1. Систематические и случайные ошибки

Измеряя какую-нибудь физическую величину, не удается получить ее истинное значение. Поэтому необходимо указать, насколько полу­ченный результат может быть близким к истинному значению, т.е. указать, какова точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывают приближенную ошибку измерения.

Оценивать ошибки необходимо, так как, не зная их величину, сде­лать определенных выводов из эксперимента нельзя.

Чаще всего с понятием "точность экспериментальных данных" связы­вают величину максимально возможной ошибки. Так, например, если ут­верждают, что точность полученных значений плотности 0,2%; то это значит, что величина максимально возможной ошибки в этих данных не превышает 0,25%.

Источники ошибок экспериментальных данных многочисленны, и здесь в первую очередь следует указать на имеющиеся всегда погрешности приборов, используемых при измерениях, несовершенство методики изме­рения, недостаточно строгое поддержание требуемого режима во время опыта, а также отдельные ошибки самого экспериментатора при работе на установке.

Ошибки измерения принято делить на систематические и случайные.

К систематическим ошибкам относят такие, которые получаются всегда на данной установке; они имеют одну и ту же величину, и в окончательный результат измерений вносят одну и ту же погрешность.

Систематические ошибки лучше всего могут быть обнаружены при срав­нивании экспериментальных данных, полученных на различных установках. Некоторые из них могут быть устранены, а другие устранить невозможно. Так, например, ошибка величиной не более 0,04 °С при измерении температуры термометром сопротивления устранена быть не может, так как гарантировать большую точность измерения температуры (при t = 500°С) просто невозможно.

Случайные ошибки проявляются в так называемом разбросе экспери­ментальных данных. Это означает, что при многократном измерении одной и той же величины на одной и той же установке и с теми же приборами (манометрами, термометрами и т.д.) получаются несколько отличающиеся друг от друга значения.

Влияние случайных ошибок на окончательный результат Измерения . мокко значительно снизить, многократно повторяя измерения и выбирая в качестве окончательного среднее значение из многих полученных.

Полностью исключить случайные ошибки, т.е. полностью избавиться от разброса экспериментальных данных, невозможно: следует стремиться к более строгому поддержанию режима при измерении и тщательному вы­полнению отсчетов по приборам.

2. Максимально возможная ошибка одного измерения

Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину определяемую при помощи формулы. Разбе­рем этот вопрос в общем виде.

Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допус­тим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:

w=f(x,y,z)

(80)

Если бы ошибки в измерении величин x,y и z были бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:

(81)

В действительности, ошибки в измерения величин x, y и z не будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dy и dz действительно конечные величины ошибок Δx, Δy и Δz.

Итак, получаем:

(82)

где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой вели­чины w;

Δx, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z

По формуле (82) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (82) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (82) на W, т.е.:

(83)

Формула (83) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной за­висимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (83) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различ­ных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·xα · yβ · zγ

(84)

Причем α, β и γ могут быть любыми положительными или отрица­тельными числами. Заметим, что формула (84) охватывает случаи, опи­санные формулами (80) и (81).

Для функциональной зависимости (84) можно получить более конкрет­ное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (83):

(85)

Подставив в (83) эти значения и значение w по (84), получим:

(86)

Откуда:

(87)

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

(88)

Окончательно получаем:

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz|

(89)

Эта формула еще больше упрощается, если α, β и γ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

δw=|δx|+|δy|+|δz|

(90)

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая величина w является произведением постоянной и измеряемых вели­чин x, y и z в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

w = x + y + z

(91)

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (83) получим:

(92)

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (92).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (92):

(93)

Тогда для функциональной зависимости (92) получим формулу для рас­чета ошибки:

(94)

Вполне естественно, что формулы (83) - (94) могут быть распростра­нены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (89), (90) и (94) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

w= x – y

(95)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вслед­ствие погрешностей этих величин искомое значение w может получи­ться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной по­грешностью:

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

В таблице расчетных формул 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены числен­ные коэффициенты, а через x, y, z и υ - величины, непосред­ственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δz и δυ - от­носительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально воз­можная относительная ошибка искомой величины.

3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.

Выше уже говорилось о том, что при проведении многократных изме­рений заданной величины при одних и тех же параметрах случайные ошибки проявляются в разбросе получаемых данных.

Если проведено несколько измерений искомой величины, то вполне естественно, что наиболее достоверным результатом является средне­ арифметическая величина из всех измерений. Используя в качестве окончательного результата это среднеарифметическое значение, можно в значительной мере снизить влияние случайных ошибок при измерениях. Естественно, что чем больше произведено измерений, тем с большей уверенностью исключаются случайные ошибки, и в пределе при бесконечно большом числе измерений окончательный результат будет содержать лишь систематическую ошибку.

Абсолютная случайная ошибка при нескольких измерениях величины вычисляется по формуле:

(96)

В этой формуле n - число измерений, w_cp - среднеарифмети­ческое значение из всех полученных величин w т.е.:

wcp=Σw/n

(97)

Ошибка, вычисляемая по (96), называется квадратичной. Из самого вида (96) ясно, что при n → ∞ ошибка Δw_кв → 0.

Однако функция (96) такова, что увеличение количества измере­ний с 2 до 5 сильно снижает эту ошибку; с 5 до 10 - несколько меньше, а увеличение количества измерений, например с 20 до 30, уже очень мало меняет величину этой ошибки.

Заметим, что для вычисления рассматриваемой ошибки необходимо иметь полученные в результате эксперимента величины w, что не всегда требовалось для оценки ошибки отдельного измерения.

Таблица расчетных формул 1

Обозначения	Расчетная формула искомой величины	Формула для определения максимально возможной относительной ошибки
а	w = A · x · y · z	δw = δx + δy + δz
б	w = A · xα · yβ · zγ	δw = αδx + βδy + γ δz
в		δw = αδx + βδy + γ δz + lδυ
г		δw = δx + δy + δz + δυ
д	w = x ± y ± z
е	w = Ax ± By ± C z
ж
з
и	w = A ± Bx
к	w = A lnx
л	w = A eαx	δw = α x δx

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1.

Теплофизические свойства сухого воздуха (В=760 мм рт. с.)

t, °С	λ∙102, Вт/(м∙К)	ν∙106, м2/с	Pr
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 160 200 250 300	2,44 2,51 2,59 2,67 2,76 2,83 2,90 2,96 3,05 3,13 3,21 3,34 3,49 3,64 3,78 3,93 4,27 4,60	13,28 14,16 15,08 16,00 16,96 17,95 18,97 20,02 21,09 22,10 23,13 25,45 27,80 30,09 32,49 34,85 40,61 48,33	0,707 0,705 0,703 0,701 0,699 0,698 0,696 0,694 0,692 0,690 0,688 0,686 0,684 0,682 0,681 0,680 0,677 0,674