- •Глава I. Производная и ее приложения. § 1. Формулы дифференцирования.
- •1.1. Справочный материал.
- •1.2. Таблица производных элементарных функций.
- •1.7. Производная сложной функции.
- •Задачи раздела I.
- •Задачи раздела II.
- •Решение задач раздела I.
- •Ответы к задачам раздела II.
- •§ 2. Исследование функции на монотонность.
- •2.1 Справочной материал.
- •2.2. Схема исследования функции на монотонность.
- •Ответ: убывает на (-; 2),
- •Ответ: возрастает на промежутке ; убывает на промежутке . § 3. Исследование функции на экстремум.
- •3.1. Справочный материал.
- •3.2 Схема исследования функции на экстремум.
- •Ответ: экстремум не существует.
- •§ 4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
- •4.1. Справочный материал.
- •4.2 Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции .
- •Ответ: 8 м и 16 м. Задачи раздела I.
- •Задачи раздела II.
- •Решение задач раздела I.
- •Ответ: .
- •Ответ: возрастает для всех хr.
- •Убывает на (-7/3; 1)
- •Ответ: возрастает на (0; 3), убывает на (3; 6).
- •Ответ: экстремумов нет.
- •11. Квадрат со стороной 9.
Глава I. Производная и ее приложения. § 1. Формулы дифференцирования.
1.1. Справочный материал.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Если аргумент изменяется от фиксированного значения х до нового значения , то значение функции изменяется отдо.
Определение 1.1. Дифференциальным отношением называется отношение приращения функции к приращению аргумента
Определение 1.2. Дифференциальное отношение измеряет среднюю скорость изменения функции y=f(x).
Определение 1.3. Производной функции y=f(x) в некоторой точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (если этот предел существует)
Определение 1.4. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Производную обозначают символами
1.2. Таблица производных элементарных функций.
Пример 1.1. Вычислить производные:
по формулам где
(по формуле , гдеa=2)
(по формуле , гдеa=10)
1.3. Производная суммы.
Определение 1.5.Производная суммы двух дифференцируемых в точке x функций u(x) и v(x) существует в этой точке и вычисляется по формуле:
или короче
(1)
Пример 1.2. Вычислить производные:
=2-0=2 (по формулам ,,)
(по формулам ,,)
1.4. Производная произведения.
Определение 1.6.Производная произведения двух дифференцируемых в точке x функций u(x) и v(x) существует в этой точке и вычисляется по формуле:
или короче
(2)
Утверждение 1.1 Если функция u=u(x) дифференцируема в точке х, а С – постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
(3)
или короче: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Доказательство самостоятельно
Пример 3. Найти :.
Решение.
.
Была использована формула 4:
1.5. Производная частного.
Определение 1.6 Производная частного двух дифференцируемых в точке x функций u(x) и v(x) при условии, что функция v(x) не равна нулю в этой точке, существует в этой точке и вычисляется по формуле:
или короче
(4)
Пример 4. Найти значение производной функции в точкех = 1:
Решение.
Ответ:
1.6. Понятие сложной функции.
Пример 5. Пусть требуется вычислить значение функции в некоторой фиксированной точкеx. Для этого нужно:
1) вычислить ;
найти значение синуса при полученном значении .
Иными словами, сначала надо найти значение функции , а затем, аргументu ( u =g(x)) в этом случае называют промежуточным, а x – независимой переменной.
Пусть функция u=g(x) определена на некотором множестве X, а функция y=f(u) – на множестве значений функции u=g(x), тогда на множестве X определена функция y=f(g(x)), называемая сложной функцией.
Пример 6. Рассмотрим функцию . Чтобы найти значение этой функции в фиксированной точкех, нужно сначала найти значение функции g(x) = 1 - x2, а потом найти значение . В этом примере, гдеu = 1 - x2.
Пример 7. Составить сложную функцию , если.
Решение. .
1.7. Производная сложной функции.
Если функция u=g(x) дифференцируема в точке x, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u=g(x), то сложная функция y=f(g(x)), дифференцируема в точке x, причем:
Короче эту формулу записывают в виде:
Пример 8. Найти производные функций
а)
б)
в)
г)
д)
Решение. а) Здесь
Значит
Решение. б) Так как то.
Решение. в) .
Решение. г)
Решение. д) .
Пример 9. Найти производные функций
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Решение. а)
Решение. б)
Решение. в) Прежде, чем дифференцировать функцию, целесообразно упростить ее варажение, применяя формулы логарифмирования:
. Теперь
Решение. г) .
После преобразований. получим:
Решение. д)
Решение. е) По правилу дифференцирования сложной функции
Решение. ж) При дифференцировании неявно заданной функции учитываем, что y есть функция от x:
откуда