Bescennaya_i_dr.Grafiki_funkcii

При этом в качестве параметра t

может выступать время, угол поворота и т.д.

К параметрическому заданию кривой L

прибегают в тех случаях, когда трудно

или вообще невозможно выразить явным образом y

как функцию аргумента x ,

то есть y=f(x). Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Декартовым листом называется кривая L , уравнение которой имеет

вид

x3 + y3 − 3axy = 0 .

или (1 + t3 )x = 3at , то есть

Положим здесь

y = tx , тогда

x3 + t3 x3 − 3atx 2 = 0

x =

3at

, y = tx =

3at 2

. Итак, параметрические уравнения декартова листа имеют

+ t3

1 + t3

1

вид: x =

3at

, y =

3at 2

, где − ∞ < t < +∞, a > 0 .

1 + t3

1 + t3

Кривая изображена на рис. 3.35. Она имеет асимптоту y=-a-x.

3

3

Y

M

a;

a

Y

2

2

-a

0

x

0

2a

x

-a

Рис. 3.35

Рис. 3.36

Пример 2.

Циссоидой

называется

кривая

L, заданная

уравнением

x3 + xy2 − 2ay2

= 0 . Полагая здесь x=ty, получим ее параметрические уравнения:

x =

a

; y =

a

t(1 + t 2 )

.

1 + t 2

а)

функция

ϕ(t) нечетная, а ψ(t) - четная, то есть, если

ϕ(−t) = −ϕ(t)

и

ψ(−t) = ψ(t) , то график функции (1) симметричен относительно оси OY.

б)

функция

ϕ(t) - четная, ψ(t) - нечетная, то есть, если

ϕ(−t) = ϕ(t)

и

ψ(−t) = −ψ(t) , то график функции (1) симметричен относительно оси OX.

3.

Найти точки пересечения кривой с осями координат.

4.

Исследовать поведение x и

y при t → +∞ , а также при t → α, t → β , если

α < t < β .

5.

Составить таблицу значений для параметра t, переменных x и y.

6.

По координатам (x, y) полученных точек построить кривую.

Пример 3. Построить кривую, заданную уравнениями:

x = arcsin t

y = ln(1 − t 2 ).

1. Так как 1 − t 2

> 0 , то t 2 < 1 и

− 1 < t < 1. Тогда из первого уравнения следует,

что

− π < x < π ; а из второго − ∞ < y < 0 . Итак, − 1 < t < 1, − π < x < π , − ∞ < y < 0 .

2

2

2

2

2.

Так

как arcsin(− t ) = − arcsin t и

ln[1 − (− t 2 )]= ln(1 − t 2 ),

то кривая

симметрична относительно оси OY. Следовательно, достаточно построить кривую

при

0 ≤ t < 1.

3.

Если

x=0, то arcsin t = 0 , то есть

t=0. Тогда

y=0. Таким образом, кривая

проходит через начало координат.

4. Если

t → 1, то x → π и

y → −∞ . Следовательно, прямая

x = π есть

асимптота кривой.

2

2

5.

Составляем таблицу значений

t

0

1

2

3

→ 1

2

2

2

x

0

π

π

π

→ π

6

4

3

2

y

0

ln

3

− ln 2

− 2ln 2

→ −∞

4

Кривая изображена на рис. 3.37.

Y

Y

-π/2

0

π/2

x

0

x

Рис. 3.37

Рис. 3.38

точки M плоскости можно определить парой чисел ρ и

ϕ , где ρ - длина радиуса-

вектора точки М, то есть

r =

OM

, а ϕ - угол между осью ρ и радиусом-вектором

точки М. Таким образом, M(ρ,ϕ). Числа

r,

j

называются полярными

координатами точки М.

Если декартову систему

XOY

совместить с полярной так, как на рис. 3.40, то

нетрудно видеть, что

x = r × cos j,

y = r × sin j.

Итак, связь между декартовыми координатами

x, y

точки М и ее полярными

координатами r, j выражается формулами

x = r × cos j

(1),

0 £ j < 2p

или

- p < j £ p

где

0 £ r < +¥ .

y = r × sin j

0 £ r < +¥

Решив уравнение (1)

относительно r и

j, получим формулы перехода от

декартовых координат x, y

к полярным координатам r, j

ρ2

= x 2 + y2

(2)

ϕ =

y

tg

.

x

-R 0

R

x(ρ)

0 1

4

ρ

Рис. 3.41

Рис. 3.42

Так как x 2 + y2 = r2 , то r2 = R 2 или

r = R - уравнение этой окружности в

полярных координатах.

Полагая

x 2 + y2 = ρ2

и

x = r × cos j,

запишем уравнение окружности

x 2 + y2 − 4x = 0 в виде ρ2

− 4ρ cos ϕ = 0 или

ρ = 4cos ϕ . Окружность ρ = 4cos ϕ

ϕ, ρ .

2

2

значений

ϕ

0

± π

± π

± π

± π

6

4

3

2

ρ = 4cos ϕ

4

2

0

2 3

2

2

Полагая

x = ρ cos ϕ ,

y = ρ sin ϕ ,

из

уравнения

x 2 − y2 = 1 получаем

ρ2 cos2 ϕ − ρ2 sin 2 ϕ = 1,

ρ2 (cos2 ϕ − sin 2 ϕ)= 1, ρ2 cos 2ϕ = 1,

ρ =

1

.

cos

2ϕ

Таким образом, полярное уравнение равнобочной гиперболы x 2 − y2

= 1 имеет вид

ρ =

1

. Область определения этой функции найдем из условия

cos 2ϕ > 0 , то

cos 2ϕ

есть

− π < 2ϕ < π или

− π < ϕ < π .

2

2

4

4

Составим таблицу значений

ϕ

0

± π

± π

± π

12

8

6

ρ

1

1,1

1,25

1,4

0

1

ρ

0

a ρ

Рис. 3.43

Рис. 3.44

Так как x 2 + y2 = r2

и

x 2 - y2

= r2 × cos 2j , то из уравнения

(x 2 + y2 )2 = a 2 (x 2

- y2 ) имеем r4

= a 2r2 cos 2j или

r2 = a 2 cos 2j .

ρ = a

,

Таким образом,

cos 2ϕ

a >

0.

Эта

кривая называется

лемнискатой

Бернулли. Здесь

- π £ j £ π . Составим таблицу значений и построим кривую

(рис. 3.44).

4

4

ϕ

0

± π

± π

± π

± π

12

8

6

4

ρ

а

≈ 0,9a

≈ 0,8a

≈ 0,7a

0

Обобщенная полярная система координат.

r=f(j), где

r

В полярной системе координат кривая

L задается уравнением

принимает неотрицательные значения, то есть

0 ≤ ρ < +∞ . Это ограничение не

позволяет построить кривую L полностью. Причина здесь в следующем.

В декартовой системе координат

XOY кривая

L задается уравнением

F(x,y)=0 с

двумя переменными. Это уравнение может порождать две функции

y = f1 (x) и

y = f2 (x) .

x 2 + y2

= 1 соответствует окружность с центром в точке

Примеры. Уравнению

y =

О(0,0) и радиусом R=1. Решив его относительно

Y, получим

1 - x 2 и

y = - 1 - x 2

. Графиком первой функции является верхняя,

а второй функции –

нижняя полуокружности.

Аналогично, уравнение равнобочной гиперболы

x 2 - y2

=1 порождает пару

y =

функций

1 - x 2

и

y = - 1 - x 2 ,

графиками

которых

являются

соответственно верхние и нижние полуветви гиперболы.

Подобная ситуация возможна и в тех случаях, когда

кривая

L задана

уравнением

r=f(j) в полярной системе координат. Чтобы построить кривую

L

полностью, необходимо допустить, чтобы

r принимало отрицательные значения.

Примеры. Ранее мы получили для равнобочной гиперболы

x 2 - y2

=1 ее

1

. Отсюда следует, что ρ =

1

уравнение в полярной системе r2 =

и

cos 2j

cos 2ϕ

ρ = −

1

. Графиком второй функции будет левая ветвь гиперболы.

cos 2ϕ

B2

A1

M1

-a

0

a

ρ

0

ρ

M2

A2

B1

Рис. 3.45

Рис. 3.46

Замечание. В обобщенной полярной системе точки

M1 (ρ, ϕ)

и M2 (− ρ, ϕ)

симметричны относительно полюса О (рис. 3.46).

Пример. Построить точки

p

p

p

и B2

- 3;-

p

A1 2;

и

A2 -

2;

;

B1 3;-

2

4

4

2

(рис. 3.46).

Схема построения кривых в обобщенной полярной системе координат.

1. Уравнение кривой

F(x,y)=0

записать в полярных координатах,

полагая

x = r × cos j ,

y = r × sin j,

x 2 + y2 = r2 .

2. Получив уравнение

r = f (j) , надо найти область изменения аргумента j и

функции r.

r

j. При этом рекомендуется изменение

3. Составить таблицу значений

и

аргумента j проводить с постоянным шагом h, например h =

1

p

или

h =

1

p и

4

8

Из формул перехода

x = r × cos j , y = r × sin j

следует,

что

x 2

+ y2 = r2 и

y

= tgj . Подставив

эти

значения

в

уравнение

кривой,

получим

x

ln r2 - 2arctg(tgj)× ln a = 0 или

2ln ρ = 2ϕ ln a ,

ln r = ln a ϕ .

r = a ϕ , где

a > 0.

Эта

кривая

называется

гиперболической

спиралью.

Здесь

- ¥ < j < +¥ и ρ > 0 .

Составим таблицу значений, полагая здесь a = 2,

h =

1

p .

8

ϕ

0

1

p

2

p

3

p

4

p

5

p

6

p

7

p

8

p

8

8

8

8

8

8

8

8

ρ = 2ϕ

1

π

π

2

π

3

π

4

π

5

π

6

π

7

π

8

2 8

2

8

2

8

8

2

8

8

2

8

2

8

2

2

Так как

π » 0,4 и

20,4

»1,3 , то получим новую таблицу

8

ϕ

0

π

π

3 p

π

5 p

3 p

7 p

π

8

4

8

2

8

4

8

ρ = 2ϕ

1

≈ 1,3

≈ 1,7

≈ 2,2

≈ 2,3

≈ 3,8

≈ 4,8

≈ 6,2

≈ 8,4

Для построения кривой делим плоскость на секторы с углами

π и на полученных