Методичка №3924 радиоавтоматика

Заданный коэффициент усиления

K K1K2K3 20 4 0,5 40.

Следовательно, система по примеру 2 устойчива, так как е коэффициент усиления меньше критического (примерно в 3 раза).

3.2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики (годографы) цепочки типовых структурных звеньев

При анализе устойчивости и качества переходного процесса в системах автоматического управления не всегда требуется использовать аппарат критериев устойчивости или вычислять параметры переходного процесса. Бывают такие ситуации, когда, обладая определенным опытом или навыками, можно и без сложных вычислений быстро ответить на эти вопросы, по крайней мере, в первом приближении. Например, иногда можно без всяких вычислений сказать, что система устойчива (или неустойчива), посмотрев на ее годограф Найквиста, который и является амплитудно-фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы. Естественно, для этого необходимо хорошо представлять себе годографы всех типовых структурных звеньев, а при их последовательном соединении – правило построения суммарного годографа. В табл. 3 приведены передаточные функции и годографы наиболее часто встречающихся типовых структурных звеньев.

Рассмотрим цепочку из n структурных звеньев (рис. 2).

Рис. 2

Передаточная функция всей цепи

y( p)

K ( p) x( p) K1( p)K2 ( p)K3 ( p)...Kn ( p).

Соответственно, в частотной области

K( ) K1( )K2 ( )K3( )...Kn ( ).

11

или, переходя к модулю и фазе

Как известно, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а фаза – сумме фаз, т.е.

Пользуясь этими простыми правилами и зная форму годографов каждого звена, можно качественно и быстро зарисовать форму годографа цепочки последовательно включенных звеньев. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Имеется 3 последовательно включенных звена: 2 интегрирующих и одно инерционное.

Зарисуем годографы каждого из них:

Пока нет навыка зарисовки суммарного годографа, можно посмотреть модуль и фазу комплексного коэффициента передачи каждого звена на нулевой и на бесконечной частотах, а также динамику их изменения при возрастании частоты, а затем сложить фазовые сдвиги и перемножить модули коэффициентов передачи. Конкретно, для данного примера:

Складывая фазы, получаем:

Следовательно, годограф группы звеньев начинается на низких частотах в бесконечности под углом – (–180 ), т.е. слева по вещественной оси, а заканчивается на очень высоких частотах в начале координат, подходя к нему сверху (–270 ). В промежутке между 0 и все три звена имеют плавное снижение модулей усиления, а фазовый сдвиг у первых двух звеньев неизменен (по –90 ), а у инерци-

онного звена плавно нарастает от 0 до –90 .

С учетом всего сказанного выше, возможна лишь одна форма годографа данной группы звеньев (рис. 3)

Im

Рис. 3

Если предположить, что эта группа звеньев охвачена отрицательной обратной связью, т.е. представляет собой замкнутую автоматическую систему, то, пользуясь критерием Найквиста, можно ска-

13

зать, что эта система неустойчива. Особенностью ее является то, что она будет неустойчива при любых коэффициенте усиления K K1K2K3 и постоянных времени T1,T2,T3 , так как годограф всегда

проходит выше точки (–1) . Изменяя K , T1,T2,T3 , можно изменить

лишь форму и масштабы кривой, но все равно годограф будет располагаться в верхнем левом квадранте и охватывать точку (–1). Такие и подобные им системы, неустойчивые при любых значениях параметров входящих в них звеньев, называют структурно неустойчивыми. Это именно тот случай, когда одного взгляда на структуру системы и тем более на ее годограф достаточно для заключения об устойчивости, и нет никакой необходимости проводить численный анализ по критериям устойчивости.

Пример 2. Три инерционных звена и одно идеальное дифференцирующее:

Зарисуем отдельно годографы всех четырех звеньев:

На частотах, равных нулю, модули коэффициентов передачи инерционных звеньев-константы, фазовые сдвиги отсутствуют. У диффе-

ренцирующего звена модуль равен нулю, фазовый сдвиг + 2 . Следова-

тельно, годограф данной цепи звеньев начинается из нуля в направ-

лении + 2 , т.е. вверх. На бесконечно больших частотах модули коэф-

фициентов передачи инерционных звеньев стремятся к нулю, а дифференцирующего – к бесконечности. Однако в произведении этих модулей не будет неопределенности, так как инерционных звеньев три, а дифференцирующее – одно. В результате модуль коэффициента пере-

14

координат под углом –180°, т.е. слева. В процессе увеличения частоты от 0 до движение точки по годографу должно осуществляться по часовой стрелке, так как все инерционные звенья плавно наращивают фазовый сдвиг в одну и ту же сторону.

Таким образом, годограф выходит из начала координат вверх по касательной к мнимой оси и, обойдя три квартала, войдет в начало координат слева по касательной к вещественной оси (рис. 4).

Рис. 4

Что касается модуля усиления на средних частотах, то, как следует из формулы

здесь имеются две тенденции – увеличение модуля за счет числителя и уменьшение за счет роста знаменателя. Однако числитель растет линейно, а знаменатель – нелинейно. Поэтому на низких частотах преобладает скорость роста числителя, а на высоких – знаменателя. Отсюда и такая форма годографа. Если данную цепь из 4-х звеньев охватить обратной связью и превратить в систему авторегулирования, то она будет устойчива при любых коэффициентах усиления и постоянных времени, так как годограф принципиально не может пересечь отрицательный отрезок вещественной оси и охватить точку ( –1) . Такие сис-

темы называются структурно устойчивыми.

15

3.3. Метод чередующихся корней

Метод чередующихся корней – это, по существу, приложение или следствие к критерию устойчивости Михайлова. Он позволяет, во всяком случае, для систем с характеристическими уравнениями до 5 порядка включительно, быстро произвести анализ устойчивости по критерию Михайлова без построения годографа Михайлова.

Как известно, по Михайлову система n-го порядка будет устойчива, если годограф характеристической частотной функции в диапазоне частот от 0 до последовательно против часовой стрелки обходит n квадратов комплексной плоскости (рис. 5).

Из рис. 5 видно, что если система устойчива, то годограф функ-

ции G(i ) поочередно пересекает вещественную и мнимую оси и не может подряд два раза пересечь одну и ту же ось. Именно проверка этого обстоятельства и составляет сущность метода чередующихся корней. Обратим внимание, в частности, на годограф при n = 5, где

0, 2, 4, – частоты пересечения вещественной оси, 1, 3 – мнимой

оси. Если вычислить значение всех этих частот и расставить их в ряд по порядку возрастания численных значений, то при устойчивой системе не могут оказаться рядом два числа с четными (пересечение вещественной оси) или с нечетными индексами (пересечение мнимой оси).

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть имеется система со структурой:

KpT1

K 200; T1 1c; T2 2c; T3 0,1c.

Характеристический полином данной системы

G( p) KpT1 (1 pT2 )2 (1 pT3)2

Переходим в частотную область:

Обозначим и вычислим коэффициенты:

a3 2T2T3 (T2 T3 ) 2,1 2 2 0,1 0,84c3; a4 T22T32 4 0,01 0,04c4.

Найдем частоты пересечения мнимой оси, для чего приравняем к нулю вещественную часть и найдем корни полученного уравнения.

Re( ) 0,04 4 4,81 2 1 0.

Заменим переменную:

0,04x2 4,81x 1 0; x1 119,924; x2 0,325.

Взяв только положительные значения частот, получаем:

Находим частоты пересечения вещественной оси:

Im( ) (204,2 2 0,84) 0,

17

откуда

Расположим все четыре частоты пересечения осей по порядку их возрастания и подчеркнем корни одного уравнения сплошной чертой, а другого – двойной:

Re( ) 0 , значит два раза подряд с ростом частоты пересекается мни-

мая ось. Система неустойчива. Теперь, исключительно ради интереса, можно нарисовать примерную форму годографа данной системы 4-го порядка (рис. 6):

Im

0,57

Re

10,92

Рис. 6

Условие Михайлова не выполняется. Значит, система неустойчива. Пример 2. В системе по примеру 1 изменим величину коэффициента усиления. Вместо K = 200 возьмем K = 25. Вычислим и запишем

новые коэффициенты характеристического уравнения:

Выписываем частоты в ряд, как прежде:

0, 0,57, 5,896, 10,95.

Корни чередуются. Правило чередующихся корней выполняется, следовательно, система устойчива. Можно нарисовать, как выглядит годограф Михайлова (рис. 7):

Im

0,57

= 0 10,95

Рис. 7

3.4. Метод коэффициентов ошибки

Идея метода очень проста: разложить передаточную функцию

Kx ( p) в ряд по степеням комплексной переменной p, а затем, записав

воператорной форме дифференциальное уравнение системы, обратным преобразованием Лапласа обеих его частей перейти к традиционной форме записи через производные.

Рассмотрим эту идею более подробно. Передаточная функция K x ( p) может быть записана по формуле

1

K x ( p) 1 K ( p) ,

но для удобства разложения в ряд ее необходимо представить в виде дробно-рациональной функции параметра р, т. е. в виде отношения

19