулы (1).

Пример.

,

- устранимая особая точка

- полюс 1-го порядка, так как - нуль 1-го порядка.

БИЛЕТ 16. Преобразование Лапласа: определение, свойства.

БИЛЕТ 17. Преобразование Лапласа: обращение, применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений.

(2).

Рассмотрим уравнение (2), где - константы, а - оригинал.

Найдем такое решение, чтобы при .

Зададим начальные условия в нуле:

(3).

Пусть , . В уравнении (2) проведем преобразование Лапласа:

.

.

- квазимногочлен (сумма степенных функций, умноженных на показательные).

- квазимногочлен.

Пример 1.

,

,

.

.

БИЛЕТ 18. Линейные нормированные пространства. Определение, примеры. Сходимость по норме. Понятие полного пространства.

Определение.

Линейным пространством над полем действительных чисел называется множество элементов , для которых введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1.

2.

3.

4.

5. , , где .

6. , .

7. , .

8. , .

Определение.

Отображение линейного пространства в называется функционалом.

Вводится понятие суммы двух функционалов.

Определение.

Суммой двух функционалов и называется функционал:

.

Определение.

Функционал называется линейным, если , .

Определение.

Линейное пространство называется нормированным, если в нем задан функционал , называющийся нормой, такой что:

1. , , .

2. .

3. (так называемое «неравенство треугольника»)

Примеры:

1. Числовая прямая .

2. - мерное векторное пространство: .

.

Свойства 1 и 2 выполняются, покажем справедливость неравенства треугольника.

Рассмотрим норму: .

Замечание.

На можно ввести норму и другим способом:

.

3. - пространство непрерывных на функций.

.

4. - пространство непрерывно-дифференцируемых на функций.

, где - производная .

Замечание.

Функционал, определенный как не является нормой.

на .

5. - пространство непрерывных вектор-функций.

Определение.

Пусть - линейное нормированное пространство (ЛНП). Множество называется ограниченным, если .

Определение.

Пусть - последовательность элементов из (ЛНП), . Тогда , если

.

Определение.

Последовательность элементов (ФНП) называют фундаментальной, если

, то есть .

Определение.

ЛНП называется полным, если всякая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Полное линейное пространство называется банаховым пространством.

Все пространства в примерах 1 - 5 являются банаховыми.

Замечание.

При различных способах введения нормы одно и то же пространство может оказаться как полным, так и неполным.

Пример: - полное. - не является полным.

БИЛЕТ 19. Линейные функционалы в банаховом пространстве. Непрерывные функционалы. Норма линейного функционала.

Пусть задано банахово пространство .

Определение.

Функционал , заданный в пространстве , называется непрерывным в , если

.

Определение.

Функционал , заданный в пространстве , называется непрерывным функционалом.

Пример.

В пространстве

, , где - линейные непрер.

Рассмотрим произвольн. .

дост. .

Теорема 1.

Если линейный функционал , заданный на, непрерывен в какой-либо точке , то он непрерывен всюду на .

Доказательство:

Рассмотрим произвольную точку , также возьмем произвольно . В силу непрерывности в точке .

Покажем .

.

(непрерыв. в точке )

то есть непрерывен в точке .

Определение.

Функционал в банаховом пространстве называется ограниченным, если всякое ограниченное множество он переводит в множество .

Пример.

, , . - ограниченный функционал.

, . Такой функционал не является ограниченным.

Теорема 2.

Для того, чтобы линейный функционал, заданный на , был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был органичен.

Доказательство.

Докажем необходимость.

Пусть линейный функционал непрерывен в точке , то есть , .

Пусть - произвольное ограниченное множество, то есть .

Тогда , то есть ограничен.

.

Докажем достаточность.

Пусть .

Возьмем произвольно . Рассмотрим (где ).

Тогда .

, то есть непрерывен в точке .

По Теореме 1 функционал будет непрерывен всюду на .

Определение.

Пусть - линейный непрерывный функционал в . Тогда число называется нормой функционала .

Свойства.

1. , так как .

.

2. .

.

Примеры.

1). Пусть и - линейный функционал.

.

2). Пусть и - линейный функционал.

3). Пусть и - линейный функционал.

БИЛЕТ 20. Дифференцируемые функционалы. Сильно дифференцируемый функционал (по Фреше). Слабо дифференцируемый функционал (по Гато), первая вариация.

Определение.

Функционал в банаховом пространстве называется сильно-дифференцируемым в точке , если существует линейный функционал .

, где при .

называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) или вариацией функционала.

Теорема 1.

Если функционал дифференцируем в точке , то соответствующая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Пусть .

Предположим , то есть .

В силу линейности .

Получили противоречие.

Теорема 2.

Если функционалы дифференцируемы в точке , то функционалы (где ), дифференцируемы в точке .

Примеры:

, .

Из определения суммы функционалов и произведения функционала на число получаем следующие формулы:

.

1).

.

2). - линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве .

.

3). - нелинейный функционал.

при

4). , .

Докажем дифференцируемость функционала в точке .

Рассмотрим .

Следовательно, .

Определение.

Функционал в банаховом пространстве слабо дифференцируем в точке , если существует - первая вариация по Лагранжу.

Если - линейный непрерывный функционал по , то его называют слабой производной (производной Гато).

Пример.

Теорема 3.

Пусть функционал имеет сильную производную , тогда он имеет и слабую производную и эти производные равны.

Доказательство.

- линейный непрерывный функционал.

().

Следовательно, существуют сильная и слабая производные и они равны.

Замечание.

Второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главную линейную часть, но производные которых существуют (или же существуют вариации по Гато).

БИЛЕТ 21. Дважды дифференцируемый функционал (по Фреше, по Гато), вторая вариация.

Определение.

Функционал , определенный для , называется билинейным непрерывным функционалом, если он линейный по каждому переменному, то есть:

.

Полагая в билинейном функционале , получаем - квадратичный функционал.

Определение.

Функционал , заданный на банаховом пространстве , называется дважды дифференцируемым по Фреше в точке , если существует линейный непрерывный функционал и квадратичный непрерывный функционал

- 2-й дифференциал (2-я вариация).

Пример.

,

Определение.

Вторая вариация по Гато определяется следующим образом:

Замечание.

Для функционалов интегрального типа обе эти вариации совпадают.

Пример.

на

.

БИЛЕТ 22. Локальные экстремумы дифференцируемых функционалов. Необходимое условие экстремума с использованием первой вариации.

Следствием теоремы 1, леммы Лагранжа и вида 1-й вариации будет теорема 2.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления).

Непрерывно дифференцируемая функция , , на которой функционал достигает локального экстремума, удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

(уравнение Эйлера).

Замечание.

Уравнение Эйлера- дифференциальное уравнение 2-го порядка: .

Его общий интеграл зависит от двух произвольных постоянных.

Пример.

На каких кривых может достигать экстремума следующий функционал? :

, , .

может

БИЛЕТ 23. Уравнение Эйлера для простейшей задачи вариационного исчисления. Основная лемма вариационного исчисления.

Определение.

Точка называется точкой точкой локального минимума (локального максимума) для функционала , заданного на , если .

.

Если знак равенства достигается только в случае, когда , то - точка строгого минимума (максимума).

Теорема 1.

Во всякой точке , где дифференцируемый функционал достигает экстремума, 1-я вариация функционала при любом допустимом приращении равна нулю.

- дифф. по , причем при - точка экстремума функции .

Доказательство.

.

Теорема доказана.

В вариационном исчислении часто рассматриваются задачи вида:

- дважды непрерывно дифференцируема по своим переменным.

,

Требуется найти на множестве всех непрерывно-дифференцируемых функций, таких, что .

Экстремум ищется в классе функций

Пусть .

.

.

Лемма Лагранжа (основная лемма вариационного исчисления).

Если и , и, то .

Доказательство (от противного).

Пусть , например, , .

.

Построим непрерывно дифференцируемую функцию :

,

То есть .

Получили противоречие.

Следствием теоремы 1, леммы Лагранжа и вида 1-й вариации будет теорема 2.

БИЛЕТ 24. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Задача о брахистохроне.

Уравнение Эйлера:

Решение уравнения Эйлера – экстремаль.

Рассмотрим некоторые частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

1). Подынтегральная функция не зависит явно от .

- интеграл энергии (первый интеграл).

Пример.

Задача о брахистохроме – задача скорейшего спуска из одного положения в другое.

Требуется найти линию , соединяющую точки и , вдоль которой будет минимальным перемещение точки.

Предполагается, что трение отсутствует.

(В числителе стоит элементарное перемещение, в знаменателе- элементарная скорость).

Требуется найти минимум .

Уравнение Эйлера (первый интеграл).

Обозначим , .

- уравнение циклоиды.

2). Подынтегральная функция не зависит явно от .

Уравнение Эйлера:

- интеграл импульса.

БИЛЕТ 25. Достаточное условие экстремума в терминах второй вариации.

Определение.

Квадратичный функционал положительно (отрицательно) определен, если , .

Теорема 1.

Для того, чтобы функционал на стационарной кривой достигал минимума (максимума), необходимо, чтобы приращение .

Доказательство.

На стационарной кривой .

Если , то

, где .

При с достаточно малой нормой знак этого выражения будет совпадать со знаком 2-й вариации.

Замечание.

Неотрицательность 2-й вариации необходима, но вовсе не достаточна. Как будет показано ниже, для экстремума функционала достаточно и положительной определенности.

Определение.

Квадратичный функционал называется сильно положительным (сильно отрицательным), если () : .

Теорема 2.

Для того, чтобы дважды дифференцируемый функционал , определенный в банаховом пространстве, достигал на минимума (максимума) достаточно, чтобы норма (вариация, производная ?) при была в случаях максимума сильно отрицательной, в случае минимума- сильно положительной.

Доказательство:

На стационарной кривой:

, где .

Возьмем , тогда .

Тогда при , .

Функционал достигает минимума на .

Замечание.

Сформулированное достаточное условие существования экстремума часто оказывается слишком грубым и трудно проверяемым. Имеются более точные достаточные условия, в которых используется конкретный вид рассмотренного функционала.

Перейдем к исследованию на экстремум следующего функционала:

, , .

- трижды непрерывно дифференцируема по своим аргументам.

Пусть - приращение на удовлетворяет условию .

Воспользовавшись формулой Тэйлора, представим приращение функционала в следующем виде:

, где

.

Из этого следует, что

(квадратичный относительно функционал).

.

Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид:

- уравнение Якоби.

Определение.

Пусть - ненулевое (нетривиальное) решение решение уравнения Якоби, причем пусть . Ближайший справа от точки ноль функции называется точкой, сопряженной точке .

БИЛЕТ 26. Достаточное условие экстремума для простейшей задачи вариационного исчисления. Пример.

Теорема 3.

Достаточные условия слабого экстремума функционала для задачи с закрепленными концами:

, , , выполнены условия:

1). Функция удовлетворяет уравнению Эйлера:

.

2). (условие Лагранжа).

3). не содержит сопряженных к (условие Якоби).

Тогда экстремум в случае ??? слабый минимум (слабый максимум).

Пример 1.

Найти экстремум функционала , , .

Уравнение Эйлера:

то есть условие Лежандра выполнено.

Уравнение Якоби:

, то есть .

на сопряженных к точек нет.

На достигается минимум функционала .

.

Пример 2.

, , .

Уравнение Эйлера:

Условие Лежандра.

Условие Якоби.

,

на сопряженных к точек нет.

, , .

.

БИЛЕТ 27. Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Необходимое условие экстремума.

Такие задачи рассматриваются в теории упругости.

- банахово пространство с нормой .

,

,

раз дифференцируема по совокупности переменных ,

.

где

,

,

Если - точка экстремума, то при любых допустимых приращениях ??? первая вариация должна обращаться в ноль.

Интегрируя по частям, используя граничные условия и применяя основную лемму вариационного исчисления, получаем следующую дифференциальную задачу для определения экстремума функционала:

- дифференциальное уравнение порядка (уравнение Эйлера- Пуассона).

, ,

Пример 1.

однородная: ,

Уравнение Эйлера- Пуассона:

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

Складывая уравнения, получим:

,

Если же граничных условий в постановке задачи меньше, то дополнительные естественные граничные условия получаются приравниванием к нулю обинтегрируемых членов.

Пример 2.

, ,

Недостает одного граничного условия.

.

.

БИЛЕТ 28. Функционалы от нескольких функций. Необходимое условие экстремума.

где - - мерные вектора.

- дважды непрерывно дифференцируема по аргументам.

Такая задача возникает в геометрической оптике при нахождении пути, по которому распространяется свет в неоднородной среде.

Согласно принципу Ферма, свет идет от точки к точке по такому пути, чтобы время прохождения было минимальным.

Теорема.

Если на вектор-функции функционал достигает экстремума, то удовлетворяет системе уравнений Эйлера: , .

Доказательство.

Пусть - вектор функция, на которой достигается экстремум рассматриваемого функционала.

- экстремум функционала , зависит от одной функции .

В силу необходимого условия экстремума для простейшей вариационной задачи (в силу уравнения Эйлера), можно записать:

, .

Замечание.

Теорему можно доказать с помощью непосредственного подсчета первой вариации функционала.

.

Напоминание:

,

Система уравнений Эйлера:

, .

Укажем ряд свойств этой системы:

1. Если , , то существует первых интегралов системы уравнений Эйлера,

, где - произвольная постоянная.

2. Если не зависит явно от , то имеется первый интеграл (интеграл энергии).

3. Добавление к функции полной производной по переменной некоторой функции изменяет функционал на постоянную величину.

Пример 1.

Найти экстремали функционала:

, ,

Пример 2. Распространение света в неоднородной среде.

Пусть пространство заполнено оптически неоднородной средой так, что в каждой точке скорость распространения света есть функция . Согласно принципу Ферма, свет идет из одной точки в другую по той кривой, по которой время прохода будет минимальным.

Если линия, соединяющая точки и задается так:

БИЛЕТ 29. Функционалы от функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Для простоты изложения остановимся на исследовании на экстремум следующего функционала.

- граница области .

.

Функционал будем считать дважды непрерывно дифференцируемым по совокупности переменных .

, , , .

- дважды непрерывно дифференцируема в области .

Используя формулу Эйлера, выделяем главную линейную часть, получаем первую вариацию этого функционала.

Проводя элементарные преобразования для двойных интегралов и используя граничные условия, получаем:

Аналогично одномерному случаю доказывается следующая лемма:

Лемма.

Если и , , то .

- экстремаль: .

(Уравнение с частными производными 2-го порядка, уравнение Остроградского).

Пример 1.

Необходимое условие:

задача Дирихле.

Пример 2.

Необходимое условие:

- задача Пуассона.

БИЛЕТ 30. Условный экстремум. Изопериметрическая задача. Необходимое условие.

Требуется найти экстремум функционала при условии, что другой функционал имеет заданное значение . Предполагается, что функционалы и дифференцируемы в рассматриваемом банаховом пространстве.

Лемма 1.

Если функционал достигает экстремума в точке при условии и не является экстремалью функционала , то для любого , удовл.

, , , .

По условию леммы

Так как - точка условного экстремума для функционала , то достигает экстремума в точке при условии .

По определению производная Гато

по теореме о существовании неявной функции , причем , .

Получаем имеет экстремум при .

Лемма 2.

Если линейный функционал обращается в ноль на тех же элементах, на которых обращается в ноль линейный функционал , то существует: .

Если , то утверждение леммы очевидно.

Если , то .

По условию:

где .

Теорема 1 (Эйлера).

Пусть кривая реализует экстремум функционала при условии , причем не является экстремалью , и и дифференцируемы в точке , тогда является экстремалью .

Доказательство.

Из условий теоремы следует, что при любом допустимом приращении . Кроме того, функционалы дифференцируемы является экстремалью .

Таким образом, чтобы решить изопериметрическую задачу, нужно найти общее решение уравнения Эйлера для функционала , где произвольные постоянные и параметр определяются из граничных условий и условий связи .

Теорема 2.

Если реализует экстремум дифференцируемого функционала в точке при условии , причем не является экстремалью ни одного из , и линейно независимы, то является экстремалью следующего функционала: (без доказательства).

Пример (задача Дидоны).

- при условии .

(первый интеграл интеграл уравнения Эйлера (интеграл энергии))

- дуга окружности

Проходит через точки , . Длина дуги равна , .