![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Экзаменационные вопросы
- •Скорость точки при векторном и координатном способе задания движения.
- •Ускорение точки при векторном и координатном способе задания движения.
- •Естественный способ задания движения точки.
- •Угловая скорость подвижного трехгранника, относительно другого трехгранника
- •Определение вектора угловой скорости подвижного трехгранника на оси этого подвижного трехгранника.
- •Определение вектора угловой скорости подвижного трехгранника на оси этого подвижного трехгранника.
- •1) Мгновенное поступательное движение
- •1). Поступательное движение атт.
- •2). Вращение атт вокруг неподвижной оси.
- •1). Нерастяжимая нить.
1) Мгновенное поступательное движение
2).
3).
4). Распределение скоростей в диске, катящемся по неподвижной плоскости без проскальзывания.
Скорость
направлена по касательной к направлению
движения.
Циклоида.
БИЛЕТ 14.
Пусть
-
неподвижный трехгранник с
.
-подвижный
с
-вектор
угловой скорости, угловая скорость в
подвижной СК относительно неподвижной
СК.
Вектор
и
,
-
постоянны.
.
Таким образом:
.
, где
-производная
от вектора
относительно
неподвижного трехгранника.
Локальная
производная:
-
производная вектора
относительно
подвижной СК.
Полная
производная:
+
-Формула
Бура.
-
производная вектора
относительно неподв. СК.
Полная
производная вектора
равна
сумме локальной производной вектора
и
векторного произведения
.
Теорема о сложении скоростей:
Сложное движение материальной точки
Сложным движением материальной точки называется движение, которое складывается из движения точки относительно подвижной с.к. и движения точки вместе с подвижной с.к.
Движение точки относительно неподвижной с.к. называется абсолютным движением.
Движение точки относительно подвижной с.к. называется относительным движением.
Движение точки с подвижной с.к. называется переносным движением.
Если
радиус-вектор
определяет положение точкиМ
по
отношению к системе координат
,
радиус-вектор
определяет
положение начала системы координат
в системе
,
а радиус-вектор
определяет
положение точкиМ
в
системе координат
,
то
Пусть
координаты точки в подвижной системе
координат будут
тогда
где
-
единичные векторы осей подвижной системы
координат. По определению абсолютная
производная радиуса-вектора по времени
будет абсолютной скоростью точки.
Следовательно, дифференцируя равенство
по времени, найдем абсолютную скорость
точки
Так
как вектор
определен в подвижной системе координат,
то для нахождения абсолютной производной
от него воспользуемся формулой
представляет
собой относительную производную от
по времени.
-
скорость точки с относительной
с.к.-относительная скорость
-скорость
точки относительно неподвижной с.к.-
абсолютная скорость точки
Переносной скоростью называется абсолютная скорость точки принадлежащей подвижной с.к., в которой в данный момент находиться точка.
Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме скорости точки относительной и переносной.
БИЛЕТ 15.
Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.
Под переносным, движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.
-
скорость точки с относительной
с.к.-относительная скорость
-скорость
точки относительно неподвижной с.к.-
абсолютная скорость точки
-переносной
скоростью называется абсолютная скорость
точки принадлежащей подвижной с.к., в
которой в данный момент находиться
точка.
Ускорение точки принадлежащей подвижной с.к. и находящаяся в данный момент там же где находиться точка M – переносное ускорение.
-локальная
производная относительно скорости.
Относительным ускорением называется ускорение точки относительно подвижной с.к.
-абсолютное
ускорение
Абсолютным ускорением называется ускорение точки относительно неподвижной с.к.
Теорема о сложении ускорений
Абсолютное ускорение равно геометрической сумме переносного, относительного и добавочного (ускорения Кориолиса) ускорений.
Движение
вокруг осиz
– переносное движение
Движение по трубе вдоль оси y – движение относительное
Суперпозиция или наложение даст нам движение абсолютное.
Иллюстрация к теореме о сложении скоростей.
Иллюстрация к теореме о сложении ускорений.
БИЛЕТ 16.
Три закона Ньютона.
I Если на м.т. не действуют никакие силы, то т-ка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Замечание: Движение относительно!
Существуют такие системы отсчета, в которых 1 з-н Ньютона выполняется, такие системы отсчета называются инерциальными.
II Если на т-ку действует сила, то она создает ускорение пропорциональное этой силе
III Если на материальная т-ка 1 действует материальную на т-ку 2 с силами F12, то 2-ая точка действует на 1 точку с силами F21 = - F21
Некоторые вопросы о силе
Определение: Сила – это количественная мера взаимодействия материальных тел, это вектор, который определяется величиной, направлением и точкой приложения.
Аксиомы:
Силы приложенные в одной точке можно складывать по правилу параллелограмма
Силы можно переносить вдоль линии действия
Следствие:
Система сил, линия действия которых пересекаются, можно заменить одной силой приложенной к точке пересечения линий действия сил, и такая система пересекающихся сил приводиться к равновесию и называется приводящей к равнодействующей.
Прямая и обратная задача динамики точки.
Рассмативается
свободная материальная точка массой
,
на которую действуют силы, сумма которых
обозначим:
.
По
второму закону Ньютона:
.
-
дифференциальное уравнение движения
точки.
-
инерциальная система координат.
1). Прямая задача.
Дано:
,
Нужно
найти
то есть
Решается путем интегрирования дифференциальных уравнений.
2). Обратная задача.
Дано:
.
Определить силы, под действием которых тело движется.
Если
продифференцировать
БИЛЕТ 17.
Момент силы относительно точки.
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.
По
определению векторного произведения
,
,
-
правая тройка векторов.
параллелограмма.
-
плечо силы.
параллелограмма
=
Плечо силы- длина перпендикуляра, опущенного из той точки, относительно которой вычисляется момент силы, на линию действия этой силы.
Вектор
момента относительно точки
перпендикулярен плоскости векторов
,
,
Момент силы зависит от точки, относительно которой вычисляется момент. Момент силы может быть равен нулю, если точка, относительно которой вычисляется момент, лежит на линии действия силы.
Поместим
начало системы координат в точку
или в любую другую точку.
+.
Проекции
вектора момента силы
относительно точкиO.
на оси системы координат с началом в
точкеO.
Момент силы относительно оси.
Момент
силы относительно оси - произведение
проекции силы на плоскость, перпендикулярную
оси, на плечо проекции. Скалярная
величина.
БИЛЕТ 18.
Главный вектор и главный момент системы сил.
Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы.
-
сумма векторов элементов всех сил,
взятых относительно точки O.
.
При совершении этой операции допускается
перенос всех векторов в точку O.
При изменении точки приведения системы сил главный вектор системы сил не изменяется, а главный момент меняется.
Изменение точки приведения:
.
Главный
момент системы относительно точки
равен главному моменту системы
относительно точки
+
моменту главного вектора относительно
точки
,
если бы этот главный вектор был приложен
к точке
.
Условие равновесия системы сил: система сил или система АТТ, на которую действует система сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда равны нулю главный вектор системы сил и главный момент системы сил.
Это условие сохраняется при изменении точки приведения.
БИЛЕТ 19.
Парой сил называется система двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Линии действия этих сил параллельны. Расстояние межу этими линиями действия сил называется плечом пары.
Плоскость, в которой лежат прямые называется плоскостью пары.
Теорема: момент пары сил не зависит от точки, относительно которой этот момент вычисляется. Момент пары сил равен моменту одной из сил, составляющих пару, относительно точки приложения другой.
Момент
пары сил:
Не
зависит от выбора точки
перпендикулярен
плоскости пары.
Момент
пары сил полностью характеризует пару.
Как расположены плоскости для эквивалентной пары сил?- Они параллельны.
Чему равен главный вектор пары сил? = 0.
БИЛЕТ 20.
Все
точки системы находятся под действием
силы.
-
силы, действующие на точки системы со
стороны внешних по отношению к этой
системе тел.
-
силы, действующие между точками системы.
-
сила, действующая на
-ю
точку со стороны
-
й точки системы.
По
третьему закону Ньютона:
.
Они равны по модулю и действуют по
прямой, их соединяющей, в противоположные
стороны.
Тогда
для
-й
точки системы:
-
слева.
=
.
Главный
вектор внутренних сил,
потому что все силы встречаются парами
равными по величине и противоположными
по направлению.
БИЛЕТ 21.
Количеством движения материальной точки называется сумма произведений масс на их скорость.
-
вектор количества движения.
Все
эти точки находятся под действием силы.
-
силы, действующие на точки системы со
стороны внешних по отношению к этой
системе тел.
-
силы, действующие между точками системы.
-
сила, действующая на
-ю
точку со стороны
-
й точки системы.
По
третьему закону Ньютона:
.
Они равны по модулю и действуют по
прямой, их соединяющей, в противоположные
стороны.
Тогда
для
-й
точки системы:
-
слева.
=
.
Главный
вектор внутренних сил,
потому что все силы встречаются парами
равными по величине и противоположными
по направлению.
-
теорема об изменении количества движения
системы материальных точек в инерциальной
системе отсчета.
Производная по времени от вектора количества движения равна главному вектору внешних сил.
,
,
.
Система материальных точек называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы; и если на систему не действуют внешние силы, то вектор количества движения (импульса) есть величина постоянная.
БИЛЕТ 22.
Центр
масс системы материальных точек-
это точка, полжение которой в пространстве
опредляется вектором
.
.
Координаты
центра масс:
-
радиус-вектор относительно центра масс.
,
но
Связь вектора количества движения со скоростью центра масс:
,
где
-
масса всей системы.
-
скорость центра масс.
Тогда из теоремы изменения количества движения следует теорема о движении центра масс:
Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил.
Если
=
0, то центр масс системы находится в
покое или в состоянии равномерного
прямолинейного движения.
БИЛЕТ 23.
Кинетическим
моментом системы материальных точек
относительно точки
называется сумма векторных произведений
радиус-векторов относительно точки
на импульс точек.
Инерциональная с.о.
Пример:
Теорема об изменении кинетического момента.
Производная
по времени в инерциальной системе
отсчета от вектора кинетического момента
системы относительно точки
равна главному моменту внешних сил в
двух случаях:
1).
Если точка
неподвижна (
=0)
2).
Точка
совпадает с центром масс.
(
)
Главный момент системы внутренних сил равен нулю, потому что силы встречаются парами, равными по величине, противоположными по направлению и направленными по одной прямой.
Таким образом,
,
-центр
масс.
,
-
неподвижная точка.
БИЛЕТ 24.
Мощностью
силы
,
приложенной к точке
называется скалярное произведение силы
на скорость в точке
.
Элементарная
работа силы
на
элементарном перемещении точки
:
Теорема: (об изменении кинетической энергии системы)
Производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. Приращение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на точки системы.
Доказательство:
Система
материальных точек.
(внутр.и
внешн)
(так
как
)
Мощность момента пары сил, приложенных к АТТ.
Пусть
есть АТТ.
=
=
мощность пары можно записать так:
=
произведение
угловой скорости на момент этой пары.
БИЛЕТ 25.