- •Колебания и волны
- •Обратная величина
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Лабораторная работа № 23 свободные электромагнитные колебания
- •Характеристика электромагнитных колебаний
- •Период затухающих колебаний т определится по формуле
- •Приведем другие выражения для измерения добротности ,
- •Описание установки и метода измерений
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Пусть эдс источника изменяется по гармоническому закону
- •Будем искать частное решение уравнения
- •Приведем другие выражения для добротности ,
- •Из формул (25.13) и (25.14) следует, что
- •Методика измерений
- •Задание
- •Колебательного контура и пунктов задания
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Бегущие волны описываются волновым уравнением
- •Описание установки
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Метод измерения
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Осциллографа оцл2-02 Краткое описание
- •Порядок работы
- •Литература
Пусть эдс источника изменяется по гармоническому закону
. (25.1)
Для замкнутого контура в каждый момент времени справедливо второе правило Кирхгофа, согласно которому с учетом выбранных мгновенных направлений тока и полярности ЭДС
, (25.2)
где Ur = JR = R — напряжение на общем активном сопротивлении контура;UC = — напряжение на конденсаторе; – ЭДС, создающая переменный ток в контуре; S = – L – ЭДС самоиндукции в катушке.
Подставляя соответствующие выражения, после преобразований, получаем
. (25.3)
Поскольку при выполнении лабораторной работы, измеряемой величиной будет напряжение на конденсаторе, то перейдем в полученном уравнении к переменной UC
;
.
Кроме того, введем обозначения:
.
В результате уравнение (25.3) приобретает вид
, (25.4)
где 0 – циклическая частота собственных незатухающих колебаний в контуре; — коэффициент затухания.
Общее решение уравнения (25.4) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения U1 и любого частного решения U2 неоднородного уравнения (25.4)
.
Известно 1, что если < 0 , U1 равно
, (25.5)
где — частота собственных затухающих колебаний осциллятора.
Амплитуда этих собственных колебаний зависит от начальных условий и от времени. Со временем она становится пренебрежимо малой и в контуре остаются только вынужденные колеба- нияU2 , амплитуда которых от времени не зависит. В этом случае вынужденные колебания называют установившимися. Для них
.
Вынужденные колебания становятся с течением времени установившимися и в случае, когда выполняется обратное неравенство: > 0. Разница только в том, что функция уменьшается со временем апериодически.
Частное решение уравнения (25.4) проще всего искать в комплексной форме, заменив в его правой части cos(t) на eit = cos(t) + isin(t). Найдя решение такого уровня в виде комплексной функции , нужно взять действительную часть, т. е.Re, которая и будет искомым решением уравнения (25.4).
Будем искать частное решение уравнения
(25.6)
в виде
. (25.7)
Подставляя предполагаемое решение (25.7) в (25.6), получаем
.
Сокращая на и выражаянайдем
.
Представим знаменатель этого выражения в показательном виде
.
Модуль этого выражения равен
(25.8)
а аргумент определяется формулой
. (25.9)
Подставляя (25.8) и (25.9) в (25.7), найдем:
и, следовательно,
. (25.10)
В результате для установившихся вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе получаем
, (25.11)
где дает сдвиг фаз между колебаниями напряжения на конденсаторе и колебаниям ЭДС источника.
Из (25.11) видно, что амплитуда вынужденных установившихся колебаний равна
. (25.12)
Величина при(резонансная частота) достигает максимума, который равен
, (25.13)
причем последняя формула верна при
Необходимо отметить (проверьте это самостоятельно), что резонансная частота колебаний напряжения на катушке больше, чем, и, следовательно, резонанс напряжения наLC цепочке наблюдается при промежуточной частоте
.
Уравнение (25.12) определяет форму амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) колебаний на конденсаторе, которую называют резонансной кривой (рис. 25.2). Ширина и высота этой кривой зависят от коэффициента Эта величина называетсядобротностью колебательного контура . Физический смысл этого параметра поясняется в лабораторной работе № 23.
Итак, добротность это
. (25.14)
Последнее выражение верно при << 0.